только в начале координат.
   Отметим, что, очевидно, размерность M не превосходит n - 1.
   3. В работах [4] и [5] доказано следующее необходимое условие: если K является множеством пика для A^m(Uⁿ), m і 1, то в некоторой окрестности множества K существует интерполяционное многообразие M гладкости C^m такое, что K М M. Интересно отметить, что этот результат неулучшаем в том смысле, что в общем случае не существует замкнутого подмногообразия M остова с перечисленными свойствами. В статье приведен соответствующий пример.
   В [4] исследована также достаточность этого условия и доказано, что всякое компактное подмножество интерполяционного многообразия класса C^m является множеством пика для A^m-4(Uⁿ). В теореме 1 этот результат усиливается.
   Теорема 1. Всякое компактное подмножество интерполяционного подмногообразия класса C^m,a, m і 3, на остове полидиска Uⁿ является множеством пика для A^m-1,a (Uⁿ).
   Доказательство теоремы 1 основано на конструкции так называемой "почти аналитической" функции пика (теорема 2), а также на оценке роста производных решения соответствующего -уравнения при подходе к особенностям правой части (лемма 2). При этом достаточно ограничиться компактными подмножествами интерполяционного подмногообразия, имеющего максимально возможную размерность, т. е. n - 1. Это следует из следующей леммы:
   Лемма 1. Пусть M - интерполяционное C^m,a-гладкое подмногообразие остова Tⁿ, имеющее размерность k,  k Ј n - 1. Тогда на Tⁿ существует (n - 1) -мерное интерполяционное подмногообразиетой же гладкости и такое, что M М
   Теорема 2. Пусть M - интерполяционное подмногообразие размерности n - 1 остова полидиска класса C^m,a, m і 3, K - компакт на M. Тогда в некоторой окрестности W этого компакта существуют функция F О C^m,a(W) и константа g > 0 такие, что
   a) F(z) = 0 тогда и только тогда, когда z О K;
   b) Re, F(z) і gd(z, M)² (z ОЗ W), где d(z, M) - расстояние между z и M;
   c) = O[d(z, M)]^m-1+a;
   d) |F(z)| і gd(z, M) (z ОЗ W).
   Доказательство. Пусть D - строго псевдовыпуклая область с границей класса C^m,a, в которую полидиск Uⁿ вложен следующим образом:
   1^° \Tⁿ М D,
   2^° Tⁿ М ¶D,
   3^° T_z(M) М(¶D) для всех z О M
   где (¶D) - комплексная гиперплоскость, содержащаяся в T_z(¶D). Условие 3^° означает, что M является комплексно-касательным подмногообразием ¶D. Способ построения такой области D изложен в [6].
   Далее, в работе [7] (см. также [8]) доказано, что в некоторой окрестности W компакта K существует ''почти аналитическая'' функция пика F, удовлетворяющая условиям a) и b) для области D, и, следовательно, для вложенного в D полидиска Uⁿ. Кроме этого, = 0 на W З M вместе со всеми производными порядка до m - 1 включительно. Поскольку О C^m-1,a(W), то (z) = O[d(z,M)]^m-1+a, т. е. имеет место c).
   Отметим, что F = u + iv обладает также следующим свойством:

где c_z - вещественная нормаль в точке z к границе области D, t_z = Jc_z, а J - оператор в R²ⁿ, который соответствует умножению на мнимую единицу i в пространстве Cⁿ ≃ R²ⁿ.
   Чтобы доказать свойство d), достаточно показать, что для любой точки z О M вдоль направления, касательного к остову и ортогонального к T_z(M), производная функции F отлична от нуля.
   В самом деле, из условия M М ¶D следует, что T_z(M) ^ c_z. Так как M имеет комплексно-касательное направление на ¶D, то JT_z(M) М(¶D), поэтому JT_z(M) ^ c_z, или, что то же, T_z(M) ^ t_z. Очевидно,

   Из (3) следует, что T_z(M) ^ JT_z(M) и размерность T_z(M) Е JT_z(M) составляет 2n - 2. Таким образом, T_z(M) Е JT_z(M) является ортогональным дополнением в R²ⁿ комплексной нормали = R[c_z] Е R[t_z] к ¶D в точке z.
   Пусть вектор x касателен к остову в точке z, т. е. x О T_z(Tⁿ), и ортогонален к T_z(M). Из (3) следует, что x ортогонален также и к T_z(M) Е JT_z(M), поэтому x О С другой стороны, x ^ t_z, откуда следует, что вектор x параллелен t_z. Так как согласно (2) t_z направлен вдоль градиента v, то xv № 0, следовательно, xF № 0, т. е. вдоль направления x производная F отлична от нуля.
   Замечание. Обратим внимание на то, что в неравенстве d) d(z,M) участвует в первой, а не во второй степени, как это имеет место в случае строго псевдовыпуклой области. Это улучшение оценки является следствием того, что в отличие от границы строго псевдовыпуклой области остов полидиска не имеет комплексных касательных векторов.
   Пусть K - компактное подмножество интерполяционного многообразия M, окрестность W и функция F удовлетворяют заключению теоремы 2. Пусть, далее, l - вещественная функция класса C^Ґ с носителем внутри W такая, что 0 Ј l Ј 1 и l = 1 в некоторой окрестности множества K. Определим (0,1)-форму g на \K

   Лемма 2. В области Uⁿ уравнение = g имеет решение u(z), бесконечно дифференцируемое на множестве \M и удовлетворяющее условиям:
   1^°   ¶^|p|u(z)ограничена в Uⁿ  при   0 Ј |p| Ј m - 3;
   2^°  ¶ ^|p|u(z)= O[d(z, M)]^m-3-|p|+a  при  m - 2 Ј |p| Ј m.
   При доказательстве использованы формулы из [9] для решения -уравнения в полидиске, а также рекурpентные формулы для производных, полученные в [10].
   Доказательство теоремы 1. Пусть компакт K М M. В силу леммы 1 можно считать, что M имеет размерность n - 1. Пусть, далее, функции F(z) и u(z) те же, что в теореме 2 и лемме 2. Рассмотрим функцию

v(z) = l(z) F(z) - u(z).

Имеем  т. е. v(z) голоморфна в области Uⁿ.
Далее,

Re v = l Re F |f|2 - Re u.

(4)

Согласно лемме 2, функция u(z) ограничена на  Поэтому с учетом пункта b) теоремы 2 из (4) имеем

Re v(z) і -Re u(z) > -Ґ.

Добавив в случае необходимости к функции u(z) соответствующую константу, можно считать, что

Re v(z) > 0   при   z О\K.

(5)

Покажем, что функция

f(z) = 1 v(z) = F(z) l(z) - u(z)F(z)

(6)

является искомой функцией пика. Прежде всего f(z) голоморфна в Uⁿ и, как следует из (5) и (6), Re f(z) > 0 при z О\K. Далее, нули f(z) совпадают с нулями F(z), т.е. ввиду пункта a) теоремы 2, с множеством K. Таким образом, f удовлетворяет условиям (1). Остается проверить, что f О A^m-1,a(Uⁿ). В силу теоремы Харди-Литтлвуда достаточно показать, что D^jf(z) = O[d(z,M)]^a-1 для любого целочисленного вектора j такого, что |j| = m. Функция f на множестве \K бесконечно дифференцируема, поэтому достаточно рассмотреть ее лишь в окрестности множества K, где имеем

Выражение для D^jf содержит производные D^pu, |p| = 0,1, ј, m. Согласно лемме 2 при 0 Ј |p| Ј m - 3 они ограничены, а при |p| = m - 2 имеют порядок роста O[d(z,M)]^a-1. С другой стороны, согласно той же лемме, производные D^pu порядка |p| = m - 1 и |p| = m при подходе к M имеют больший порядок роста, а именно, O[d(z,M)]^a-2 и O[d(z,M)]^a-3 соответственно. Нетрудно убедиться в том, что слагаемые в выражении D^jf, которые содержат эти производные, имеют соответствующие сомножители F и F², которые ''гасят'' излишний рост, поэтому согласно пункту d) теоремы 2 указанные слагаемые также имеют порядок роста O[d(z,M)]^a-1.
   Следствие. Всякое компактное подмножество интерполяционного подмногообразия класса C^m, m і 4, на остове полидиска Uⁿ является множеством пика для A^m-2,1 (Uⁿ).
   Далее доказана следующая интерполяционная
   Теорема 3. Пусть m і 3, a О (0,1) и пусть K - компактное подмножество интерполяционного подмногообразия гладкости C^m,a на остове Tⁿ полидиска Uⁿ. Тогда
   a) для заданной f О C^m(Tⁿ) существует функция F О A^m-1,a(Uⁿ) такая, что F|_K = f|_K,
   b) для заданной f О C^m-1,a(Tⁿ) существует функция F О(Uⁿ) такая, что F|_K = f|_K.
   В утверждении (b) под подразумевается подмножество функций из A^m-1, у которых все производные порядка m - 1 допускают модуль непрерывности gd^a(log[1/(d)])^k-1, где g - некоторая константа. Таким образом, например, = A^m-1,a.

   Ереванский государственный университет
   Институт математики НАН РА