Reports-2006-Vol106-N1-Babloyan

МЕХАНИКА

УДК 539.3

А. А. Баблоян, В. О. Токмаджян

Плоская смешанная задача для упругого прямоугольника

(Представлено академиком Ф.Т. Саркисяном 21/VII 2005)

Ключевые слова: теория упругости, метод Фурье, свободные коэффициенты интегрирования

Рассматривается задача теории упругости для прямоугольника (0 Ј x Ј l, 0 Ј y Ј h), две соседние стороны которого жестко заделаны, а на остальные две стороны действуют нагрузки. Для простоты будем считать, что на двух сторонах прямоугольника действуют только нормальные нагрузки. Граничные условия для данной задачи имеют вид

u(0,y) = v(0,y) = u(x,0) = v(x,0) = 0,

s_x(1,y) = g(y), t_xy(1,y) = 0, s_y(x,h) = f(x), t(x,h) = 0.

(1)

Известно, что плоская задача теории упругости сводится к определению бигармонической функции F(x,y) при заданных граничных условиях [1-3]. Напряжения и перемещения выражаются через бигармоническую функцию формулами

s_x=

¶²F

¶y²

, s_y=

¶²F

¶x²

, t_xy= -

¶²F

¶x¶y

E[U(x,y) - U₀] =

у
х

¶²F

¶y²

dx - v

¶F

¶x

- e₀y,

E[V(x,y) - V₀] =

у
х

¶²F

¶x²

dy - v

¶F

¶y

+ e₀y.

(2)

Для данной задачи решение бигармонического уравнения представим в виде [4]

F(x,y) =

Ґ
е
k=1

j_k(a_kx)sina_k y +

Ґ
е
k=1

y_k(b_ky)sinb_kx,

a_k(z) = A_k⁽¹⁾

z + B_k⁽¹⁾x

z + z(C_k⁽¹⁾

z + D_k⁽¹⁾

z),

y_k(z) = A_k⁽²⁾

z + B_k⁽²⁾

z + z(C_k⁽²⁾

z + D_k⁽²⁾

z),

a_k=

(2k - 1)p

, b_k=

(2k - 1)p

(3)

Удовлетворяя граничным условиям (1), после ряда преобразований задачу сводим к решению четырех бесконечных систем линейных алгебраических уравнений

y_p⁽¹⁾P₁(a_pl) - x_p⁽¹⁾Q₁(a_pl) +

4a_p

Ґ
е
k=1

(-1)^k-1[

a_p²- vb_k²

(a_p²+ b_k²)²

x_k⁽²⁾-

(1 + v)a_pb_k(-1)^p-1

(a_p²+ b_k²)²

y_k⁽²⁾] = 0,

y_p⁽²⁾P₁(b_ph) - x_p⁽²⁾Q₁(b_ph) +

4b_p

Ґ
е
k=1

(-1)^k-1[

b_p² - va_k²

(a_k²+ b_p²)²

x_k⁽¹⁾-

(1 + v)a_kb_p(-1)^p-1

(a_k²+ b_p²)²

y_k⁽¹⁾] = 0,

x_p⁽¹⁾P₂(a_pl) + y_p⁽¹⁾Q₂(a_pl) +

4a_p

Ґ
е
k=1

[

a_pb_kx_k⁽²⁾

(a_p²+ b_k²)²

(-1)^p-1(va_p² - b_k²)

(1 + v)(a_p²+ b_k²)²

y_k⁽²⁾] = g_p,

(4)

x_p⁽²⁾P₂(b_ph) + y_p⁽²⁾Q₂(b_ph) +

4b_p

Ґ
е
k=1

[

b_pa_kx_k⁽¹⁾

(a_k²+ b_p²)²

(-1)^p-1(vb_p² - a_k²)

(1 + v)(a_k²+ b_p²)²

y_k⁽¹⁾] = f_p,

p = (1.2.3ј),

где введены следующие обозначения:

P₁(z) = (3 - v)

z -

(1 - v)z

ch²

, P₂(z) =

z -

ch²

Q₁(z) =

2 + (1 + v)z

, Q₂(z) =

2 + (1 + v)z

(1 + v)

g(p) = (-1)^p-1

у
х

g(y) sin a_pydy, f_p= (-1)^p-1

1
у
х
0

f(x) sin b_pxdx.

(5)

Неизвестные x_k^(p), y_k^(p) (p = 1,2; k = 1,2,3,ј) связаны с коэффицентами A_k^(P), B_k^(P), C_k^(P), D_k^(P) соотношениями

(1 + v)B_k⁽¹⁾+ 2C_k⁽¹⁾= 0, (1 + v)B_k⁽²⁾+ 2C_k⁽²⁾= 0,

(A_k⁽¹⁾+ D_k⁽¹⁾)

a_kl + (B_k⁽¹⁾+ C_k⁽¹⁾)

a_kl + a_kl(C_k⁽¹⁾

a_kl + D_k⁽¹⁾

a_kl) = 0,

(A_k⁽²⁾+ D_k⁽²⁾)

b_kh + (B_k⁽²⁾+ C_k⁽²⁾)

b_kh + b_kh(C_k⁽²⁾

b_kh + D_k⁽²⁾

b_kh) = 0.

(6)

На основании (6) функции j_k(a_kx) и y_k(b_ky) выражаются через неизвестные x_k^(p), y_k^(p) следующими окончательными формулами:

j_k(a_kx) = -

(-1)^k-1x_k⁽¹⁾

a_k²

j_1,k(x) -

(-1)^k-1y_k⁽¹⁾

a_k²

j_2,k(x),

y_k(b_ky) = -

(-1)^k-1x_k⁽²⁾

b_k²

y_1,k(y) -

(-1)^k-1y_k⁽²⁾

b_k²

y_2,k(y),

(7)

где

j_1,k(x) =

a_kx

+ a_k(l - x)

a_kx

a_kl

- a_kl

ch	a_k(l - x)

ch²

a_kl

j_2,k(x) =

1 + v

ch	a_k(l - x)

a_kl

+ a_kx

sh	a_k(l - x)

a_kl

+ a_kl

a_kx

ch²

a_kl

y_1,k(y) =

b_ky

b_kh

+ b_k(h - y)

b_ky

b_kh

- b_kh

ch	b_k(h - y)

ch²

b_kh

y_2,k(y) =

1 + v

ch	b_k(h - y)

b_kh

+ b_ky

sh	b_k(h - y)

b_kh

+ b_kh

b_ky

ch²

b_kh

(8)

Формулы (2)-(8) дают окончательное решение рассматриваемой задачи.
Если из бесконечных систем (4) исключить неизвестные x_p⁽¹⁾, y_p⁽¹⁾ (или x_p⁽²⁾, y_p⁽²⁾), то получим систему для определения только неизвестных x_p⁽²⁾, y_p⁽²⁾ или x_p⁽¹⁾, y_p⁽¹⁾. После такого исключения нетрудно доказать, что полученные новые бесконечные системы вполне регулярны.

Ереванский государственный университет архитектуры и строительства

Литература

     1. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М. Л. ОГИЗ. 1947. 464 с.
     2. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев. Наукова думка. 1978. 264 с.
     3. Улитко А.Ф. - Прикладная механика. 1967. Т. 3. N9. С. 1-12.
     4. Баблоян А.А., Мкртчян А.М. - Изв. АН АрмССР. Механика. 1971. Т. 24. N5. С. 3-16.
     5. Баблоян А.А., Баблоян К.Б. - Изв. НАН РА. Механика. 1995. Т. 48. N2. С. 72-83.