Множество таких перестановок обозначим через D(f, Y). В случае строгих неравенств D(f, Y) содержит только одну убывающую перестановку. Определим m гриди аппроксимант элемента f по базису Y, отвечающий перестановке s О D(f,Y) следующим образом:

Этот нелинейный метод аппроксимации известен как гриди алгоритм (см. например [1]). Гриди алгоритмы для банаховых пространств, относительно нормированных базисов изучены Конягиным, Темляковым [1], ДеВором [2], Войтащиком [3], Григоряном [4,5] и др. (см. [6,7]).
   Определение 1. Говорят, что гриди алгоритм элемента f О X по системе Y сходится, если существует s О D(f,Y), для которой

||Gm(f, Y, s) - f||X = 0 .

(1)

   Если базис Y является безусловным, то ясно, что последовательность операторов сходится к f О X независимо от выбора s О D(f, Y).
   Определение 2. Система Y = называется квазигриди в X, или квазигриди базисом в (Y), если для каждого элемента f О(Y) и для любой перестановки s О D(f, Y) выполняется (1).
   В работе [2] доказана следующая
   Теорема [Войтащик]. Для того, чтобы базис Y был квазигриди базисом в X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента f О X, для всякой перестановки s О D(f, Y) и для любого натурального числа m выполнялось неравенство

Напомним определение системы Фабера - Шаудера. Это система функций F =

k называется рангом функции j_k⁽ⁱ⁾(x). Носитель функции j_n(x) , n = 2,3,... системы (3) обозначим через D_n, а точку, где j_n(x) = 1 , n = 2, 3, ..., через x_n.
   В работе [7] доказано, что в пространстве C_[0,1] не существует квазигриди базиса. Следовательно, в случае системы Фабера - Шаудера (система Фабера - Шаудера базис в пространстве C_[0,1], см. [8]) для любого положительного числа B существуют функция f₀ О C_[0,1], перестановка s₀ О D(f, F) и натуральное число m₀, для которых ||G_m0(f₀, F, s₀ ) ||_C > B · ||f₀||_C.
   Отметим, что доказательство этого результата не имеет конструктивного характера.
   В настоящей работе приведено конструктивное доказательство этого результата со следующим усилением:
   Теорема 1. Для любого x₀,

Gm(f0, F, s, x0) == +Ґ ,

Пусть S =

r(S) = sup sup L(n + m) - L(n) m .

r(S) называется плотностью множества S.
   Пусть F_Sў = такая подсистема системы (3), что носители функций j_nўk(x), k = 1, 2, ..., попарно не пересекаются (например F_Sў =. Очевидно, что F_Sў является безусловным, следовательно и квазигриди базисом в замыкании своей линейной оболочки и r(Sў) = 0.
   Справедлива следующая
   Теорема 2. Существует подсистема F_S системы Фабера - Шаудера с r(S) = 0, которая не является квазигриди системой в C_[0,1].
   Пусть F_S = некоторая подсистема системы (2), S₀ =О S некоторое подмножество множества S и носитель функции , j = 1, 2, .... Очевидно, что для всякой S₀ =О S пересечение либо пусто, либо точка отрезка [0,1].
   Если = x₀ О [0,1] , то точку x₀ назовем точкой сгущения носителей функций подсистемы F_S.
   Верна следующая
   Теорема 3. Для того, чтобы подсистема F_S = системы (2), являлась квазигриди базисом в замыкании своей линейной оболочки, необходимо, чтобы носители функций этой подсистемы не имели точек сгущения в множестве E₀.
   Рассмотрим подсистему

в которой j_n1(x) = j₂(x) = j_2⁰+1(x) (носителем D_n1 является интервал (0,1) , x_n1 =  ¹/₂) , j_n2(x) = j₃(x) = j_2¹+1(x) (носителем D_n2 является левая половина интервала D_n1 , x_n2 = ¹/₄) , j_n3(x) = j₆(x) = j_2²+2(x) (носителем D_n3 является правая половина интервала D_n2 , x_n3 = [(¹/₂+¹/₄)/2]), и т.д. Носителем функции j_n2m+1(x) является правая половина интервала D_n2m (x_n2m+1 = [(x_n2m-1+ x_n2m)/2]), а носителем функции j_n2m+2(x) является левая половина интервала D_n2m+1 (x_n2m+2 = [(x_n2m+ x_n2m+1)/2]) , m = 1, 2, ... .
   Нетрудно показать, что все функции подсистемы (3) имеют одно и то же значение в точке ¹/₃:

Более того, нетрудно доказать, что для каждой точки x₀ О E₀ существуeт подсистема F_S = такая, что j_nk(x₀) = ²/₃ , k = 1, 2, ... .
Совокупность таких подсистем обозначим через .
   Ясно, что для каждой подсистемы = F_S О ряд |j_nk(x) - j_nk-1(x)| сходится в каждой точке x О [0,1]. Положим

Пусть

Ґ е k=1  ak = 1 + 1 2 - 1 2 + 1 3 + 1 4 - 1 4 ... .

(4)

и A некоторое конечное число. По схеме Римана переставим члены ряда (4) так, чтобы он сходился к A. Члены переставленного ряда обозначим через A_k, т.е.

Ґ е k=1  Ak = A.

(5)

   Рассмотрим следующий ряд:

Ґ е k=1  Akjnk(x) ,

(6)

где = F_S О, члены ряда (5). Пусть x₀ О [0,1] точка, в которой функции этой подсистемы принимают значение ²/₃. Ясно, что ряд (6) сходится в каждой точке x О [0,1], так как

Ґ е k=1  Akjnk(x0) = 2 3 Ґ е k=1  Ak = 2 3 A,

а при x О [0,1]\{x₀} он представляет собой конечную сумму.
   Положим

f0(x) = Ґ е k=1  Akjnk(x).

Проведя преобразование Абеля и используя лемму , нетрудно показать, что ряд (6) сходится к f₀(x) равномерно.
   Пусть x₀ О E₀ произвольная точка и F_S =О такая подсистема системы (2), что j_nk(x₀) = ²/₃ ,  k = 1, 2, .... Из равномерной сходимости ряда (6) следует, что

f0(x) = Ґ е k=1  Akjnk(x) О(FS),

где члены ряда (5). Из построения ряда (6) следует, что при некоторой s О D(f₀,F_S)

Gm(f0, FS, s, x0) = m е k=1  As(k)jns(k)(x0)  = 2 3 m е k=1  ak.

Нетрудно видеть, что r(S) = 0 и для любой s О D(f₀,F_S),

Gm(f0, FS, s, x0) = +Ґ.

   Теоремы доказаны.
   В заключение выражаю благодарность профессору М. Г. Григоряну, под руководством которого выполнена эта работа.

   Ереванский государственный университет

Литература

    1. Konyagin S. V., Temlyakov V. N. - East J. on Approx. 1999. V. 5. P. 1-15.
    2. De Vore R. A., Temlyakov V. N. - Advances in Computational Math. 1996. N5. P. 173-187.
    3. Wojtaszczyk P. - J. Approx. Theory. 2000. V. 107. P. 293-314.
    4. Григорян М. Г. - Изв. НАН Армении. 2004. V. 39. N5. P. 1-14.
    5. Grigoryan M. G. - Harmonic analysis and approximations II. 2003. International conference. Abstrac.
    6. Гогян С. Л. - ДНАН Армении. 2005. V. 105. N1. P. 5-9.
    7. Dilworth S. J., Kalton N. J., Kutzarova D. - STUDIA MATHEMATICA. 2003. V. 159(1). P. 67-101.
    8. Schauder J. - Math. Zeit. 1927. Bd. 26. S. 47-65.

---