МАТЕМАТИКА

УДК: 517.98

Г. А. Саргсян

О собственных функциях, порожденных однородной задачей Неймана,
для одного дифференциального пучка

(Представлено академиком А. А. Талаляном 6/VI 2006)

   Ключевые слова: смешанная задача, полнота, квадратичный пучок, собственная функция

   В работе изучается краевая задача на собственные значения:
Ll(u) = 2u
y2
 + 2l 2u
xy
 + l2Du = 0,
 (1)
Gu = au + u
n
 к
к
к¶W 		= 0,
 (2)

где W - круг с центром в начале координат, ¶W - единичная окружность, D - двумерный оператор Лапласа, n - внешняя нормаль к окружности ¶W, a і 0 - постоянное число. Собственным значением задачи (1), (2) назовем число l, при котором существует функция ul, удовлетворяющая (1), (2), отличная от постоянной при a = 0 и отличная от тождественного нуля при a > 0. В [1] рассмотрена однородная краевая задача Дирихле на собственные значения:

2u
y2
 + 2l 2u
xy
 + l2Du = 0,
 (3)
u к
к
к¶W 		= 0
 (4)

где путем построения рекуррентных формул доказано существование полной системы полиномиальных собственных функций в комплексном соболевском гильбертовом пространстве
   В [2] приводится явное представление полной совокупности полиномиальных собственных функций задачи (3), (4) в соболевском пространстве
   Для построения полной системы решений уравнения (1) удобнее построить системы решений этого уравнения, обращающихся в нуль на границе круга и являющихся полиномaми по x,y. В дальнейшем для наших построений и формулировки полученных результатов удобно перейти от действительных x,y к комплексным переменным z = x + iy, z = x - iy, и использовать комплексные операторы дифференцирования

z
 = 1
2
 ж
з
и
x
 - i
y
 ц
ч
ш 		,    

1
2
 ж
з
и
x
 + i
y
 ц
ч
ш 		.
   Тогда краевую задачу (1), (2) можно записать в комплексной форме

(5)

 (6)
где
m1(l) = 1 - 2li   m2(l) = 1
1 + 2li
 .
 (7)

   Нами установлена двукратная полнота системы полиномиальных собственных функций задачи (1), (2) в гильбертовом пространстве H при a > 0; когда же a = 0, двукратная полнота собственных функций в соответствующем пространстве уже не имеет местa.
   Наряду с краевой задачей (5), (6) будем рассматривать следующую спектральную задачу Дирихле:

(8)
V к
к
к¶W 		= 0.
 (9)

   Легко убедиться, что задача (5), (6) тесно связана с задачей Дирихле (8), (9), а именно, что собственные значения задачи (5), (6) одновременно являются и собственными значениями задачи Дирихле и - наоборот, если a № -l, l = 1, 2, 3, ... Обозначим систему полиномиальных решений задачи (8), (9) через

(10)

что соответствует собственным значениям ln.
   Заметим, что система (10) в соболевском пространстве является двукратно полной в смысле М. В. Келдыша [3]. Перейдем теперь к решению задачи (5), (6). Она состоит в нахождении функций из класса C2(W) И C1(W), удовлетворяющих уравнению (5) в круге и граничным условиям (6) на границе
   В дальнейшем для наших построений существенную роль будут играть следующие полиномы:

 (11)

   Приведем две вспомогательные леммы без доказательства, установленные нами в [2], характеризующие свойства полиномов Pn(z,m), которые используются в дальнейшем.
   Лемма 1. Полиномы Pn(z,m) при n = 2, 3, ... удовлетворяют рекуррентному соотношению

 (12)

   Лемма 2. Полиномы Pn(z,m) на окружности круга W удовлетворяют рекуррентному соотношению

(13)

   Общее решение уравнения (5) при любом значении параметра l имеет вид

(14)

   Перейдем к построению в явном виде полной совокупности нетривиальных полиномиальных решений краевой задачи (5), (6) при a > 0. Легко проверить, что

GQn(z,m) = Pn(z,m),
(15)
где

(16)
   Рассмотрим последовательность функции

(17)
где

   Теорема 1. Функции u, построенные согласно формулам (17), являются системой полиномиальных собственных функций краевой задачи (5), (6), соответствующих собственным значениям   k = 1, 2, ..., (n - 1), n = 2, 3, ..., каждое из которых имеет бесконечную кратность.
   Доказательство. Функция представляет собой сумму двух слагаемых, отмеченных квадратными скобками в формуле (17), первое из которых является функцией от   второе - функцией от и поэтому она удовлетворяет уравнению (5). Покажем, что функции удовлетворяют граничному условию (6). В самом деле, на основании леммы 2 и формулы (15) имеем



(18)

   Собственные значения краевой задачи (5), (6) являются бесконечно кратными. Этот факт следует из того, что при любом натуральном P и что собственные функции соответствующие собственному значению   как полиномы различных порядков линейно независимы. Теорема доказана.
   Теорема 2. Совокупность полиномиальных собственных функций (17) задач (5), (6) образует двукратно полную систему в гильбертовом пространстве
   Доказательство. Известно, что система векторов

м
н
о 		Vln = ж
з
и

Vln
ln · Vln

 ц
ч
ш 		ь
э
ю

Ґ

n = 1 
(19)

   образует полную систему в ортогональной сумме гильбертовых пространств Так как

Guln = Vln ,
 (20)
положим

(21)
   Пусть О H - произвольная вектор-функция с полиномиальными компонентами

(22)

где p и q произвольные полиномы от z и Тогда очевидно, что О H. Но, как показано в [4], вектор-функцию можно представить в виде конечной комбинации собственных векторов Vln

(23)
   Из (21) и (18) имеем

(24)
   В силу существования обратного оператора G-1 из (23) заключаем

(25)

   Но поскольку, как это показано в работе [4], множество полиномиальных векторов вида (22) всюду плотно в гильбертовом пространстве H, то теорема доказана.
   Отметим, что полученные нами собственные значения расположены всюду плотно на кривой |4l2 + 1| = 1 в комплексной плоскости. Ясно, что для всякого собственного значения задачи Дирихле существуют собственные функции, которые исчезают в начале координат. Таким образом, в случае a > 0 каждой собственной функции задачи Дирихле соответствует одна собственная функция (5), (6).
   Рассуждая аналогично, легко получить собственные функции уравнения

l2Lu + lNu + Mu = 0,
 (26)

если L,N,M - линейные дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэффициентами, содержащие лишь вторые производные по x и y, причем тип уравнения (26) не играет роли.
   Замечание. В случае a = 0, т.е. задачи Неймана, оператор G принимает вид

(27)

   Этот оператор в пространстве всех полиномов не имеет обратного G-1. Очевидно, что если задача Неймана имеет решение для некоторого l, то соответствующее этому решению решение задачи Дирихле удовлетворяет условию u(0,0) = 0. В этом случае оператор G-1 можно применить на тех полиномах, которые обращаются в нуль в начале координат. Здесь уже те функции из систем которые не исчезают в центре координат, не пригодны для наших целей. Таким образом, система полиномиальных собственных функций задачи Неймана не образует двукратно полную систему в гильбертовом пространстве Если a > 0, то построенная совокупность полиномиальных собственных функций образует полную систему в а при a = 0 (задача Неймана) полнота нарушается.

   Военный авиационный институт им. маршала А. Ханферянца

Литература

    1. Зеленяк Т. И. - ДАН СССР. 1964. Т. 158. №6. C. 1268-1270.
    2. Саргсян Г. А. - Уч. зап. ЕГУ. 1994. №1 (180). C. 19-25.
    3. Крейн М. Г., Лангер Г. К. - Тр. Междунар. симп. по применению т.ф.к.п. в механике сплошной среды. М. Наука. 1965.
    4. Вирабян Г. В. - ДАН АрмСССР. 1969. Т. 48. №2. C. 65-70.