УДК 517.984.5

   Ключевые слова: спектр, обратная задача, дифференциальный оператор, данные рассеяния, собственная функция

   Рассмотрим на R = (-Ґ, Ґ) дифференциальную операцию l, заданную формулой l(y) = -yўў + qy, где коэффициент (потенциал) q - вещественная измеримая функция от переменной x О R, удовлетворяющая условию

0 у х -Ґ  (1 - x)|q(x) - a-|dx + Ґ у х 0  (1 + x)|q(x) - a+|dx < Ґ

с некоторыми постоянными a^± О R. Действующий в пространстве L²(R) оператор L определим следующим образом (см. [1], с. 192). Область D определения оператора L состоит из функций y О L²(R), имеющих абсолютно непрерывные на каждом отрезке [a, b] М R первые производные и l(y) О L²(R). Для y О D по определению полагается Ly = l(y). Оператор L является самосопряженным (см. [2]).
   Обозначим m₁ = min{a⁺, a^-}, m₂ = max{a⁺, a^-}, m₃ = Ґ.
   Теорема 1. Собственные значения оператора L (если таковые имеются) простые, лежат в интервале (-Ґ, m₁) и их число конечно.
   В случае a⁺ = a^- = 0 обратная задача рассеяния для оператора L рассмотрена Л. Д. Фаддеевым (см. [3]; [4], с. 264-279), а при a⁺ = a^- № 0 легко приводится к указанному случаю. Поэтому мы будем считать a⁺ № a^-.
   Обозначим   (m > m₁;  j = 1,2) (для корня берется главное значение). Для m О R обозначим через r^±(m) половину числа вещественных корней уравнения l² + a^± = m. Очевидно, что функции r⁺(m) и r^-(m) постоянны в каждом интервале (m_k, m_k+1), k = 1, 2. Для каждого k = 1, 2 обозначим через   значение функции r^±(m) в интервале (m_k, m_k+1).
   Для каждого k = 1,2 при m О (m_k, m_k+1) уравнение l(j) = mj имеет k линейно независимых ограниченных решений j_j(x, m) (x О R,  1 Ј j Ј k). Для этих решений справедливы асимптотические равенства
При этом если обозначить

(1 Ј j Ј k)

то матрицы
невырожденные и связаны соотношением

B(m)B*(m) = C(m)C*(m).

(1)

В качестве одной из этих матриц можно взять произвольную невырожденную матрицу, а по ней другая матрица и решения j_j(x,m) определятся однозначно. Из (1) следует, что если одна из матриц B(m), C(m) унитарна, то другая тоже унитарна. Впредь будем предполагать, что матрицы B(m), C(m) унитарны, а их элементы измеримые функции (в частности, в качестве одной из них можно взять единичную матрицу). При такой нормировке систему решений j_j(x,m) (m О (m_k,m_k+1),  1 Ј j Ј k) будем называть нормированной системой обобщенных собственных функций оператора L, соответствующей значению m. При помощи j_j(x,m) и собственных функций оператора L осуществляется разложение Фурье (см. [5]).
   Теперь, опираясь на асимптотическое поведение обобщенных и обычных собственных функций, введем данные рассеяния для оператора L.
   Обозначим

и рассмотрим матрицу · S⁺(m) представляет собой квадратную матрицу порядка 1 + r⁺(m), которая не зависит от выбора нормированной системы обобщенных собственных функций, причем матрица-функция S⁺ непрерывно дифференцируема в интервалах (m₁, m₂) и (m₂, m₃).
   Обозначим через T точечный спектр оператора L. Пусть m О T, а y - соответствующая нормированная собственная функция. Тогда для y имеет место асимптотическое равенство

y(x, m) = c+(m)eixl1+(m) [1 + o(1)],    x ® Ґ,

где c⁺(m) - ненулевое комплексное число. Обозначим N⁺(m) = |c⁺(m)|²  (m О T). Легко видеть, что числа N⁺(m) не зависят от выбора нормированных собственных функций y.
   Рассмотрим набор данных

{T, N+(m)(m О T), S+(m)(m О (m1, m2) И (m2, m3)) },

(2)

называемых правыми данными рассеяния оператора L.
   Обратная задача рассеяния для оператора L состоит в восстановлении потенциала q по данным (2).
   По аналогии работ [6, 7] с помощью данных рассеяния введем функцию

(интеграл сходится в обычном смысле).
   Сформулируем теорему, согласно которой потенциал q определяется однозначно по данным рассеяния, и вопрос его восстановления сводится к решению линейного интегрального уравнения.
   Теорема 2. Существует непрерывная производная F⁺(x,t) = [(¶²(x,t))/(¶x¶t)] (x,t О R), причем функция F⁺(x,t) вещественна и симметрична (F⁺(x,t) = F⁺(t,x), x,t О R), а для каждого x О R линейное интегральное уравнение

K+(x,t) + F+(x,t) + Ґ у х z  K+(x,x)F+(x,t)dx = 0  (t О [x,Ґ))

имеет единственное решение K⁺(x, ·) в любом из классов L^p(x,Ґ), 1 Ј p Ј Ґ и имеют место равенства

a+ = lim m ®Ґ  й к л m - щ ъ ы ,

q(x) = a+ - 2 d dx K+(x,x),  x О R.

   Автор приносит глубокую благодарность профессору И. Г. Хачатряну за постановку задачи и полезные обсуждения результатов.