УДК 517.518

    Ключевые слова: краевые задачи, ускоренная сходимость, разложения по собственным функциям

   1. Введение. Хорошо известно, что классический ряд Фурье на отрезке [a,b], -Ґ < a < b < Ґ, сходится медленно, если разлагаемая функция f(x), продолженная на всю действительную ось (b - a)-периодически, не обладает достаточной гладкостью. Это прежде всего относится к кусочно-гладким функциям.
   Решение практически важной проблемы ускорения сходимости разложений таких функций в ряд Фурье, - по-видимому, впервые, - предложил А. Крылов в 1907 г. (см. [1]). Начало систематическому обоснованию такого подхода положила в 1964 г. работа Ланцоша [2] (см. также [3-7]). Практически эффективные алгоритмы были разработаны за последние 15 лет главным образом в работах К. Экгофа и Д. Готтлиба с соавторами (см., например, [8,9]). Этот подход (алгоритм) назовём КЕГ-методом.
   В работе [13] был разработан другой, нелинейный метод ускорения сходимости рядов Фурье, основанный на применении аппроксимантов Паде к асимптотическому ряду коэффициентов, что привело к еще более точным и устойчивым алгоритмам (квазиполиномиальный (QP) метод). К тому же стало возможным эффективно выявлять колебания произвольной частоты (в том числе затухающие или нарастающие), являющиеся "скрытыми"  компонентами разлагаемой функции.
   Ниже приводятся некоторые теоретические оценки и явные формулы, связанные с последним подходом, в применении к краевой задаче для простейшего дифференциального уравнения с разрывным коэффициентом.
   Отметим, что изучению задач подобного типа, - с точки зрения вычисления собственных значений и собственных функций, - посвящена работа [4].
   2. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу

	i  du dx  = le(x,x)u(x),		(1)
	u(-1) = u(1),		(2)

где x О (-1,1), b О R⁺

e(x,x) =   м н о 1, x О (-1, x) b2, x О [x, 1).

Легко видеть, что собственные значения этой задачи имеют явный вид l_k = -phk, где k О Z и h = [(2p)/(1+x+b²(1-x))], а система собственных функций {f_n} следующая:

fn(x) =   м п н п о  h 2p eihn(1+x), x О [-1, x]  h 2p eihn(1+x+b2(x-x)), x О (x,1].

(3)

Система собственных функций сопряженной задачи имеет вид

yn(x) =   м н о e+ihn(1+x), x О [-1, x] b2e+ihn(1+x+b2(x-x)), x О (x,1].

(4)

Введем обозначения

(5)

Ak =    f (k)(1) b2k  - f (k)(-1),    Bk =    f (k)(x + 0) b2k  - f (k)(x - 0),

(6)

Лемма 1. Пусть f О C^q+1 на каждом из отрезков [-1,x],[x,1]. Тогда

fn = q е k=0   e-ihn(1+x)Bk (ihn)k+1  -  q е k=0   Ak (ihn)k+1  + Fn,

(7)

где

Fn =    1 (ihn)(q+1)     у х 1 -1   f q+1(x) e(x,x)(q+1)

(8)

Доказательство.

	fn = (f, yn) = у х 1 -1  f(x) dt = у х x -1  f(x) dx + у х 1 x  f(x) =		(9)
	у х x -1  f(x)e-ih(1+x)dx + b2 у х 1 x  f(x)e-ihn(1+x+b2(x-x))dx.		(10)

Интегрируя последние интегралы по частям, получим желаемый результат.
   Нам понадобится также следующая
   Лемма 2 [13]. Пусть {a _s } , s = 1, ..., q, 1 Ј q < Ґ , - некоторое конечное множество комплексных чисел и U Н {a_s }  - подмножество целых чисел (возможно, пустое). Тогда справедлива формула

где {b_s},(s = 1, ..., q) - множество положительных целых чисел, p(z) - многочлен степени не выше b_s-1 и принято обозначение x^‡ = (x + 1) (mod 2) - 1, -1 < x^‡ < 1.
   3. Приведем краткое описание аналога КЕГ-метода (ниже, в применении к системе (3), его будем называть A-методом) в случае, когда f О C^q+1 на каждом из отрезков [-1,x],[x,1]. Используя леммы 1 и 2, можно представить функцию f в виде (h = [(2p)/(1+x+b²(1-x))])

f(x) = P(x) + Q(x) + F(x),

(11)

где

P(x) = q е k=0   hAk 2(ih)k+1  eipz ([(h)/(p)]u(x)+1)‡ sin(pz)zk+1 ,

(12)

Q(x) = q е k=0   hBk 2(ih)k+1  eipz ([(h)/(p)](u(x)-x-1)+1)‡ sin(pz)zk+1 ,

(13)

u(x) = 1 + xe(x,x) +    b2 + 1 b2 - 1 x(e(x,x) - 1).

(14)

   Очевидно (см. (8)), коэффициенты Фурье {F_n} функции F(x) имеют порядок убывания, равный, по меньшей мере, o(N^-q-1), N ® Ґ. Отсюда следует, что аппроксимационная формула

SN,q(x) = P(x) + Q(x) + N е n=-N  Fnfn(x)

(15)

сходится (в равномерной метрике) к f со скоростью порядка o(N^q), N ® Ґ.
   4. Переходя к описанию аналога метода QP (ниже будем его называть B-методом), рассмотрим конечные последовательности комплексных чисел и обозначим

(16)

   Если k < 0, то примем
   Лемма 3. Пусть f О C^q+1 на каждом из отрезков [-1,x], [x,1] и m О N, m < q. Тогда f_n = где

(17)

(18)

Fn =    1 (ihn)(q+1)   у х 1 -1   f q+1(x) e(x,x)(q+1) yn(x)dx.

(19)

   Доказательство. Нетрудно проверить следующее тождество (x № -q₁^-1):

q е k=q-m+1  Akxk = x q+1q1  Aq - Aq-mx-m 1 + q1x  +    1 1 + q1x   q е k=q-m+1  (Ak + q1Ak-1)xk.

(20)

   После m-кратного применения того же преобразования придем к формуле

(21)

   Доказательство завершается, если главную часть формулы (7) разделим на четыре суммы и применим преобразование (21) к первым двум слагаемым, с заменой x на (ihn)^-1.
   Из лемм 2 и 3 следует, что функцию f можно представить в виде где - квазиполином, т.е. конечная линейная комбинация функций вида b(x)e^{c x}, где b(x) многочлен, c = (const) О C. Если же векторы q^ў и q^ўў определить из систем

(22)

(23)

то P(x) станет q раз непрерывно дифференцируемой на действительной оси и 2-периодической функцией. В этом случае аппроксимационная формула

(24)

сходится к f со скоростью порядка o(N^-q), N ® Ґ. По сути, мы применили к асимптотическим степенным (по z = (ihn)^-1) рядам (7) аппроксимации Паде порядка [(q - m)/m] (см. [14]).
   5. В случaе, когда b = 1, наш ряд превращается в обыкновенный ряд Фурье, а кусочно-квазиполиномиальные функции P(x) и Q(x) становятся обобщенными полиномами Бернулли. Таким образом, метод A является обобщением КЕГ-метода и, соответственно, метод B - обобщением QP-метода.
   Для того чтобы изучаемый ряд функции f сходился "хорошо", достаточно потребовать, чтобы функция f, продолженная на всю действительную ось 2-периодически, была достаточно гладкой (кроме точек 2n - 1 и x + 2n, где n О Z) и чтобы в точках x = 2n - 1 и x = x + 2n, n О Z, выполнялись равенства [(f ^(k)(x+0))/(b^2k)] = f ^(k)(x - 0), k = 0, 1, ..., q.
   6. Численные эксперименты проведены на компьютере с процессором Pentium 4, 512MB RAM, с применением компьютерной системы MATHEMATICA [15]. Для иллюстрации свойств методов A и B рассмотрим следующую функцию:

f(x) =   м н о sin(3x + 1),    x О [-1,1/3)  1 1.2-x , x О [1/3,1].

(23)