МАТЕМАТИКА

УДК 517.984.5

А. А. Асатрян

Исследование точечного спектра и обратной задачи рассеяния для
оператора Штурма - Лиувилля с потенциалом, имеющим определенное
поведение на бесконечности

(Представлено чл.-кор. НАН РА Г.Г. Геворкяном 15/VI 2005)

   Ключевые слова: спектр, обратная задача, дифференциальный оператор, данные рассеяния, собственная функция

   Рассмотрим на R = (, Ґ) дифференциальную операцию l, заданную формулой l(y) = -yўў + qy, где коэффициент (потенциал) q - вещественная измеримая функция от переменной x О R, удовлетворяющая условию

0
у
х
-Ґ 
(1 - x)|q(x) - a-|dx + Ґ
у
х
0 
(1 + x)|q(x) - a+|dx < Ґ

с некоторыми постоянными a± О R. Действующий в пространстве L2(R) оператор L определим следующим образом (см. [1], с. 192). Область D определения оператора L состоит из функций y О L2(R), имеющих абсолютно непрерывные на каждом отрезке [a, b] М R первые производные и l(y) О L2(R). Для y О D по определению полагается Ly = l(y). Оператор L является самосопряженным (см. [2]).
   Обозначим m1 = min{a+, a-}, m2 = max{a+, a-}, m3 = Ґ.
   Теорема 1. Собственные значения оператора L (если таковые имеются) простые, лежат в интервале (, m1) и их число конечно.
   В случае a+ = a- = 0 обратная задача рассеяния для оператора L рассмотрена Л. Д. Фаддеевым (см. [3]; [4], с. 264-279), а при a+ = a- 0 легко приводится к указанному случаю. Поэтому мы будем считать a+ a-.
   Обозначим   (m > m1;  j = 1,2) (для корня берется главное значение). Для m О R обозначим через r±(m) половину числа вещественных корней уравнения l2 + a± = m. Очевидно, что функции r+(m) и r-(m) постоянны в каждом интервале (mk, mk+1), k = 1, 2. Для каждого k = 1, 2 обозначим через   значение функции r±(m) в интервале (mk, mk+1).
   Для каждого k = 1,2 при m О (mk, mk+1) уравнение l(j) = mj имеет k линейно независимых ограниченных решений jj(x, m) (x О R,  1 Ј j Ј k). Для этих решений справедливы асимптотические равенства

При этом если обозначить

(1 Ј j Ј k)
то матрицы

невырожденные и связаны соотношением
B(m)B*(m) = C(m)C*(m).
(1)

В качестве одной из этих матриц можно взять произвольную невырожденную матрицу, а по ней другая матрица и решения jj(x,m) определятся однозначно. Из (1) следует, что если одна из матриц B(m), C(m) унитарна, то другая тоже унитарна. Впредь будем предполагать, что матрицы B(m), C(m) унитарны, а их элементы измеримые функции (в частности, в качестве одной из них можно взять единичную матрицу). При такой нормировке систему решений jj(x,m) (m О (mk,mk+1),  1 Ј j Ј k) будем называть нормированной системой обобщенных собственных функций оператора L, соответствующей значению m. При помощи jj(x,m) и собственных функций оператора L осуществляется разложение Фурье (см. [5]).
   Теперь, опираясь на асимптотическое поведение обобщенных и обычных собственных функций, введем данные рассеяния для оператора L.
   Обозначим

и рассмотрим матрицу · S+(m) представляет собой квадратную матрицу порядка 1 + r+(m), которая не зависит от выбора нормированной системы обобщенных собственных функций, причем матрица-функция S+ непрерывно дифференцируема в интервалах (m1, m2) и (m2, m3).
   Обозначим через T точечный спектр оператора L. Пусть m О T, а y - соответствующая нормированная собственная функция. Тогда для y имеет место асимптотическое равенство
y(x, m) = c+(m)eixl1+(m) [1 + o(1)],    x ® Ґ,

где c+(m) - ненулевое комплексное число. Обозначим N+(m) = |c+(m)|2  (m О T). Легко видеть, что числа N+(m) не зависят от выбора нормированных собственных функций y.
   Рассмотрим набор данных
{T, N+(m)(m О T), S+(m)(m О (m1, m2) И (m2, m3)) },
(2)
называемых правыми данными рассеяния оператора L.
   Обратная задача рассеяния для оператора L состоит в восстановлении потенциала q по данным (2).
   По аналогии работ [6, 7] с помощью данных рассеяния введем функцию

(интеграл сходится в обычном смысле).
   Сформулируем теорему, согласно которой потенциал q определяется однозначно по данным рассеяния, и вопрос его восстановления сводится к решению линейного интегрального уравнения.
   Теорема 2. Существует непрерывная производная F+(x,t) = [(2(x,t))/(xt)] (x,t О R), причем функция F+(x,t) вещественна и симметрична (F+(x,t) = F+(t,x), x,t О R), а для каждого x О R линейное интегральное уравнение
K+(x,t) + F+(x,t) + Ґ
у
х
z 
K+(x,x)F+(x,t)dx = 0  (t О [x,Ґ))
имеет единственное решение K+(x, ·) в любом из классов Lp(x,Ґ), 1 Ј p Ј Ґ и имеют место равенства
a+ =
lim
m ®Ґ 
й
к
л
m - щ
ъ
ы
,
q(x) = a+ - 2 d
dx
K+(x,x),  x О R.

   Автор приносит глубокую благодарность профессору И. Г. Хачатряну за постановку задачи и полезные обсуждения результатов.

     Ереванский государственный университет

Литература

     1. Наймарк М. А.  Линейные дифференциальные операторы. М. Наука. 1969.
     2. Петросян А. Г.  - Уч. зап. ЕГУ. 2003. N 3. С. 8-15.
     3. Фаддеев Л. Д.  - Труды Мат. ин-та АН СССР. 1964. Т. 73. С. 314-336.
     4. Марченко В. А.  Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев. Наукова думка. 1977.
     5. Петросян А. Г., Хачатрян И. Г.  - Уч. зап. ЕГУ. 2004. N 1. С. 22-27.
     6. Хачатрян И. Г.  - Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1983. Т. 18. N 5. С. 394-402.
     7. Бабасян С. В.  - Уч. зап. ЕГУ. 1989. N 3 (171).