ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

УДК 539.3, 624.15

Академик Л. А. Агаловян, Р. Ж. Оганесян

О характере вынужденных колебаний трёхслойной ортотропной
пластинки при смешанной краевой задаче

(Представлено 3/IV 2006)

   Ключевые слова: вынужденные колебания, анизотропия, упругость, амплитуда, резонанс, сейсмоизолятор

   Получено асимптотически точное решение пространственной смешанной задачи о вынужденных колебаниях трёхслойных ортотропных пластин. Показано, что наличие мягкого среднего слоя приводит к уменьшению амплитуд колебаний в вышестоящем слое. Теоретически обосновано применение сейсмоизоляторов.
   1. Рассмотрим вынужденные колебания трёхслойной ортотропной пластинки: D = {(x,y,z) : x О [0,a], y О [0,b], 0 Ј z Ј h, h = h1 + h2 + h3, h << min(a,b)} при условиях полного контакта между слоями, когда верхняя грань верхнего слоя свободна, а на лицевой поверхности нижнего слоя задан вектор перемещения, который во времени изменяется гармонически (рис.1).
   Имеем граничные условия:
  при  z = h,
(1.1)
uIII(z = 0) = u-(x,h)exp(iWt),
vIII(z = 0) = v-(x,h)exp(iWt),
 (1.2)
wIII(z = 0) = w-(x,h)exp(iWt),
x = x/l,   h = y/l,   l = min
 (a,b)
и условия полного контакта:
 uI = uII, vI = vII, wI = wII при z = h2 + h3,
 uII = uIII, vII = vIII, wII = wIII при z = h3.
 (1.3)

Рис.1.

   Запишем систему динамических уравнений пространственной задачи теории упругости анизотропного тела для ортотропных сред:

(1.4)

   Решение системы уравнений (1.4) при граничных условиях (1.1), (1.2) и условиях контакта (1.3) будем искать в виде [1,2]

(1.5)
a, b = x, y, z,     m, j = 1, 2, 3,    k = I, II, III.
   Подставив (1.5) в (1.4), затем перейдя к безразмерным координатам и безразмерным компонентам вектора перемещения:
x = x/l,   h = y/l,   z = z/h,
 (1.6)

где h = h1 + h2 + h3, hi - толщины слоёв, l = min(a,b) и h << l, k - номер слоя, получим сингулярно возмущенную малым параметром e = h/l систему, решение которой будем искать в виде асимптотического разложения [3]:

(U(k),V(k),W(k)) = es(U(k,s),V(k,s),W(k,s)),
 (1.7)

   s =  означает, что по немому (повторяющемуся) индексу s происходит суммирование от 0 до числа приближений N. Подставив (1.7) во вновь полученную систему уравнений, определив коэффициенты разложения (1.7) и удовлетворив условиям (1.1) - (1.3), получим следующее решение:

(1.8)
   Выражения и для произвольного s, а также значения величин DU, DV, DW приведены в [2].
   При s = 0 имеем

(1.9)
где

(1.10)

   Здесь z1 = (h1 + h2 + h3) / h = 1, z2 = (h2 + h3) / h, z3 = h3 / h; U-(0) = u- / l, V-(0) = v- / l, W-(0) = w- / l и U-(s) = V-(s) = W-(s) = 0 при s > 0.
   Аналогично записываются выражения и
   Считаем, что DU, DV, DW № 0. Если W такова, что хотя бы одна из этих величин равна нулю, произойдёт резонанс. Эти значения W совпадают со значениями частот собственных колебаний [4].
   2. Особый интерес представляет случай

u- = const,    v- = const,     w- = const.
 (2.1)
   Уже приближению s = 0 соответствует точное решение:

(2.2)

Анализ этого решения при различных конфигурациях слоёв пакета позволяет сделать весьма важное для приложений, в частности для сейсмостойкого строительства, заключение.
   Рассмотрим трёхслойный пакет, состоящий из слоёв СВАМ, стеклопластика СТЭТ и АСТТ, характеристики упругости которых приведены в [3], с толщинами соответственно h1 = 0.3 м, h2 = 0.05 м, h3 = 0.2 м. Графики амплитуд колебаний по толщине пластинки приведены на рис. 2,а-в (сплошной линии соответствуют перемещения среднего слоя II, пунктирным - перемещения слоёв I, III).
Рис.2

   Теперь пусть верхний и нижний слои пакета состоят из слоёв стеклопластика СВАМ и АСТТ соответственно, а средний слой из резины (E = 6.96*105 Па, G = 2.4*105 Па, r = 1100 кг/м3). Этому будут соответствовать рис. 3, а-в.

Рис. 3

   Аналогичная картина наблюдается, когда верхний и нижний слои из бетона, а средний из резины.
   Из приведённых графиков видно, что если все три слоя состоят из жестких схожих материалов, то амплитуды колебаний вырастают (хоть и незначительно) от слоя к слою. При наличии же среднего слоя из более мягкого материала (например, резины), амплитуды колебаний в верхнем слое резко уменьшаются. Этот результат сохраняет силу и при иных толщинах среднего мягкого слоя. Установленный выше факт можно использовать в сейсмостойком строительстве. Если при построении сооружений между бетонным фундаментом и основанием вставить тонкий слой резины, это приведёт к уменьшению опасных колебаний в фундаменте и, как следствие, к увеличению сейсмостойкости сооружения.
   3. Рассмотрим ту же задачу, но с другими граничными условиями. Предполагается, что верхняя грань верхнего слоя жёстко закреплена, т.е. в условиях (1.1) вместо имеем uI = vI = wI = 0 при z = h. В этом случае, опять - таки решив уравнения (1.4) при изменённых граничных условиях, получим решение в виде (1.8), но с другими функциями (P = U,V,W; j = 1,2; k = I,II,III). В частности, условиям (2.1) будет соответствовать решение (1.8), (1.9), а в (1.10) необходимо заменить sin на (-cos), cos на sin. На рис. 4, а-в изображены изменения амплитуд тангенциального смещения U по толщине пластинки при следующих комбинациях пакета: СВАМ, СТЭТ, АСТТ; СВАМ, резина, АСТТ; бетон, резина, бетон.

Рис.4

   Как видно из графиков, в этом случае тоже амплитуды колебаний в верхнем слое уменьшаются при наличии среднего слоя из резины.
   Работа выполнена при поддержке INTAS, grant Ref. No: 03-51-5547.

   Институт механики НАН РА

Литература

    1. Агаловян Л. А. В сб.: Проблемы механики тонких деформируемых тел. Ереван. Изд-во "Гитутюн" НАН РА. 2002. С. 9-19.
    2. Оганесян Р. Ж. В сб.: Избранные вопросы теории упругости, пластичности и ползучести. Ереван. Изд-во "Гитутюн" НАН РА. 2006. С. 242-248.
    3. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М. Наука. 1997. 415 с.
    4. Агаловян Л. А., Оганесян Р. Ж. В сб.: V Междунар. конф. "Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред." Ереван. Изд-во "Гитутюн" НАН РА. 2005. С. 14-22.