МЕХАНИКА

УДК 539.1

Член-корреспондент НАН РА А. Г. Багдоев, А. В. Варданян, С. В. Варданян

Определение линейных частот изгибных колебаний магнитоупругой
цилиндрической оболочки

(Представлено 30/VIII 2005)

   Ключевые слова: изгибные колебания, цилиндрическая оболочка, магнитоупругость

   Рассматриваются линейные изгибные колебания магнитоупругой цилиндрической оболочки в осевом магнитном поле. Решение получено пространственным методом путем аналитических и численных исследований.
   B [1-5] при рассмотрении изгибных колебаний магнитоупругих пластин и оболочек был применен осредненный подход. С помощью нового пространственного подхода [6] магнитоупругие колебания пластин рассмотрены в [7-9]. В настоящей работе использован пространственный анализ для аналитического и численного определения частоты свободных изгибных колебаний магнитоупругой цилиндрической оболочки.
   Пусть бесконечная цилиндрическая оболочка находится в осевом начальном магнитном поле H0.

    Уравнения движения магнитоупругой среды в случае осевой симметрии, - магнитное поле, имеют вид [10,11]:
a12 = H02
4pr
 ,   z = 1 - b2
a2
 ,
2ur
r2
 + b2
a2
 2ur
z2
 + z 2uz
rz
 + 1
r
 ur
r
 - 1
r2
 ur = 1
a2
 2ur
t2
 - a12
a2
 ж
з
и 		hr
z
 - hz
r
 ц
ч
ш 		,
 (1)
b2
a2
 2uz
r2
 + 2uz
z2
 + z 2ur
rz
 + b2
a2
 1
r
 uz
r
 + z
r
 ur
z
 = 1
a2
 2uz
t2
 ,
где для силы Лоренца учтено, что

(2)

 (3)
Уравнение электромагнитной индукции

(4)

где - вектор скорости, - перемещения, с учетом соотношений где - единичные орты по осям r, z, Dj = [1/r][()/(r)](r[(¶j)/(r)]) + [(2j)/(z2)], дает в проекции на оси r, z

hr
t
 = H0 2ur
tz
 + nm ж
з
и 		2hr
r2
 + 1
r
 hr
r
 + 2hr
z2
 - hr
r2
 ц
ч
ш 		,
 (5)
hz
t
 = -H0 ж
з
и 		2ur
tr
 + 1
r
 ur
t
 ц
ч
ш 		+ nm ж
з
и 		2hz
r2
 + 1
r
 hz
r
 + 2hz
z2
 ц
ч
ш 		.
   Ищем решение (3),(5) в виде распространяющейся в направлении оси z плоской волны
xj = rnj,   j = 1,2,3,
ur = AjI1(x)e-iwt+ikz + AўjK1(x)e-iwt+ikz + к.c.,
uz = BjI0(x)e-iwt+ikz + BўjK0(x)e-iwt+ikz + к.c.,
 (6)
hz = CjH0I0(x)e-iwt+ikz + CўjH0K0(x)e-iwt+ikz + к.c.,
hr = DjH0I1(x)e-iwt+ikz + DўjH0K1(x)e-iwt+ikz + к.c.,
где I0,1(x), K0,1(x) - функции Бесселя мнимого аргумента, причем по j суммируется от 1 до 3. Учитывая соотношения
Iў0(x) = I1(x),    Kў0(x) = -K1(x),
dI1(x)
dx
 + 1
x
 I1(x) = I0(x),     dK1(x)
dx
 + 1
x
 K1(x) = -K0(x),
 (7)
можно из (3), (5), (6) получить:
Aj ж
з
и 		nj2 - b2
a2
 k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		+ ziknjBj = a12
a2
 (njCj - ikDj),
ж
з
и 		b2
a2
 nj2 - k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		Bj + ziknjAj = 0,
Cj = iwnj
cj
 Aj,    Dj = wkAj
cj
 ,    cj = -iw + nmk2 - nmnj2,
 (8)
Aўj ж
з
и 		nj2 - b2
a2
 k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		- ziknjBўj = a12
a2
 (-njCўj - ikDўj),
Bўj ж
з
и 		b2
a2
 nj2 - k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		- ziknjAўj = 0,   Cўj = - iwnj
cj
 Aўj,   Dўj = wkAўj
cj
 ,
где по j не суммируется. Таким образом, связи Aўj, -Cўj, Dўj с -Bўj не отличаются знаком от Aj, Cj, Dj с Bj и окончательное уравнение для будет одним и тем же:

(9)
   Полученное уравнение такое же, как и для пластин [7], причем для малых [(a12)/(a2)] и не больших nm

(10)
n12 = k2 - w2
a2
 - a12
a2
 ж
з
и 		k2 - w2
a2
 ц
ч
ш 		ж
з
и 		1 + w2
a2J
 ц
ч
ш 		,
 (11)
n22 = k2 - w2
a2
 + a12
b2
 k2 + w2a12k2
b4J
 ,   J = i w
nm
 .
 (12)

   Таким образом, связи Aj, Cj, Dj через Bj такие же, как для пластины, и такие же, как для Aўj, -Cўj, Dўj через -Bўj. Для завершения решения задачи следует записать граничные условия для r = R - h, r = R + h

(13)
где есть возмущенное магнитное поле вне оболочки. Первые два условия (13) дают на указанных границах
a2 ur
r
 + ж
з
и 		a2 - 2b2 ц
ч
ш 		ж
з
и 		ur
r
 + uz
z
 ц
ч
ш 		= 0,    ur
z
 + uz
r
 = 0.
   Подставляя сюда (6) и полагая zў = z - [(b2)/(a2)], получим
AjnjIў1(xj±) + zўAjnj 1
xj±
 I1(xj±) + AўjnjKў1(xj±) +
+ zўAўjnj 1
xj±
 K1(xj±) + zўBjikI0(xj±) + zўBўjikK0(xj±) = 0,
 (14)
ikAjI1(xj±) + ikAўjK1(xj±) + BjI1(xj±)nj - BўjK1(xj±)nj = 0,
где по j суммируется от 1 до 3, xj± = (R ± h)nj. Осталось выполнить условия

(15)
   При r > R + h, n = k

 

(16)

   При r < R - h

 

(17)

   Используя уравнение

и подставляя в него (16), (17), получим

(18)
   Условия (15) дают с учетом (6)

   Итак, имеют место четыре уравнения (14), к которым добавятся два уравнения, получаемые из последних соотношений исключением

wkAj
cj
 I1(xj+) + wkAўj
cj
 K1(xj+) = i K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}
 м
н
о 		iwnj
cj
 AjI0(xj+) - iwnj
cj
 AўjK0(xj+) ь
э
ю 		,
 (19)
wkAj
cj
 I1(xj-) + wkAўj
cj
 K1(xj-) = -i I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}
 м
н
о 		iwnj
cj
 AjI0(xj-) - iwnj
cj
 AўjK0(xj-) ь
э
ю 		.
   Здесь по j суммируется от 1 до 3. К (14) и (19) следует добавить
Aj = - 1
ziknj
 ж
з
и 		b2
a2
 nj2 - k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		Bj,
 (20)
Aўj = 1
ziknj
 ж
з
и 		b2
a2
 nj2 - k2 + w2
a2
 ц
ч
ш 		Bўj,

где по j не нужно суммировать. Система (14), (19) представляет однородные уравнения относительно A1,2,3, Aў1,2,3 и детерминантное уравнение имеет вид

(21)
где приняты следующие обозначения:
Х ±

j 
 = njIў1(xj±) + znj I1(xj±)
xj±
 + z Bj
Aj
 ik I0(xj±),
Mj± = njKў1(xj±) + znj K1(xj±)
xj±
 + z Bўj
Aўj
 ikK0(xj±),
Pj± = ik I1(xj±) + Bj
Aj
 njI1(xj±),   Wj± = ikK1(xj±) - Bўj
Aўj
 njK1(xj±),
Nj+ = wk
cj
 I1(xj+) + wnj
cj
 K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}
 I0(xj+),
Nj- = wk
cj
 I1(xj-) - wnj
cj
 I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}
 I0(xj-),
Lj+ = wk
cj
 K1(xj+) - wnj
cj
 K1{(R + h)k}
K0{(R + h)k}
 K0(xj+),
Lj- = wk
cj
 K1(xj-) + wnj
cj
 I1{(R - h)k}
I0{(R - h)k}
 K0(xj-).

   При численном расчете уравнения (21) для определения корней w = w(k) дисперсионного уравнения можно в нем все cj разделить на -iw, и поскольку для c3 имеет место (10), можно третий и шестой столбцы в (21) умножить на a12, и кроме того, в членах a12N3±, a12L3± считать, что [(a12)/(c3)] = -a2[1/(z[(a2k2)/(b2J)] + 1)]. Эти преобразования необходимы, чтобы проводить вычисления в (21) также для упругого случая a1 = 0, для которого w = w00. Были проведены расчеты Re w(k) корней трансцендентного уравнения (21) вместе с расчетом корней n1,2,3(w,k) уравнения (9), причем в качестве первого приближения взято (10)-(12), и дисперсионное уравнение для упругого случая a1 = 0 [10]

(22)

                                                                                                                                                      Таблица 1
hў = 0.1,    R = 103

a1/a k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5/105 95.25 142.071 262.124 420.1452 620.0876
1/104 94.9777 142.287 261.085 440.6969 640.2532
2/104 95.335 141.868 260.906 444.768 680.989
1/1000 95.3561 141.834 261.411 455.1 686.297
2/1000 94.0374 140.728 261.772 455.556 687.275
3/1000 37.4045 90.4933 118.291 445.074 687.825
4/1000 56.4103 118.236 176.434 224.562 687.133
5/1000 71.5075 141.546 243.717 287.003 354.739
6/1000 85.3117 168.453 259.745 347.349 425.96
7/1000 99.7618 146.206 291.762 399.149 498.628
8/1000 113.443 227.273 341.19 450.481 568.145
9/1000 127.268 252.926 378.975 509.944 639.966
1/100 141.459 276.627 425.007 563.777 686.181
2/100 282.78 565.711 848.694 1131.47 1414.49
3/100 424.182 848.397 1272.57 1696.54 2120.74
4/100 565.45 1130.9 1696.36 2261.87 2827.22
5/100 706.671 1413.34 2119.97 2826.6 3533.28

                                                                                                                                                   Таблица 2
hў = 0.1,    R = 108

a1/a k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5/105 27.2162 108.861 244.912 435.349 680.126
1/104 27.2167 108.863 244.912 435.350 680.131
2/104 27.2181 108.865 244.92 435.358 680.139
1/1000 26.8179 108.876 245.064 435.587 680.444
2/1000 18.4247 107.53 244.906 435.966 681.169
2.2/1000 12.0007 106.756 244.691 435.981 681.323
2.4/1000 0.019999 105.698 244.374 435.952 681.456
2.6/1000 36.7695 104.288 243.927 435.861 681.567
2.8/1000 39.5979 102.436 243.320 435.700 681.640
3/1000 42.4263 100.05 242.527 435.449 681.675
3.3/1000 46.6689 95.1694 240.901 434.870 681.630
3.6/1000 50.9115 88.1594 238.636 433.981 681.418
3.8/100 53.7399 81.8141 236.693 433.184 681.170
4/1000 56.5683 113.137 234.337 432.191 680.819
5/1000 70.7102 141.42 213.726 423.299 676.911
5.1/1000 72.1244 144.249 216.373 421.946 676.272
5.3/1000 74.9528 149.906 224.858 418.912 674.804
5.5/1000 77.7812 155.562 233.343 415.402 673.093
5.8/1000 82.0237 164.047 246.071 409.127 669.985
6/1000 84.8521 169.704 254.556 339.408 424.260
7/1000 98.9937 197.987 296.981 395.975 494.969
7.1/1000 100.408 200.816 301.224 401.632 502.039
7.2/1000 101.822 203.644 305.466 407.288 509.11
7.5/1000 106.065 212.129 318.194 424.258 530.323
8/1000 113.135 226.271 339.406 452.541 565.676
9/1000 127.277 254.553 381.83 509.107 636.383
1/100 141.418 282.836 424.253 565.671 707.089
1.5/100 212.120 424.240 636.360 848.480 1060.60
2/100 282.814 565.629 848.443 1131.26 1414.07
3/100 424.169 848.337 1272.51 1696.67 2120.84
4/100 565.459 1130.92 1696.38 2261.835 2827.293
5/100 706.665 1413.33 2119.999 2826.657 3533.328

                                                                                                                                                   Таблица 3
hў = 0.1,    R = 103

a1/a k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5/105 92.9628 140.546 260.579 444.445 686.196
1/104 92.9645 140.547 260.581 444.447 686.199
2/104 92.9713 140.553 260.587 444.455 686.209
1/1000 93.0612 140.633 260.748 444.694 686.519
2/1000 91.6883 139.811 260.682 445.111 687.28
2.2/1000 90.8207 139.28 260.507 445.138 687.436
2.4/1000 89.604 138.541 260.235 445.121 687.578
2.6/1000 87.9425 137.545 259.842 445.049 687.698
2.8/1000 85.715 136.235 259.304 444.906 687.787
3/1000 82.7625 134.544 258.591 444.678 687.835
3.3/1000 76.4733 131.118 257.124 444.137 687.807
3.6/1000 66.7971 126.31 255.066 443.3 687.626
3.8/100 57.1981 122.108 253.294 442.543 687.398
4/1000 42.7145 116.885 251.144 441.597 687.068
5/1000 0 57.2232 232.336 433.044 683.306
5.1/1000 0 41.7662 229.443 431.736 682.68
5.3/1000 0 0 222.897 428.805 681.257
5.5/1000 0 0 215.18 425.415 679.585
5.8/1000 0 0 200.87 419.343 676.551
6/1000 0 0 188.999 414.546 674.135
7/1000 0 0 49.9928 378.297 656.017
7.1/1000 0 0 0 373.193 653.526
7.2/1000 169.04 0 0 367.739 650.887
7.5/1000 343.729 0 0 348.982 642.003
8/1000 524.482 0 0 307.252 623.454
9/1000 786.114 0 0 125.186 566.883
1/100 1000.01 0 0 0 465.801
1.5/100 1872.11 2236.56 2115.96 1357.24 0
2/100 2646.98 3465.53 3875.19 4000.08 3857.77
3/100 4124.04 5658.21 6711.58 7490.67 8075.34
4/100 5568.49 7747.08 9330.34 10590. 11632.9
5/100 7000.59 9798.89 11876.9 13570.8 15012.6

                                                                                                                                                   Таблица 4

hў = 0.1,    R = 108

a1/a k 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
5/105 27.2167 108.867 244.949 435.466 680.415
1/104 27.2172 108.868 244.951 435.468 680.417
2/104 27.2185 108.871 244.957 435.476 680.427
1/1000 26.8186 108.888 245.102 435.708 680.735
2/1000 18.4253 107.541 244.95 436.1 681.485
2.2/1000 12.0003 106.768 244.74 436.117 681.637
2.4/1000 0 105.71 244.425 436.09 681.775
2.6/1000 0 104.298 243.979 436.004 681.89
2.8/1000 0 102.45 243.374 435.846 681.973
3/1000 0 100.064 242.581 435.599 682.014
3.3/1000 0 95.1842 240.96 435.024 681.975
3.6/1000 0 88.1736 238.7 434.144 681.78
3.8/100 0 81.8268 236.759 433.352 681.54
4/1000 0 73.5506 234.407 432.367 681.198
5/1000 0 0 213.803 423.509 677.346
5.1/1000 0 0 210.616 422.157 676.708
5.3/1000 0 0 203.38 419.13 675.258
5.5/1000 0 0 194.796 415.63 673.556
5.8/1000 0 0 178.695 409.363 670.472
6/1000 0 0 165.109 404.411 668.017
7/1000 0 0 0 366.929 649.631
7.1/1000 86.4275 0 0 361.637 647.104
7.2/1000 190.028 0 0 355.978 644.427
7.5/1000 352.736 0 0 336.472 635.416
8/1000 528.756 0 0 292.762 616.599
9/1000 787.29 0 0 81.7689 559.155
1/100 1000.0 0 0 0 456.082
1.5/100 1870.94 2236.36 2116.59 1359.63 0
2/100 2645.86 3464.96 3874.93 4000.07 3858.02
3/100 4123.19 5657.67 6711.19 7490.37 8075.12
4/100 5567.83 7746.64 9329.99 10589.7 11632.7
5/100 7000.05 9798.52 11876.6 13570.5 15012.4

здесь n0 - коэффициент Пуассона, n0 = [1/3]. Результаты расчетов действительной частоты Re w при значениях параметров для алюминия [(b2)/(a2)] = [1/3], z = [2/3], a = 105 см/с, r = 3 г/см3, nm = 1000 см2/с., hў = 0.1 см, R = 103, 108 см, k = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 см-1 приведены в табл. 1,2. Проведено сравнение случая R = 108 см (табл.2) с результатами решения соответствующего детерминантного уравнения для Re w(k) для пластин [12]. Результаты почти в точности совпадают, что подтверждает правильность выводов и решений, приведенных в данной статье, для оболочки. Мы сравнили также данные табл.1,2 с соответствующими результатами осредненной теории, для которой дисперсионное уравнение получено в [10], которое после некоторых преобразований может быть записано в виде [9]

(23)
где Для вышеуказанных значений параметров |l1[(hў)/2]| << 1 и (23) дает

(24)

   Расчеты согласно (23) и (24) дают почти совпадающие величины, которые приведены в табл. 3,4. Сравнение результатов табл. 2, полученных по точному пространственному подходу для R = 108 см, с результатами табл. 4, основанными на гипотезе Кирхгофа, показываeт, что имеется качественное соответствие характера изменения величин в кривых Re w(H0), которые начиная от значений w = w00, = w00 для случая a1 = 0 уменьшаются, а затем возрастают, но количественно результаты обеих таблиц совершенно различны. Те же заключения получены при сравнении табл. 1 с табл. 3 для R = 103 см.

   Институт механики НАН РА

Литература

    1. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В. Магнитоупругость тонких оболочек и пластин. М. Наука. 1977. 272 с.
    2. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е. Электропроводящие пластинки и оболочки в магнитном поле. М. Изд-во физ-мат. лит. 1996. 286 с.
    3. Амбарцумян С. А., Белубекян М. В. Колебания и устойчивость токонесущих пластин. Ереван. Изд-во НАН Армении. 1992. 124 с.
    4. Багдоев А. Г., Мовсисян Л. А. - Изв. НАН Армении. Механика. 1999. Т. 52 N1. C. 25-30.
    5. Саркисян В. С., Саркисян С. В., Джилавян С. А., Саргсян А. Л. - Механика. Ереван. ЕГУ. 1980. C. 45-56.
    6. Новацки В. Теория упругости. М. Мир. 1975. 863 с.
    7. Багдоев А. Г., Саакян С. Г. - Изв. РАН МТТ. 2001. N5. C. 35-42.
    8. Bagdoev A. G., Vantsyan A. A. - Int. Journal of Solids and Structures. 2002. N39. P. 851-859.
    9. Сафарян Ю. С. - Информационные технологии и управление. 2001. N2. C. 17-49.
    10. Багдасарян Г. Е., Белубекян М. В. - Изв. АН АрмССР. Механика. 1967. T. 20. N5. C. 21-27.
    11. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. М. 1955. 192 с.
    12. Багдоев А. Г., Варданян А. В. B cб.: Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред. Горис. 2005. C. 77-81.