МАТЕМАТИКА

УДК 517.518

Академик А. Б. Нерсесян, Р. Г. Бархударян

Ускорение сходимости разложения по собственным функциям одной
модельной краевой задачи с разрывным коэффициентом

(Представлено 15/VI 2005)

    Ключевые слова: краевые задачи, ускоренная сходимость, разложения по собственным функциям

   1. Введение. Хорошо известно, что классический ряд Фурье на отрезке [a,b], < a < b < Ґ, сходится медленно, если разлагаемая функция f(x), продолженная на всю действительную ось (b - a)-периодически, не обладает достаточной гладкостью. Это прежде всего относится к кусочно-гладким функциям.
   Решение практически важной проблемы ускорения сходимости разложений таких функций в ряд Фурье, - по-видимому, впервые, - предложил А. Крылов в 1907 г. (см. [1]). Начало систематическому обоснованию такого подхода положила в 1964 г. работа Ланцоша [2] (см. также [3-7]). Практически эффективные алгоритмы были разработаны за последние 15 лет главным образом в работах К. Экгофа и Д. Готтлиба с соавторами (см., например, [8,9]). Этот подход (алгоритм) назовём КЕГ-методом.
   В работе [13] был разработан другой, нелинейный метод ускорения сходимости рядов Фурье, основанный на применении аппроксимантов Паде к асимптотическому ряду коэффициентов, что привело к еще более точным и устойчивым алгоритмам (квазиполиномиальный (QP) метод). К тому же стало возможным эффективно выявлять колебания произвольной частоты (в том числе затухающие или нарастающие), являющиеся "скрытыми"  компонентами разлагаемой функции.
   Ниже приводятся некоторые теоретические оценки и явные формулы, связанные с последним подходом, в применении к краевой задаче для простейшего дифференциального уравнения с разрывным коэффициентом.
   Отметим, что изучению задач подобного типа, - с точки зрения вычисления собственных значений и собственных функций, - посвящена работа [4].
   2. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу
du

dx
 = le(x,x)u(x),
(1)
u(-1) = u(1),
(2)
где x О (-1,1), b О R+
e(x,x) =   м
н
о
1,
x О (-1, x)
b2,
x О [x, 1).
Легко видеть, что собственные значения этой задачи имеют явный вид lk = -phk, где k О Z и h = [(2p)/(1+x+b2(1-x))], а система собственных функций {fn} следующая:
fn(x) =   м
п
н
п
о
 h

2p
eihn(1+x),
x О [-1, x]
 h

2p
eihn(1+x+b2(x-x)),
x О (x,1].
(3)
Система собственных функций сопряженной задачи имеет вид
yn(x) =   м
н
о
e+ihn(1+x),
x О [-1, x]
b2e+ihn(1+x+b2(x-x)),
x О (x,1].
(4)
Введем обозначения
(5)

Ak =    f (k)(1)

b2k
 - f (k)(-1),    Bk =    f (k)(x + 0)

b2k
 - f (k)(x - 0),
(6)
Лемма 1. Пусть f О Cq+1 на каждом из отрезков [-1,x],[x,1]. Тогда
fn = q
е
k=0 
 e-ihn(1+x)Bk

(ihn)k+1
 -  q
е
k=0 
 Ak

(ihn)k+1
 + Fn,
(7)
где
Fn =    1

(ihn)(q+1)
    у
х
1

-1 
 f q+1(x)

e(x,x)(q+1)
(8)
Доказательство.
fn = (f, yn) = у
х
1

-1 
f(x) dt = у
х
x

-1 
f(x) dx + у
х
1

x 
f(x) =
(9)
у
х
x

-1 
f(x)e-ih(1+x)dx + b2 у
х
1

x 
f(x)e-ihn(1+x+b2(x-x))dx.
(10)
Интегрируя последние интегралы по частям, получим желаемый результат.
   Нам понадобится также следующая
   Лемма 2 [13]. Пусть {a s } , s = 1, ..., q, 1 Ј q < Ґ , - некоторое конечное множество комплексных чисел и U Н {as }  - подмножество целых чисел (возможно, пустое). Тогда справедлива формула

где {bs},(s = 1, ..., q) - множество положительных целых чисел, p(z) - многочлен степени не выше bs-1 и принято обозначение x = (x + 1) (mod 2) - 1, -1 < x < 1.
   3. Приведем краткое описание аналога КЕГ-метода (ниже, в применении к системе (3), его будем называть A-методом) в случае, когда f О Cq+1 на каждом из отрезков [-1,x],[x,1]. Используя леммы 1 и 2, можно представить функцию f в виде (h = [(2p)/(1+x+b2(1-x))])
f(x) = P(x) + Q(x) + F(x),
(11)
где
P(x) = q
е
k=0 
 hAk

2(ih)k+1
 eipz ([(h)/(p)]u(x)+1)

sin(pz)zk+1
,
(12)
Q(x) = q
е
k=0 
 hBk

2(ih)k+1
 eipz ([(h)/(p)](u(x)-x-1)+1)

sin(pz)zk+1
,
(13)
u(x) = 1 + xe(x,x) +    b2 + 1

b2 - 1
x(e(x,x) - 1).
(14)
   Очевидно (см. (8)), коэффициенты Фурье {Fn} функции F(x) имеют порядок убывания, равный, по меньшей мере, o(N-q-1), N ® Ґ. Отсюда следует, что аппроксимационная формула
SN,q(x) = P(x) + Q(x) + N
е
n=-N 
Fnfn(x)
(15)
сходится (в равномерной метрике) к f со скоростью порядка o(Nq), N ® Ґ.
   4. Переходя к описанию аналога метода QP (ниже будем его называть B-методом), рассмотрим конечные последовательности комплексных чисел и обозначим
(16)
   Если k < 0, то примем
   Лемма 3. Пусть f О Cq+1 на каждом из отрезков [-1,x], [x,1] и m О N, m < q. Тогда fn = где

 

 

(17)

 

 

 

 

(18)

Fn =    1

(ihn)(q+1)
  у
х
1

-1 
 f q+1(x)

e(x,x)(q+1)
yn(x)dx.
(19)
   Доказательство. Нетрудно проверить следующее тождество (x -q1-1):
q
е
k=q-m+1 
Akxk = x q+1q1  Aq - Aq-mx-m

1 + q1x
 +    1

1 + q1x
  q
е
k=q-m+1 
(Ak + q1Ak-1)xk.
(20)
   После m-кратного применения того же преобразования придем к формуле

 

 

(21)

   Доказательство завершается, если главную часть формулы (7) разделим на четыре суммы

и применим преобразование (21) к первым двум слагаемым, с заменой x на (ihn)-1.
   Из лемм 2 и 3 следует, что функцию f можно представить в виде

где - квазиполином, т.е. конечная линейная комбинация функций вида b(x)ec x, где b(x) многочлен, c = (const) О C. Если же векторы qў и qўў определить из систем
(22)
(23)
то P(x) станет q раз непрерывно дифференцируемой на действительной оси и 2-периодической функцией. В этом случае аппроксимационная формула

(24)

сходится к f со скоростью порядка o(N-q), N ® Ґ. По сути, мы применили к асимптотическим степенным (по z = (ihn)-1) рядам (7) аппроксимации Паде порядка [(q - m)/m] (см. [14]).
   5. В случaе, когда b = 1, наш ряд превращается в обыкновенный ряд Фурье, а кусочно-квазиполиномиальные функции P(x) и Q(x) становятся обобщенными полиномами Бернулли. Таким образом, метод A является обобщением КЕГ-метода и, соответственно, метод B - обобщением QP-метода.
   Для того чтобы изучаемый ряд функции f сходился "хорошо", достаточно потребовать, чтобы функция f, продолженная на всю действительную ось 2-периодически, была достаточно гладкой (кроме точек 2n - 1 и x + 2n, где n О Z) и чтобы в точках x = 2n - 1 и x = x + 2n, n О Z, выполнялись равенства [(f (k)(x+0))/(b2k)] = f (k)(x - 0), k = 0, 1, ..., q.
   6. Численные эксперименты проведены на компьютере с процессором Pentium 4, 512MB RAM, с применением компьютерной системы MATHEMATICA [15]. Для иллюстрации свойств методов A и B рассмотрим следующую функцию:
f(x) =   м
н
о
sin(3x + 1),   
x О [-1,1/3)
 1

1.2-x
,
x О [1/3,1].
(23)

Десятичные логарифмы обратных величин равномерных
ошибок при аппроксимации функции (25) (b = 2, x = [ 1/3]).

   На рисунке указаны порядки равномерных ошибок при аппроксимации функции (25) методами A и B для различных значений N. Левый рисунок соответствует случаю q = 5, m = 3, правый - случаю q = 7, m = 4.
   На этих примерах хорошо просматривается явное преимущество B-метода как в смысле точности, так и в смысле устойчивости к накоплению ошибок.
   Эти и другие результаты хорошо согласуются с результатами работы [13] и могут служить основанием для рекомендации алгоритма B к практическому применению. Приближенные скачки Ak, Bk могут быть вычислены по коэффициентам {fn}, |n| £ N < Ґ аналогично работе [13].

   Институт математики НАН РА

Литература

     1. Крылов А. О приближенных вычислениях. Лекции, читанные в 1906 г. СПб. Типилитогр. К. Биркенфельда. 1907. 228 с.
     2. Lanczos C.  - J. Soc. Indust. Appl. Math., Ser. B Numer. Anal. 1964. V. 1. P. 76-85.
     3. Lanczos C.  Discourse of Fourier Series. Hafner. N.-Y. 1966.
     4. Min M.S., Gottlieb D.  - SIAM J. Numer. Anal. 2003. V. 40. N. 6. P. 2254-2269
     5. Jones W.B., Hardy G.  - Math. Comp. 1970. V. 24. P. 47-60.
     6. Lyness J.N.  - Math. Comp. 1974. V. 28. P. 81-123.
     7. Tasche M. - Math. Nachr. 1979. V. 90. P. 123-134.
     8. Baszenski G., Delvos F.J., Tasche M. - Computers and Mathematics with Applications 1995. V. 30. N 3-6. P 33-49.
     9. Gottlieb D., Shu C.W.  - Math. Comp. 1992. V. 43. P. 81-92.
     10. Eckhoff K.S.  - Math. Comp. 1995. V. 64. N 210. P. 671 - 690.
     11. Eckhoff K.S., Wasberg C.E.  - Report no. 99. Dept. of Math. University of Bergen. 1995. P. 1-38.
     12. Gelb A., Gottlieb D.  - Computers Math. Applic. 1997. V. 33. N 11. P. 35-58.
     13. Нерсесян А.Б.  - ДНАН Армении. 2004. Т. 104. N. 4. С. 186-191.
     14. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П.  Аппроксимации Паде. М. Мир. 1986. 502 с.
     15. Wolfram S. The MATHEMATICA book. Fourth Edition. Wolfram Media. Cambridge University Press. 1999. 1468 p.