СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

УДК 624.012

В. С. Саркисян, С. Ш. Нуриджанян, Н. А. Бабаян

Температурный режим в бетонных конструкциях сплошной
цилиндрической формы

(Представлено академиком В. C. Cаркиcяном 29/IV 2005)

   Исследование современного состояния и перспектив развития строительного производства показывает, что в ближайшем будущем потребности конструктивных материалов будут обеспечиваться в основном за счет бетона. При этом повышаются темпы применения монолитного бетона как в промышленном, так и гражданском строительстве. Разработка эффективных технических средств и способов тепловой обработки бетона и определение температурных полей в конструкциях является важной народнохозяйственной задачей.
   Тепловая обработка позволяет быстрее получить изделия с требуемой прочностью, повысить оборачиваемость форм и другого оборудования, а также эффективнее использовать производственные площади.
   Из теории теплопроводности известно, что величина теплового потока в единицу времени через единицу площади поверхности в данной точке тела составляет
Q = -l T
n
 ,
 (1)

где l - коэффициент теплопроводности материала, T(x,y,z,t) - температура тела, n - внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности.
   Учитывая (1), можно получить следующее дифференциальное уравнение теории теплопроводности бетона, выведенное С. В. Александровским [1]:

T
t
 =aС2T + Ц
rr
 э
t
 ,   a = l
rc
 ,
 (2)

здесь a - коэффициент температуропроводности, c - удельная теплоемкость, r -плотность бетона, Ц - содержание цемента в бетоне, э - количество тепла, выделяемое к рассматриваемому моменту времени весовой единицей цемента.
   Уравнение (2) представляет собой уравнение теплового баланса элементарного объема бетона и является основным в теории теплопроводности.
   Решение задачи теории теплопроводности требует интегрирования (2) при соответствующих краевых условиях, определяющих соответственно тепловой поток на поверхности тела и распределение темперaтуры по его объему в начальный момент времени при заданном законе тепловыделения в бетоне от экзотермии бетона э(x,y,z,t).
   Известно, что при прогнозе температурного режима в бетонных конструкциях можно рассматривать влияние внешних и внутренних (связанных с экзотермией цемента) факторов отдельно. Учет только внешних факторов сводится к решению уравнения в цилиндрических координатах:

1
a
 T(r,t)
t
 = 2 T(r,t)
r2
 + 1
r
 T(r,t)
r
 .
 (3)
   Уравнение (3) решаем при следующих условиях:
T(r,0) = T0 = const,
 (4)
T(0,t)
r
 = 0,   T(R,t) = T0 + j(t),
 (5)

где T0 - начальная температура бетона, R - радиус цилиндра.
   Начало координат находится в центре цилиндра.
   Введем новые переменные t = at/R2, z = r/R, при котopыx (3) и краевые условия (4)-(5) примут вид:

T(z,t)
t
 = 2 T(z,t)
z2
 + 1
z
 T(z,t)
z
 ;
 (6)
T(z,0) = T0;    T(z,t)
z
 = 0;   T(1,t) = T0 + j(t).
 (7)
Введем новую функцию
V(z,t) = T(z,t) - T0 - j(t).
 (8)
Тогда краевые условия (7) примут вид:
V(z,0) = V(1,t) = V(0,t)
z
 = 0,
 (9)
а уравнение (6) запишется так:
V(z,t)
t
 + jў(t) = 1
z
z
 ж
з
и 		z V
z
 ц
ч
ш 		.
 (10)
   Применим к уравнению (10) преобразование Хaнкеля [2]

(11)
где p - положительный корень уравнения
J0(p) = 0.
 (12)

   Здесь J0(p) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Kорни этого уравнения приведены в [3,4].
   Формулой обращения для конечного преобразования Ханкеля (11) служит ряд

f(r) = 2
е
p 
 J0(pr)
J12(p)

(13)

в котором суммирование происходит по всем положительным корням уравнения (12). Здесь J1(p) - функция Бесселя первого рода первого порядка.
   Умножив обе части уравнения (10) на zJ0(pz)dz и проинтегрировав в пределах от 0 до 1, получим

1
у
х
0 
 zJ0(pz) й
к
л 		V
t
 + jў(t) щ
ъ
ы 		dz = 1
у
х
0 
 J0(pz)
z
 ж
з
и 		z V
z
 ц
ч
ш 		dz.
 (14)
Интегрируя правую часть (14) по частям, найдем
1
у
х
0 
 J0(pz)
z
 ж
з
и 		z V
z
 ц
ч
ш 		dz = й
к
л 		z V
z
 J0(pz) щ
ъ
ы 		к
к
к 		1

0 
 - p 1
у
х
0 

zJ0ў(pz)

 V
z
 dz,
й
к
л 		z V
z
 J0(pz) щ
ъ
ы 		к
к
к 		1

 
 = 0,    если   J0(p) = 0,
й
к
л 		z V
z
 J0(pz) щ
ъ
ы 		к
к
к

0 
 = 0,    тaк кaк    V
z
 = 0,

Здесь произведено интегрирование по частям:
[VzJ0ў(pz)]|1 = 0,    тaк кaк   V(1,t) = 0,   [VzJ0ў(pz)]|0 = 0.
Таким образом, для правой части (14) находим
1
у
х
0 
 J0(pz)
z
 ж
з
и 		z V
z
 ц
ч
ш 		dz = p 1
у
х
0 
 VJ0ў(pz)dz + p2 1
у
х
0 
 zVJ0ўў(pz)dz.
 (15)
Из теории бесселевых функций известно [5,6], что
dJ0(pz)
dz
 = -J1(pz);     dJ1(pz)
dz
 = J0(pz) - 1
pz
 J1(pz).
Тогда
1
у
х
0 
 J0(pz)
z
 ж
з
и 		z V
z
 ц
ч
ш 		dz = -p 1
у
х
0 
 VJ1(pz)dz - p2 1
у
х
0 
 zV й
к
л 		J0(pz) - 1
pz
 J1(pz) щ
ъ
ы 		dz =
= -p 1
у
х
0 
 VJ1(pz)dz - p2 1
у
х
0 
 zVJ0(pz)dz + p 1
у
х
0 
 VJ1(pz)dz = -p2 1
у
х
0 
 zVJ0(pz)dz =
= -p2(p,t)
Рассмотрим левую часть уравнения (14)
1
у
х
0 
 zJ0(pz) й
к
л 		V
t
 + jў(t) щ
ъ
ы 		dt = dV(p,t)
dt
 + jў(t) 1
у
х
0 
 zJ0(pz)dz =
=+ jў(t)J1(p).

Учитывая, что [5]
1
у
х
0 
 zJ0(pz)dz = 1
p
 J1(p),
окончательно получаем следующeе дифференциальнoе уравнениe:
ў(p,t) + p2(p,t) + jў(t) J1(p)
p
 = 0.
 (16)
Решая (16) при условии (p,0) = 0, находим
(p,t) = exp(-p2t) й
к
л 		- у
х 		jў(t) J1(p)
p
 exp(p2t)dt + C щ
ъ
ы 		,
 (17)
где C - постоянная интегрирования. При t = 0 из (17) следует, что C = 0. Тогда
(p,t) = - J1(p)
p
 exp(-p2t) t
у
х
0 
 jў(t)exp(p2t)dt.
 (18)
Применяя к (18) формулу обращения (13), получим
V(z,t) = -2 Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pnJ1(pn)
 exp(-pn2t) t
у
х
0 
 jў(t)exp(pn2t)dt.
 (19)
Рассмотрим частный случай, когда
j(t) = bt   или   j(t) = bt,   b = bR2/a,   t = at/R2.
   Hагреваниe бетона производится по схеме, приведенной на рис.1, так что j(t) = bt при 0 Ј t Ј t* и j(t) = bt* = const, при t > t*.

Рис.1. График функции j(t).

Возвращаясь к функции T(z,t) получим
T(z,t) - T0 = V(z,t) + j(t)
или
T(z,t) - T0 = j(t) - 2 Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pnJ1(pn)
 exp(-pn2t) 1
у
х
0 
 jў(t)exp(pn2t)dt.
 (20)
Для интервала времени 0 Ј t Ј t*, j(t) = bt, jў(t) = b, имеем
T(z,t) - T0 = bt - 2b Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pnJ1(pn)
 exp(-pn2t) t
у
х
0 
 exp(pn2t)dt =
= bt - 2b Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pn3J1(pn)
 + 2b Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pn3J1(pn)
 exp(-pn2t).
Учитывая, что [7]
Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pn3J1(pn)
 = 1
8
 (1 - z2),   при   0 < z < 1,
окончательно получаем при t Ј t*
q = T(z,t) - T0
b
 = t - 1 - z2
4
 + 2 Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pn3J1(pn)
 exp(-pn2t).
 (21)
Когда t > t*, имеем
T(z,t) - T0 = bt* - 2 Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pnJ1(pn)
 exp(-pn2t) ×
× й
к
л 		1
у
х
0 
 jў(t)exp(pn2t)dt + t
у
х
t* 
 jў(t)exp(pn2t)dt щ
ъ
ы 		=
= bt* - 2b Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pnJ1(pn)
 {exp[-pn2(t - t*)] - exp(-pn2t)}.
Или окончательно
q = T(z,t) - T0
b
 = t* - 2 Ґ
е
n=1 
 J0(pnz)
pn3J1(pn)
 {exp[-pn2(t - t*)] - exp(-pn2t)}.
 (22)

   Полученные зависимости позволяют прогнозировать температурный режим в любой точке бетонных и железобетонных конструкций цилиндрической формы в любой момент времени. В работе [8] рассмотрен случай прогноза температурного режима в плоских конструкциях. Результаты расчетов по формулам (21) и (22) при t* = 0.2 приведены на рис.2.
Рис.2. Результаты расчетов по формулам (21) и (22) при t* = 0.2.

   Ереванский архитектурно-строительный университет

Литература

    1. Александровский С. В. Расчет бетонных и железобетонных конструкций на температурные и влажностные воздействия. М. Стройиздат. 1966. 443 с.
    2. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М. Гос. изд. техн. - теор. лит. 1956. 204 с.
    3. Справочник по специальным функциям. Под ред. М. Абрамовица и И. Стигана. М. Наука. 1979. 832 с.
    4. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М. Наука. 1964. 344 с.
    5. Лыков А. В. Tеория теплопроводности. М. Высшая школа. 1967. 599 с.
    6. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М. Наука. 1964. 488 с.
    7. Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уфлянд Я. С. Сборник задач по математической физике. M. Гос. изд. техн. - теор. лит. 1955. 420 с.
    8. Саркисян В. С., Нуриджанян С. Ш., Бабаян Н. А., Тер-Петросян П. А. - ДНАН Армении. 1999. Т. 99. N 3. С. 252-257.