МЕХАНИКА

УДК 539.1

Член корреспондент НАН РА А. Г. Багдоев, А. Н. Мартиросян,
С. М. Погосян

Решение cмешанной динамической граничной задачи для упругого
полупространства

(Представлено 30/III 2005)

   Рассматривается задача о движении изотропного упругого полупространства z і 0, на границе которого вдоль полуплоскости x і 0 заданы горизонтальные перемещения, а вдоль x і 0 граница свободнa от напряжений. Решение получено методом интегральных преобразований Лапласа по времени t и преобразований Фурье по координатам x,y и приводится к системе Винера - Хопфа, которая решается методами сингулярных интегральных уравнений и циркулянтов. Вычисляются коэффициенты интенсивности касательных напряжений около края полуплоскости z = 0, x = 0, |y| < Ґ. Метод циркулянтов при решении системы уравнений Винера - Хопфа предложен в [1].
   Аналогичная данной статическая задача методом Винера - Хопфа решена в [2]. Приведение задачи Гильберта к системе Фредгольма дано в книге [3]. В настоящей работе дается численное решение вышеуказанной системы Фредгольма и вычисление интегралов для коэффициентов интенсивности касательных напряжений.
   1. Сведение задачи к системе Винера - Хопфа. Выберем оси координат x,y в плоскости поверхности, ось z по нормали к указанной плоскости; ось y направлена вдоль прямой раздела граничных условий. Пусть Uj, J = 1, 2, 3, есть компоненты перемещений вдоль осей x, y, z. Уравнения движения упругой среды имеют вид
x1 = x,  x2 = y,  x3 = z,  (a2 - b2)
xj
 Uk
xk
 + b2DUj = 2U
t2
 ,
 (1.1)
где a, b - скорости упругих волн, D - оператор Лапласа.
   Граничные условия берутся в форме (z = 0, |y| < Ґ)

szz = 0,   -Ґ < x < Ґ;  sxz=0,   syz=0,   -Ґ < x < 0,
 (1.2)

 (1.3)

где P, Q, h0, x0 - постоянные, H(x) - единичная функция.
   Обозначив через преобразования Лапласа по t от Uj, через - преобразования Фурье по x, y от можно записать

(1.4)
Подставляя (1.4) в (1.1), получим
где s - параметр преобразования Лапласа.
   Кроме того из (1.1) имеет место

(1.5)
   Подставив (1.4) в граничные условия (1.2), (1.3) и обращая преобразования Фурье по x,y, получим

(1.6)

 (1.7)

где индекс (+) дает функции, аналитические в верхней полуплоскости , а индекс (-) дает аналитические функции в нижней полуплоскости .
   Исключая из (1.6) функции , можно получить систему Винера - Хопфа

AF+ + BF- + C = 0,
 (1.8)
где

C = Aj0,
(1.9)
a0 =
a1 =
a1f =
(1.10)

   Система уравнений (1.8) имеет обычный вид [1], здеcь введен циркулянт A, что позволяет для настоящей задачи найти асимптотику решения для ® Ґ в замкнутом виде.
   2. Решение задачи Гильберта для произвольного . Уравнение (1.8) может быть записано в виде задачи Гильберта
F+() = G()F-() + g(),
(2.1)
где
G()= -A-1B = ж
з
з
з
з
з
и
-a0g1
D
a1g1
D
a1fg1
D
- a0g1
D
ц
ч
ч
ч
ч
ч
ш 		,  g = ж
з
и 		-Pg1+
-Qg1+
 ц
ч
ш 		,
- функция Рэлея.
   Решение задачи (2.1), ограниченное на бесконечности, дано в [3] в виде

 

 (2.2)
где матрицы функции x() удовлетворяют однородным уравнениям
X+() = G()X-(),   G() = X+(){X-()}-1.
(2.3)
   Как показано в [3], уравнение для x() в (2.3) можно привести к системе интегральных уравнений Фредгольма

 

 (2.4)

где g есть асимптотическое поведение X-() для » Ґ. Здесь интеграл берется в смысле главного значения Коши, X-() после факторизации G() дается следующей асимптотической формулой:

(2.5)
где

hR = [(w)/(cR)] есть корень уравнения Рэлея для плоской задачи. Здесь все факторизуемые функции удовлетворяют условиями теоремы B из [5].
   Из (2.2) с учетом (1.9), (2.5), вводя обозначения

X+() = ж
и 		X11  X12
X21  X22
 ц
ш 		-1

 
 ,    X-() = ж
и 		y11  y12
y21  y22
 ц
ш
(2.6)
для больших , соответствующих малым x, можно получить

(2.7)

где XjK даются (2.3), (2.5) заменой на z.
   Соотношения (2.7) для касательных напряжений вблизи края z = 0, x » 0, x > 0, после обратных интегральных преобразований, дают асимптотику, где в коэффициенте перед интегралом в (2.7) взято » Ґ, в форме

syz
b2r
 = 1
16p3

ж
з
и 		1 + i
2pi
 ц
ч
ш 		s+iҐ
у
х
s-iҐ 
 ds Ґ
у
х
-Ґ 
 db Ґ
у
х
-Ґ 
 da

 

 ·
· Ґ
у
х
-Ґ 
 Mў1(1 - eiwz0x0)es(t-ax-by) dz0
z0 - a
 ,
 (2.8)
где = wa, = wb, b = [1/(c1)]l, z = z0w, z0 = [1/(c1)]c,

(2.9)

   Обозначая f1,2 = t - ax - by ± bh0, f3,4 = t - ax - by ± bh0 + z0x0, вычисляя интеграл в (2.8) по s и после этого интеграл от дельта-функции по a d(f1,2) d(f3,4), можно получить решение в форме Смирнова - Соболева.
   Пусть и есть корни уравнений f1,2 = 0, f3,4 = 0,

(2.10)
   Для x » 0 из (2.8), (2.10) можно получить
|| » Ґ,   || » Ґ,

 (2.11)
и такое же выражение для [(syz)/(r)] заменой M1ў на N1ў.
   Поскольку для больших a X-(a) = g(a) и из (2.5)

(2.12)
из (2.4), (2.6) можно получить систему интегральных уравнений Фредгольма

(2.13)

 (2.14)

где вместо (-Ґ,Ґ) взят для вычислений интервал интегрирования (-5,5), что возможно для приближенных расчетов сходящихся интегралов.
   В силу (2.4), (2.1) в (2.14)

(h), (h), f(h) даны в (1.10), (2.13).
   3. Численный расчет коэффициентов интенсивности напряжений. При расчете решений системы (2.14) интегралы заменяются суммами и решение ищется в точках l,h = 0, 1, 2, 3, 4, 5, -1, -2, -3, -4, -5.
   После определeния из (2.3), (2.6) можно получить

(3.1)

 (3.2)
функции в (3.2) зависят от аргументов c, l, (c) По формулам (2.9), (2.11) с учетом (2.13), обозначая

(3.3)

получим напряжения вблизи оси y для x > 0 в виде (Q = 0)

(3.4)
где

(3.5)

   Интегралы в (3.5) взяты в смысле главной части Коши. В (3.4), (3.5) считается, что t = 0,1;1;3 [(x0)/(c1t)] = 1, [(h0)/(c1t)] = 1, y = 0. Значения x0,h0 различны для трех величин t.
   Результаты расчетов I1 - I2 - I3 + I4, I5 - I6 - I7 + I8 приведены в таблице.

t 0.1 1 3
I1 - I2 - I3 + I4 -0.02 × 105 -0.0066 × 105 -0.0.38 × 105
I5 - I6  - I7 + I8 0.076 × 105 0.024 × 105 0.013 × 105

   Так как в левых частях (3.4) коэффициент при   и имеет порядок 105, для и получится соответственно -0.02, -0.0066, -0.0038 и 0.076, 0.024, 0.013.

   Гориcский филиал Государственного инженерного университета Армении
   Институт меxаники НАН РА

Литература

    1. Саркисян В. С. Караханян И. М. B cб: Проблемы механики тонких деформируемых тел. K 80-летию академика НАН PА С. А. Амбарцумяна. Ереван. 2002. C. 266-280.
    2. Петросян С. З. Об одном классе смешанных задач для неоднородного по степенному закону упругого полупространства. Канд. дис. Ин-т механики НАН PА. Ереван. 2002.
    3. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М. 1970. 379 с.
    4. Мартиросян А. Н. Краевые задачи нестационарного движения анизотропных и изотропных упругих сред. Докт. дис. Ин-т механики НАН PА. Ереван 1990. 272 с.
    5. Нобл Б. Метод Винера - Хопфа. М. ИЛ. 1962. 278 с.