УДК 539.1
Определение линейных частот изгибных колебаний
магнитоупругой
цилиндрической оболочки
(Представлено 30/VIII 2005)
Ключевые слова: изгибные колебания, цилиндрическая оболочка, магнитоупругость Рассматриваются линейные изгибные колебания
магнитоупругой цилиндрической оболочки в осевом магнитном поле. Решение получено
пространственным методом путем аналитических и численных
исследований. где
-
вектор скорости,
- перемещения, с учетом
соотношений
где - единичные орты по осям r, z, Dj = [1/r][(¶)/(¶r)](r[(¶j)/(¶r)]) + [(¶2j)/(¶z2)], дает в
проекции на оси r, z Таким образом, связи Aj, Cj, Dj через
Bj такие же, как для пластины, и такие же, как для Aўj, -Cўj, Dўj через
-Bўj. Для
завершения решения задачи следует записать граничные условия для r = R - h, r = R + h (16)
(17)
Итак, имеют место четыре уравнения (14), к которым
добавятся два уравнения, получаемые из последних соотношений исключением
где
по j не нужно суммировать. Система (14), (19) представляет однородные уравнения
относительно A1,2,3, Aў1,2,3 и
детерминантное уравнение имеет вид
При численном расчете уравнения (21) для определения корней w = w(k) дисперсионного уравнения
можно в нем все cj разделить на -iw, и поскольку для c3 имеет место (10), можно третий и шестой столбцы
в (21) умножить на a12, и кроме того, в членах
a12N3±,
a12L3± считать, что [(a12)/(c3)] = -a2[1/(z[(a2k2)/(b2J)] + 1)]. Эти преобразования необходимы, чтобы проводить
вычисления в (21) также для упругого случая a1 = 0, для которого w = w00. Были проведены
расчеты Re w(k) корней трансцендентного уравнения (21)
вместе с расчетом корней n1,2,3(w,k) уравнения (9), причем в качестве первого приближения
взято (10)-(12), и дисперсионное уравнение для упругого случая a1 = 0
[10]
Таблица 1 Таблица 2 Таблица 3 Таблица 4 здесь n0 - коэффициент
Пуассона, n0 = [1/3]. Результаты расчетов
действительной частоты Re w при значениях параметров
для алюминия [(b2)/(a2)] = [1/3], z
= [2/3], a = 105 см/с, r = 3 г/см3,
nm = 1000 см2/с., hў = 0.1 см, R = 103, 108 см,
k = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 см-1 приведены в табл.
1,2. Проведено сравнение случая R = 108 см (табл.2) с результатами
решения соответствующего детерминантного уравнения для Re w(k) для пластин [12]. Результаты почти в точности совпадают,
что подтверждает правильность выводов и решений, приведенных в данной статье,
для оболочки. Мы сравнили также данные табл.1,2 с соответствующими результатами
осредненной теории, для которой дисперсионное уравнение получено в [10], которое
после некоторых преобразований может быть записано в виде [9]
Расчеты
согласно (23) и (24) дают почти совпадающие величины, которые приведены в табл.
3,4. Сравнение результатов табл. 2, полученных по точному пространственному
подходу для R = 108 см, с результатами табл. 4, основанными на гипотезе
Кирхгофа, показываeт, что имеется качественное соответствие характера изменения
величин в кривых Re w(H0),
которые
начиная от значений w = w00,
= w00 для случая
a1 = 0 уменьшаются, а затем возрастают, но количественно результаты
обеих таблиц совершенно различны. Те же заключения получены при сравнении табл.
1 с табл. 3 для R = 103 см.
Институт
механики НАН РА
1. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е.,
Белубекян М. В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. М.
Наука. 1977. 272 с.
B [1-5] при рассмотрении
изгибных колебаний магнитоупругих пластин и оболочек был применен осредненный
подход. С помощью нового пространственного подхода [6] магнитоупругие колебания
пластин рассмотрены в [7-9]. В настоящей работе использован пространственный
анализ для аналитического и численного определения частоты свободных изгибных
колебаний магнитоупругой цилиндрической оболочки.
Пусть бесконечная цилиндрическая оболочка находится в осевом начальном
магнитном поле H0.
a12 =
H02
4pr, z =
1 -
b2
a2,
¶2ur
¶r2+
b2
a2
¶2ur
¶z2+ z
¶2uz
¶r¶z+
1
r
¶ur
¶r-
1
r2ur =
1
a2
¶2ur
¶t2-
a12
a2
ж
з
и
¶hr
¶z-
¶hz
¶r
ц
ч
ш , (1)
где
для силы Лоренца учтено, что
b2
a2
¶2uz
¶r2+
¶2uz
¶z2+ z
¶2ur
¶r¶z+
b2
a2
1
r
¶uz
¶r+
z
r
¶ur
¶z=
1
a2
¶2uz
¶t2,
(2)
Уравнение электромагнитной индукции
(3)
(4)
¶hr
¶t= H0
¶2ur
¶t¶z+ nm
ж
з
и
¶2hr
¶r2+
1
r
¶hr
¶r+
¶2hr
¶z2-
hr
r2
ц
ч
ш ,
(5)
Ищем решение (3),(5) в виде распространяющейся в направлении оси z
плоской волны
¶hz
¶t= -H0
ж
з
и
¶2ur
¶t¶r+
1
r
¶ur
¶t
ц
ч
ш + nm
ж
з
и
¶2hz
¶r2+
1
r
¶hz
¶r+
¶2hz
¶z2
ц
ч
ш .
xj = rnj, j = 1,2,3,
ur = AjI1(x)e-iwt+ikz + AўjK1(x)e-iwt+ikz + к.c.,
uz = BjI0(x)e-iwt+ikz + BўjK0(x)e-iwt+ikz + к.c., (6)
hz = CjH0I0(x)e-iwt+ikz + CўjH0K0(x)e-iwt+ikz + к.c.,
где
I0,1(x), K0,1(x) - функции Бесселя мнимого аргумента, причем по j
суммируется от 1 до 3. Учитывая соотношения
hr = DjH0I1(x)e-iwt+ikz + DўjH0K1(x)e-iwt+ikz + к.c.,
Iў0(x) = I1(x),
Kў0(x) = -K1(x),
можно из (3), (5), (6) получить:
dI1(x)
dx+
1
xI1(x) = I0(x),
dK1(x)
dx+
1
xK1(x) = -K0(x), (7)
Aj
ж
з
и nj2 -
b2
a2k2 +
w2
a2
ц
ч
ш + ziknjBj =
a12
a2(njCj - ikDj),
ж
з
и
b2
a2nj2 - k2 +
w2
a2
ц
ч
ш Bj + ziknjAj = 0,
Cj =
iwnj
cjAj,
Dj =
wkAj
cj, cj = -iw + nmk2 - nmnj2, (8)
Aўj
ж
з
и nj2 -
b2
a2k2 +
w2
a2
ц
ч
ш - ziknjBўj =
a12
a2(-njCўj - ikDўj),
где
по j не суммируется. Таким образом, связи Aўj, -Cўj, Dўj с
-Bўj не отличаются
знаком от Aj, Cj, Dj с Bj и
окончательное уравнение для
будет одним и тем
же:
Bўj
ж
з
и
b2
a2nj2 - k2 +
w2
a2
ц
ч
ш - ziknjAўj = 0, Cўj = -
iwnj
cjAўj, Dўj =
wkAўj
cj,
Полученное уравнение такое же, как и для пластин [7], причем для малых
[(a12)/(a2)] и не больших nm
(9)
(10)
n12 = k2 -
w2
a2-
a12
a2
ж
з
и k2 -
w2
a2
ц
ч
ш
ж
з
и 1 +
w2
a2J
ц
ч
ш , (11)
n22 = k2 -
w2
a2+
a12
b2k2 +
w2a12k2
b4J, J = i
w
nm. (12)
где
есть возмущенное магнитное поле вне оболочки. Первые два
условия (13) дают на указанных границах
(13)
Подставляя сюда (6) и полагая zў = z - [(b2)/(a2)], получим
a2
¶ur
¶r+
ж
з
и a2 - 2b2
ц
ч
ш
ж
з
и
ur
r+
¶uz
¶z
ц
ч
ш = 0,
¶ur
¶z+
¶uz
¶r= 0.
AjnjIў1(xj±) + zўAjnj
1
xj±I1(xj±) + AўjnjKў1(xj±) +
+ zўAўjnj
1
xj±K1(xj±) + zўBjikI0(xj±) + zўBўjikK0(xj±) = 0, (14)
где
по j суммируется от 1 до 3, xj± = (R ± h)nj. Осталось выполнить условия
ikAjI1(xj±) + ikAўjK1(xj±) + BjI1(xj±)nj - BўjK1(xj±)nj = 0,
При
r > R + h, n = k
(15)
При
r < R - h
Используя уравнение
и
подставляя в него (16), (17), получим
Условия (15) дают с учетом (6)
(18)
wkAj
cjI1(xj+) +
wkAўj
cjK1(xj+) = i
K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}
м
н
о
iwnj
cjAjI0(xj+) -
iwnj
cjAўjK0(xj+)
ь
э
ю ,
(19)
Здесь по j суммируется от 1 до 3. К (14) и (19) следует добавить
wkAj
cjI1(xj-) +
wkAўj
cjK1(xj-) = -i
I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}
м
н
о
iwnj
cjAjI0(xj-) -
iwnj
cjAўjK0(xj-)
ь
э
ю .
Aj = -
1
ziknj
ж
з
и
b2
a2nj2 - k2 +
w2
a2
ц
ч
ш Bj, (20)
Aўj =
1
ziknj
ж
з
и
b2
a2nj2 - k2 +
w2
a2
ц
ч
ш Bўj,
где приняты следующие обозначения:
(21)
Х
±
j = njIў1(xj±) + znj
I1(xj±)
xj±+ z
Bj
Ajik I0(xj±),
Mj± = njKў1(xj±) + znj
K1(xj±)
xj±+ z
Bўj
AўjikK0(xj±),
Pj± = ik I1(xj±) +
Bj
AjnjI1(xj±), Wj± = ikK1(xj±) -
Bўj
AўjnjK1(xj±),
Nj+ =
wk
cjI1(xj+) +
wnj
cj
K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}I0(xj+),
Nj- =
wk
cjI1(xj-) -
wnj
cj
I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}I0(xj-),
Lj+ =
wk
cjK1(xj+) -
wnj
cj
K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}K0(xj+),
Lj- =
wk
cjK1(xj-) +
wnj
cj
I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}K0(xj-).
(22)
hў = 0.1,
R = 103
a1/a k
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5/105
95.25
142.071
262.124
420.1452
620.0876
1/104
94.9777
142.287
261.085
440.6969
640.2532
2/104
95.335
141.868
260.906
444.768
680.989
1/1000
95.3561
141.834
261.411
455.1
686.297
2/1000
94.0374
140.728
261.772
455.556
687.275
3/1000
37.4045
90.4933
118.291
445.074
687.825
4/1000
56.4103
118.236
176.434
224.562
687.133
5/1000
71.5075
141.546
243.717
287.003
354.739
6/1000
85.3117
168.453
259.745
347.349
425.96
7/1000
99.7618
146.206
291.762
399.149
498.628
8/1000
113.443
227.273
341.19
450.481
568.145
9/1000
127.268
252.926
378.975
509.944
639.966
1/100
141.459
276.627
425.007
563.777
686.181
2/100
282.78
565.711
848.694
1131.47
1414.49
3/100
424.182
848.397
1272.57
1696.54
2120.74
4/100
565.45
1130.9
1696.36
2261.87
2827.22
5/100
706.671
1413.34
2119.97
2826.6
3533.28
hў = 0.1,
R = 108
a1/a k
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5/105
27.2162
108.861
244.912
435.349
680.126
1/104
27.2167
108.863
244.912
435.350
680.131
2/104
27.2181
108.865
244.92
435.358
680.139
1/1000
26.8179
108.876
245.064
435.587
680.444
2/1000
18.4247
107.53
244.906
435.966
681.169
2.2/1000
12.0007
106.756
244.691
435.981
681.323
2.4/1000
0.019999
105.698
244.374
435.952
681.456
2.6/1000
36.7695
104.288
243.927
435.861
681.567
2.8/1000
39.5979
102.436
243.320
435.700
681.640
3/1000
42.4263
100.05
242.527
435.449
681.675
3.3/1000
46.6689
95.1694
240.901
434.870
681.630
3.6/1000
50.9115
88.1594
238.636
433.981
681.418
3.8/100
53.7399
81.8141
236.693
433.184
681.170
4/1000
56.5683
113.137
234.337
432.191
680.819
5/1000
70.7102
141.42
213.726
423.299
676.911
5.1/1000
72.1244
144.249
216.373
421.946
676.272
5.3/1000
74.9528
149.906
224.858
418.912
674.804
5.5/1000
77.7812
155.562
233.343
415.402
673.093
5.8/1000
82.0237
164.047
246.071
409.127
669.985
6/1000
84.8521
169.704
254.556
339.408
424.260
7/1000
98.9937
197.987
296.981
395.975
494.969
7.1/1000
100.408
200.816
301.224
401.632
502.039
7.2/1000
101.822
203.644
305.466
407.288
509.11
7.5/1000
106.065
212.129
318.194
424.258
530.323
8/1000
113.135
226.271
339.406
452.541
565.676
9/1000
127.277
254.553
381.83
509.107
636.383
1/100
141.418
282.836
424.253
565.671
707.089
1.5/100
212.120
424.240
636.360
848.480
1060.60
2/100
282.814
565.629
848.443
1131.26
1414.07
3/100
424.169
848.337
1272.51
1696.67
2120.84
4/100
565.459
1130.92
1696.38
2261.835
2827.293
5/100
706.665
1413.33
2119.999
2826.657
3533.328
hў = 0.1,
R = 103
a1/a k
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5/105
92.9628
140.546
260.579
444.445
686.196
1/104
92.9645
140.547
260.581
444.447
686.199
2/104
92.9713
140.553
260.587
444.455
686.209
1/1000
93.0612
140.633
260.748
444.694
686.519
2/1000
91.6883
139.811
260.682
445.111
687.28
2.2/1000
90.8207
139.28
260.507
445.138
687.436
2.4/1000
89.604
138.541
260.235
445.121
687.578
2.6/1000
87.9425
137.545
259.842
445.049
687.698
2.8/1000
85.715
136.235
259.304
444.906
687.787
3/1000
82.7625
134.544
258.591
444.678
687.835
3.3/1000
76.4733
131.118
257.124
444.137
687.807
3.6/1000
66.7971
126.31
255.066
443.3
687.626
3.8/100
57.1981
122.108
253.294
442.543
687.398
4/1000
42.7145
116.885
251.144
441.597
687.068
5/1000
0
57.2232
232.336
433.044
683.306
5.1/1000
0
41.7662
229.443
431.736
682.68
5.3/1000
0
0
222.897
428.805
681.257
5.5/1000
0
0
215.18
425.415
679.585
5.8/1000
0
0
200.87
419.343
676.551
6/1000
0
0
188.999
414.546
674.135
7/1000
0
0
49.9928
378.297
656.017
7.1/1000
0
0
0
373.193
653.526
7.2/1000
169.04
0
0
367.739
650.887
7.5/1000
343.729
0
0
348.982
642.003
8/1000
524.482
0
0
307.252
623.454
9/1000
786.114
0
0
125.186
566.883
1/100
1000.01
0
0
0
465.801
1.5/100
1872.11
2236.56
2115.96
1357.24
0
2/100
2646.98
3465.53
3875.19
4000.08
3857.77
3/100
4124.04
5658.21
6711.58
7490.67
8075.34
4/100
5568.49
7747.08
9330.34
10590.
11632.9
5/100
7000.59
9798.89
11876.9
13570.8
15012.6
hў = 0.1,
R = 108
a1/a k
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
5/105
27.2167
108.867
244.949
435.466
680.415
1/104
27.2172
108.868
244.951
435.468
680.417
2/104
27.2185
108.871
244.957
435.476
680.427
1/1000
26.8186
108.888
245.102
435.708
680.735
2/1000
18.4253
107.541
244.95
436.1
681.485
2.2/1000
12.0003
106.768
244.74
436.117
681.637
2.4/1000
0
105.71
244.425
436.09
681.775
2.6/1000
0
104.298
243.979
436.004
681.89
2.8/1000
0
102.45
243.374
435.846
681.973
3/1000
0
100.064
242.581
435.599
682.014
3.3/1000
0
95.1842
240.96
435.024
681.975
3.6/1000
0
88.1736
238.7
434.144
681.78
3.8/100
0
81.8268
236.759
433.352
681.54
4/1000
0
73.5506
234.407
432.367
681.198
5/1000
0
0
213.803
423.509
677.346
5.1/1000
0
0
210.616
422.157
676.708
5.3/1000
0
0
203.38
419.13
675.258
5.5/1000
0
0
194.796
415.63
673.556
5.8/1000
0
0
178.695
409.363
670.472
6/1000
0
0
165.109
404.411
668.017
7/1000
0
0
0
366.929
649.631
7.1/1000
86.4275
0
0
361.637
647.104
7.2/1000
190.028
0
0
355.978
644.427
7.5/1000
352.736
0
0
336.472
635.416
8/1000
528.756
0
0
292.762
616.599
9/1000
787.29
0
0
81.7689
559.155
1/100
1000.0
0
0
0
456.082
1.5/100
1870.94
2236.36
2116.59
1359.63
0
2/100
2645.86
3464.96
3874.93
4000.07
3858.02
3/100
4123.19
5657.67
6711.19
7490.37
8075.12
4/100
5567.83
7746.64
9329.99
10589.7
11632.7
5/100
7000.05
9798.52
11876.6
13570.5
15012.4
где
Для
вышеуказанных значений параметров |l1[(hў)/2]| << 1 и (23) дает
(23)
(24)
2. Амбарцумян С. А.,
Багдасарян Г. Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в
магнитном поле. М. Изд-во физ-мат. лит. 1996. 286 с.
3. Амбарцумян С. А., Белубекян М. В. Колебания и
устойчивость токонесущих пластин. Ереван. Изд-во НАН Армении. 1992. 124 с.
4. Багдоев А. Г., Мовсисян Л. А. - Изв. НАН Армении. Механика. 1999. Т. 52 N1. C.
25-30.
5. Саркисян В. С., Саркисян С. В.,
Джилавян С. А., Саргсян А. Л. - Механика. Ереван. ЕГУ. 1980. C.
45-56.
6. Новацки В. Теория
упругости. М. Мир. 1975. 863 с.
7. Багдоев
А. Г., Саакян С. Г. - Изв. РАН МТТ. 2001. N5. C. 35-42.
8. Bagdoev A. G., Vantsyan A. A. - Int. Journal of Solids and Structures. 2002. N39. P. 851-859.
9. Сафарян Ю. С. - Информационные технологии и управление. 2001. N2. C. 17-49.
10. Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В. -
Изв. АН АрмССР. Механика. 1967. T. 20. N5. C. 21-27.
11. Кольский Г. Волны
напряжения в твердых телах. М. 1955. 192 с.
12. Багдоев А. Г., Варданян А. В. B cб.: Проблемы динамики
взаимодействия деформируемых сред. Горис. 2005. C. 77-81.