СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЙ

УДК 62-501.7

С. О. Симонян, Ф. П. Григорян

Синтез одномерного управления с наперед заданным спектром в
нестационарной интегро-дифференциальной системе уравнений

(Представлено академиком А. А. Терзяном 26/I 2005)

   Постановка задачи. Пусть задана равномерно в [t0,t1] управляемая система
(t) = A(t)X(t) + B(t)u(t),
u(t) = t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,tў)n(tў)dtў,
n(tў) = b(tў)X(tў)
или
(t) = A(t)X(t) + B(t) t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,tў)b(tў)X(tў)dtў,
 (1)

где X(t) = (x1(t),x2(t),...,xn(t))T - (n×1) - мерный вектор переменных состояния; n(t) - скалярный входной сигнал регулятора; g(t - tў,tў) - скалярная импульсная переходная функция регулятора; u(t) - скалярное управляющее воздействие (выходной сигнал регулятора).
   Пусть A(t) = (aij(t)), i,j = B(t) = (h1(t),h2(t),...,hn(t))T; b(t) = (b1(t),b2(t),...,bn(t)) и A(t), B(t), b(tў), g(t - tў,tў) дифференцируемы по своим аргументам любое необходимое число раз. Требуется построить b(tў) так, чтобы решение системы (1) имело вид

X(t) = K(t)Y(t) = n
е
i=1 
 ki(t)yi(t),
 (2)
где Y(t) = (y1(t),y2(t),...,yn(t))T - решение системы
(t) = li(t)yi(t),   i =
(3)

причем K(t) = [k1(t),k2(t),...,kn(t)] - некоторая невырожденная матрица порядка n с векторами-столбцами ki(t), i = подлежащая определению; li(t), i = - наперед заданные, необходимое число раз дифференцируемые на [t0,t1] функции, удовлетворяющие условиям:
   1. |li(t) - lj(t)| > 0,  i № j,   i,j =
   2. li(t), i = не совпадают с нулями и особыми точками передаточной функции регулятора,
   3. li(t), i = не пересекаются хотя бы с одним из собственных значений матрицы A(t), т.е. |ci(t) - lj(t)| > 0, i № j, i,j = где ci(t), i = - собственные значения матрицы A(t).
   Решение задачи. Пусть матрица управляемости S(t) имеет ранг n в любой точке t заданного интервала [t0,t1], т.е. [1-4]

rang S(t) = rang(S1(t), S2(t),...,Sn(t)) = n,
где
S1(t) = B(t)
Sk(t) = A(t)Sk-1(t) -(t),   k =
   Выполнив в системе (1) преобразование [5]
X(t) = S(t)Z(t),
 (4)
получим [3]
(t) = A0(t)Z(t) + B0 · t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,tў)q(tў)Z(tў)dtў,
 (5)
где
q(tў) = b(tў)S(tў) = (q1(tў),q2(tў),...,qn(tў)),

а структуры A0(t) и B0 можно найти в [3,4].
   Полагая, что элементы матриц A(t) и q(tў), а также g(t - tў,tў) как функция от аргумента tў являются медленно меняющимися функциями [1], введем так называемое медленное время t = et, и вместо уравнения (5) рассмотрим уравнение более общего вида

(t,e) = A0(t)Z(t,e) + B0 t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,rў)q(rў,e)Z(tў,e)dtў,
 (6)

(очевидно, что при e = 1 система (6) совпадает с системой (5)).
   Для решения задачи воспользуемся методом матричныx и асимптотических разложений по малому параметру. При этом заметим, что расcматриваемая система равномерно управляема на интервале [t0,t1], ввиду чего свойство управляемости системы остается инвариантным относительно используемых преобразований.
   Сделаем в системе (6) замену переменных по аналогии с (2):

Z(t,e) = K(t,e)Y(t,e) = n
е
i=1 
 ki(t,e)yi(t,e),
 (7)

где K(t,e) = (k1(t,e),k2(t,e),...,kn(t,e)) - некоторая невырожденная матрица порядка n с векторами-столбцами ki(t,e), i = подлежащая определению, причем по аналогии с (3)

(t,e) = li(t)yi(t,e),    i =
(8)
Очевидно, что
yi(t,e) = ciexp t
у
х
t0 
 li(tў)dtў,   i =
(9)
где ci - произвольные постоянные. С учетом (6) и (7) имеем
n
е
i=1 
 й
к
л 		e dki(t,e)
dt
 + ki(t,e)li(t) щ
ъ
ы 		yi(t,e) =
= n
е
i=1 
 й
к
л 		A0(t)ki(t,e)yi(t,e) + B0 t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,tў)q(tў,e)ki(tў,e)yi(tў,e)dtў щ
ъ
ы 		.
   Выбор ki(tў,e) и qi(tў,e) ограничим требованием выполнения равенств [1]
й
к
л 		e dki(t)
dt
 + ki(t,e)li(t) щ
ъ
ы 		yi(t,e) =
= A0(t)ki(t,e)yi(t,e) + B0 t
у
х
-Ґ 
 g(t - tў,rў)q(tў,e)ki(tў,e)yi(tў,e)dtў,    i =
(10)
   Из (8)-(10) следует, что
e dki(t,e)
dt
 + ki(t,e)li(t) = A0(t)ki(t,e) +
+ B0 t
у
х
-Ґ 
 й
к
л 		g(t - tў,rў)q(tў,e)ki(tў,e)exp ж
з
и 		tў
у
х
t0 
 li(t,e)dt - t
у
х
t0 
 li(tў,e)dtў ц
ч
ш 		щ
ъ
ы 		,   i =
(11)

   В интеграле правой части (11) сделаем замену переменной t - tў = s, откуда tў = t - s и dtў = -ds, следовательно из t = et следует tў = etў = e(t - s) = et - es = t - es. Поэтому уравнение (11) приобретает вид

e dki(t,e)
dt
 + ki(t,e)li(t) = A0(t)ki(t,e) +
+ B0 Ґ
у
х
t0 
 {g(s,t - es)q(t - es,e)ki(t - es,e)exp[qi(t - s,e) - qi(t,e)]}ds,
 (12)
где qi(t), i = - функции, удовлетворяющие соотношениям
dqi(t)
dt
 = li(t),    i =
Следовательно
tў
у
х
t0 
 li(t,e)dt - t
у
х
t0 
 li(tў,e)dtў = qi(t,e) кtў
к
кt0		 - qi(tў,e) кt
к
кt0 		=
= qi(tў,e) - qi(t0,e) - qi(t,e) + qi(t0,e) = qi(t - s,e) - qi(t,e).
   Далее воспользуемся разложениями для ki(t - es,e), q(t - es,e), exp[qi(t - s,e) - qi(t,e)], q(s,t - es) [1], а также
b(t,e) = b[0](t) + eb[1](t) + ... + enb[n](t) + ... = q(t,e)S-1(t) =
= й
к
л 		q[0](t) + Ґ
е
k=1 
 ekq[k](t) щ
ъ
ы 		S-1(t),
 (13)
откуда
b[k](t) = q[k](t)S-1(t),    k = 0,1,2,...
 (14)
Обозначим [1]
R00(l,t) є R(l,t) = Ґ
у
х
t0 
 g(s,t)exp(-ls)ds,
 (15)
Rsj(l,t) є s+jR(l,t)
lstj
 = (-1)s Ґ
у
х
t0 
 jg(s,t)
tj
 ssexp(-ls)ds,   s, j = 0,1,2,....
 (16)

R00(l,t) є R(l,t) можно трактовать как передаточную функцию регулятора с параметрами, "замороженными" в момент времени t (т.е. постоянными величинами, соответствующими моменту времени t) [1].
   Подставим выражения из [1] и (13) в уравнения (12) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях e, воспользовавшись соотношениями (15), (16). При этом получим бесконечную систему уравнений для последовательного определения искомых членов разложений ki(t,e) и q(t,e).
   Покажем, как определяются из этих уравнений искомые величины, имея в виду, что они содержат члены нулевого, первого, второго, ... порядка.
   Определение членов нулевого порядка. Приравнивая коэффициенты при нулевой степени e, из (12) получим

ki[0](t)li(t) = й
к
л 		A0(t) + B0 Ґ
у
х
t0 
 g(s,r)exp(-li(t)s)dsq[0](t) щ
ъ
ы 		ki[0](t).
 (17)
Положим
U(i)(t) є U(li(t),t) = A0(t) + B0R(li(t),t)q[0](t),   i =
(18)
Следовательно, с учетом (15), (16) и (18) соотношение (17) можно представить в виде
U(i)(t)ki[0](t) = li(t)ki[0](t),   i =
(19)

   Последние равенства, естественно, имеют место тогда, когда li(t), i = являются собственными значениями матрицы U[i](t), а ki[0](t), i = - соответствующими их собственными векторами.
   Вектор-строку q[0](t) = (q1[0](t),q2[0](t),...,qn[0](t)) с размерами 1 × n можно вычислить в соответствии с результатами, полученными в [6]. Имея q[0](t), далее нетрудно построить матрицу собственных векторов ki[0](t) матрицы U(li(t),t).
   По первому условию задачи и в соответствии с результатами, полученными в [6], легко заключить, что

det
 K[0](t) = (k1[0](t),k2[0](t),...,kn[0](t)) № 0.
Обозначим
M(t) = [K[0](t)]-1 = ж
з
з
з
з
и
M1(t)
M2(t)

 ...

Mn(t)

 ц
ч
ч
ч
ч
ш 		,
 (20)
где Mi(t), i = - вектор-строки с размерами 1 × n. Тогда в соответствии с [1] будем иметь:
U[i](t) · ki[0](t) = li(t) · ki[0](t),
Mi(t) · U[i](t) = li(t) · Mi(t),
Mi(t) · ki[0](t) = 1,  i =
Пусть
Pi(t) = ki[0](t) · Mi(t),
P-i(t) = En - Pi(t) =(t) · M-i(t),  i =

где (t) и M-i(t) - матрицы с размерами n × (n - 1) и (n - 1) × n соответственно. Тогда матрицы (t) и M-i(t) друг с другом и с матрицами ki[0](t) и Mi(t) связаны соотношениями

M-i(t) · (t) = En-1,    M-i(t) · ki[0](t) = 0,    Mi(t) · ki[0](t) = 0.
Далее, если обозначим
k(i)(t) = лki[0](t),(t)ы,    M(i)(t) =
 (21)
L(i)(t) =    L-i(t) = M-i(t) · U(i)(t) ·(t),
 (22)
то нетрудно убедиться, что
U(i)(t) = k(i)(t) · L(i)(t) · Mi(t),
 (23)
M(i)(t) · k(i)(t) = k(i)(t) · M(i)(t) = En,    i =
(24)

Заметим также, что собственными значениями матрицы L-i(t) служат собственные значения lj(i)(r), j = матрицы U(i)(t).
   Определение членов первого порядка. Приравнивая коэффициенты при первой степени e в (12) и имея в виду (15), (16) и (18), получаем

ki[1](t) · li(t) = U(i)(t) · ki[1](t) + B0 · R00(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) - Di[0](t),    i =
(25)
   Заметим, что вектор-столбец Di[0](r) будет известeн при известных ki(t), q[0](t) и заданных li(t), i =
   Выражение (25) напишем в следующем виде:
U(i)(t) · ki[1](t) = ki[1](t) · li(t) - B0 · R00(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) + Di[0](t),   i =
(26)
   Заменим в (26) U(i)(t) выражением (23). Тогда получим
k(i)(t) · L(i)(t) · M(i)(t) · ki[1](t) = ki[1](t) · li(t) -
- B0 · R(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) + Di[0](t),   i =
   Умножив теперь последнее равенство слева на M(i)(t), согласно (21) будем иметь
L(i)(t) · M(i)(t) · ki[1](t) = M(i)(t) · ki[1](t) · li(t) -
- M(i)(t) · B0 · R(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) + M(i)(t)Di[0](t),   i =
(27)
Обозначим
xi[1](t) = M(i)(t) · ki[1](t) = ж
з
и 		Mi(t) · ki[1](t)
M-i(t) · ki[1](t)
 ц
ч
ш 		= ж
з
и


ц
ч
ш 		,   i =
(28)
   Тогда (27) примет следующий вид:
L(i)(t) · xi[1](t) = xi[1](t) · li(t) - M(i)(t) · B0 · R(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) +
+ M(i)(t)Di[0](t),   i =
(29)
   Согласно (21)-(22) и (28) равенство (29) распадается на систему следующих соотношений:
Mi(t) · B0 · R(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) = Mi(t) · Di[0](t),   i =
(30)
L-i(t) ·(t) =(t) · li(t) - M-i(t) · B0 · R(li(t),t) · q[1](t) · ki(t) +
+ M-i(t) · Di[0](t),   i =
(31)
   Пусть Mi(t) = (mi1(t),mi2(t),...,min(t)), i = Кроме того предположим, что mi1(t) № 0, i = Тогда (30) принимает вид
q[1](t) · ki[0](t) = Mi(t) · Di[0](t)
mi1(t) · R(li(t),t)
 ,    i =
(32)
   Объединив соотношения (32), получим
q[1](t) · [k1[0](t),k2[0](t),...,kn[0](t)] =
й
к
л 		M1(t) · D1[0](t)
m11(t) · R(l1(t),t)
 , M2(t) · D2[0](t)
m21(t) · R(l2(t),t)
 ,..., Mn(t) · Dn[0](t)
mn1(t) · R(ln(t),t)
 щ
ъ
ы 		= Q[0](·).
 (33)
Согласно (20) выражение (33) преобразуется в
q[1](t) = Q[0](·) · M(t).
 (34)
Используя (13), (14), из (34) найдем
b[1](t) = Q[0](·) · M(t) · S-1(t).
Теперь вернемся к уравнению (31), которое при (32) принимает следующий вид:
[li(t) · En-1 - L-1(t)] ·(t) = M-i(t) й
к
л 		B0 · Mi(t)
mi1(t)
 - En щ
ъ
ы 		· Di[0](t).
 (35)

Матрица L-i(t) не имеет собственных значений, равных li(t). Следовательно, [li(t)·En-1 - L-i(t)] является невырожденной матрицей, и из равенства (35) можно определить (t):

(t) = [li(t) · En-1 - L-i(t)]-1 · M-i(t) · й
к
л 		B0Mi(t)
mi1(t)
 - En щ
ъ
ы 		· Di[1](t),   i =

   Таким образом, неопределенной осталась лишь (t). С учетом результатов, полученных в [1], в качестве (t) можно взять некоторую произвольную, необходимое число раз дифференцируемую, скалярную функцию. Зная xi[1](t), из (28) легко можно определить и искомый вектор-столбец ki[1](t):
   Определение членов порядка k = 2,3,.... Пусть найдены все члены разложений ki(t,e) и b(t,e) до порядка k - 1 включительно. Тогда таким же путем, как и выше, можно определить члены порядка k.
   Заключение. Из (2), (3) и (4) следует вид для решения системы (1):

X(t,e) = S(t) · K(t) ·· c,
 (36)
где c - вектор-столбец произвольных постоянных, причем
L(t) = diag(l1(t),l2(t),...,ln(t)).

   Вектор-столбец Xm(t,e), определенный равенством (36), в предположении, что в разложениях ki(t - es,e), q(t - es,e), exp[qi(t - s,e) - qi(t,e)], q(s,t - es) [1], а также для (13), (14) берутся лишь члены порядка не выше m относительно e, назовем приближенным решением m-го порядка для системы (1). Следуя [1], можно доказать, что Xm(t,e) носит асимптотический характер, т.е. |X(t,e) - Xm(t,e)| Ј em+1 · N, где N - некоторое ограниченное число.

   Государственный инженерный университет Армении
   Ереванский государственный колледж информатики

Литература

    1. Абгарян К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М. Наука 1973. 431 с.
    2. Д'Анджело Г. Линейные системы с переменными параметрами, анализ и синтез. М. Mашиностроение. 1974. 287 с.
    3. Bucy R. S. - IEEE. Transaction on Autimatic Control. 1968. V AC-13. N5. P. 567-569.
    4. Chao K. S, Liu D. K. IEEE. - Transaction on Autоmatic Control. 1971. V. AC-16. N1. P. 100-101.
    5. Симонян С. О. - Изв. НАН РА и ГИУА. 2000. T. 53. N3. С. 389-393.
    6. Григорян Ф. П. - Изв. НАН РА и ГИУА. 2002. Т. 55. N1. С. 121-127.