Reports-2005-Vol105-N4-Zakaryan

МАТЕМАТИКА

УДК 517.53

Академик В. С. Захарян, М. М. Мирзоян

Усиление теоремы Мейера o граничном поведении эквиморфных
функций

(Представлено 6/V 2005)

   В настоящей работе усиливается теорема Мейера ([1], с. 204) для эквиморфных в единичном круге D функций по произвольным касательным путям [2], а также для эквиморфных функций доказываются две теоремы о свойствах P-последовательности [3,4] и о максимальности предельного множества теоремы Коллингвуда ([1], с. 108) по произвольным касательным путям.
   1. Пусть D : |z| < 1 - единичный круг, G : |z| = 1 - единичная окружность, W - сфера Римана (на протяжении всей работы обозначения D, G и W остаются теми же). Пусть h : D ® D - такой гомеоморфизм круга D на себя, что отображения h, h^-1 равномерно непрерывны относительно гиперболической метрики единичного круга ds(z) = (1 - |z|²)^-1|dz|; s(z₁,z₂) обозначает расcтояние между точками z₁,z₂ О D в гиперболической метрике. Такие гомеоморфизмы принято называть эквиморфизмами [5].
   В работе Х. Э. Мехия [2] введено понятие эквиморфной функции и доказано, что множество эквиморфных функций строго содержит в себе множество квазикoнфoрмных функций [6].
   Эквиморфной функцией называется функция f : D ® W, которая допускает представление f = g o h, в котором h : D ® D эквиморфизм и g : D ® W мероморфная функция, нетождественно равная постоянной.
   Пусть x = e^tq О G. Для произвольных действительных чисел a и q, 0 < a < Ґ; q і 0, назовем правым q-путем L⁺(x,q,a) всякую кривую, которая задается непрерывной на [0;1) функцией z = z(t) со свойствами:

z(t) = x;   |z(t) - x| <;   q < argz(t) < q +,   argz(t) ® 0  (монотонно),

при  t ® 1  и (1 - |z(t)|)|argz(t) - q|^-q-1= a.

Обозначим через L^-(x,q,a), 0 < a < Ґ; q і 0, и назовем левым q-путем образ правого q-пути L⁺(x,q,a) при симметрии относительно радиуса h(x,0) круга D в точке x О G. Правые и левые q-пути назовем q-путями L(x,q,a) (или просто L(x,q)). Для произвольных a > 0, b > 0, q₁ і 0, q₂ і 0, 0 < d < [1/2] назовем (q₁,q₂)-углом в точке x О G и обозначим через D(x,q₁,q₂,a,b,d) (или просто D(x,q₁,q₂), если нас не интересуют размеры этого угла) подобласть круга D, ограниченную двумя разными L(x,q₁,a) и L(x,q₂,b) путями (возможeн случай q₁= q₂) и окружностью |z - x| = d, где d достаточно малое положительное число.
2. Для произвольной комплекснозначной функции f : D ® W, произвольной точки x О G и произвольного множества S М D, для которого точка x является предельной точкой, рассмотрим предельное множество C(f,x,S) функции f в точке x по множеству S в виде C(f,x,S) = где V_r(x) = {z О D; |z - x| < r}, r > 0 и черта - замыкание множества.

   Пусть A - произвольное конечное множество неотрицательных чисел. Точку x О G отнесем к множеству P_A(f), если каждый q-путь L(x,q) содержит P-последовательность [3] функции f(z). Точку x О G отнесем к множеству E_A(f), если для любого (q₁,q₂)-угла D(x,q₁,q₂), q₁,q₂ О A, справeдливо C(f,x,D(x,q₁,q₂)) = C(f,x,D). Точку x О G отнесем к множеству K_A(f), если для любых двух (q₁,q₂) и (q₁ў,q₂ў)-углов D(x,q₁,q₂) и D(x,q₁ў,q₂ў), q₁,q₂,q₁ў,q₂ў О A, имеем C(f,x,D(x,q₁,q₂)) = C(f,x,D(x,q₁ў,q₂ў)). Ясно, что E_A(f) М K_A(f).
   3. Справедлива следующая
   Теорема 1. Пусть f(z) эквиморфная в круге D функция, f : D ® W, имеет каноническое представление f = g o h. Тогда q-путь L(x,q) не содержит P-последовательностей для f(z) в том и только в том случае, когда найдется (q₁,q₂)-угол D(x,q₁,q₂), содержащий L(x,q), в которoм C(Q_f,x,D(x,q₁,q₂)) ограничено, где

Q_f(z) = (1 - |h(z)|²) · |gў(h(z))| · (1 + |g(h(z))|²)^-1.

Необходимость. Допустим противное, т.е. для любого (q₁,q₂)-угла D(x,q₁,q₂), содержащегo L(x,q), множество C(Q_f,x,D(x,q₁,q₂)) не ограничено. Тогда согласно лемме 1 из [7] для любого e > 0 существуют такиe d, 0 < d < 1, и (q,q)-угол D(x,q,q), что

L(x,q) З {z; |z - x| < d} М D(x,q,q) М {z О D;s(z;L(x,q)) < e}.

Не нарушая общности, будем обозначать q-путь L(x,q) З {z;|z - x| < d} опять символом L(x,q). Но по допущению C(Q_f,x,D(x,q,q)) не ограничено. Следовательно, существует последовательность точек {z_n}, z_n О D(x,q,q), по которой Q_f(z_n) = Ґ. Тогда найдется подпоследовательность {z_j} из {z_n} такая, что

s(z_j,L(x,q)) = 0 и

Q_f(z_j) = Ґ.

   Пусть {z_jў} такая последовательность точек на q-пути L(x,q), для которой s(z_j,z_jў) = 0. Тогда согласно теореме 6 из [2] последовательность точек {z_jў} является P-последовательностью для f(z), что невозможно. Противоречие.
   Достаточность. Допустим противное, т.е. по некоторому (q₁,q₂)-углу D(x,q₁,q₂), содержащему q-путь L(x,q), множество C(Q_f,x,D(x,q₁,q₂)) ограничено и q-путь L(x,q) содержит P-последовательность {z_n} для функции f(z). Тогда согласно лемме 1 из [7] найдется такой угол D(x,q,q), что L(x,q) М D(x,q,q) М D(x,q₁,q₂), и значит, множество C(Q_f,x,D(x,q,q)) ограничено. Так как q-путь L(x,q) содержит P-последовательность, то в силу теоремы 4 из [2] найдется такая последовательность {z_nў}, s(z_n, z_nў) = 0, по которой Q_f(z_nў) = Ґ. Начиная с некоторого номера n все точки z_nў попaдут в (q,q)-угол D(x,q,q), и значит, C(Q_f,x,D(x,q,q)) не ограничено. Это противоречие доказывает теорему 1.
   Замечание. В случае, когдa q = 0 и f - мероморфная в D функция, теорема 1 доказана в [8], а в случае, когдa q = 1 и f - мероморфная в D функция, она усиливает лемму 2 из [9].
   4. Справедлива следующая
   Теорема 2. Пусть A - произвольное конечное множество неотрицательных чисел. Если для эквимоpфной в D функции f : D ® W в некоторой точке x О K_A(f), множествa C(Q_f,x,D(x,q₁,q₂)) ограничены для любого (q₁,q₂) - угла, q₁,q₂ О A, тo для каждого q-пути L(x,q), q О A, множества C(f,x,L(x,q)) одинaковы и совпадают с множеством C(f,x,D(x,q₁,q₂)). В частности, если в точке x О E_A(f) множество C(Q_f,x,D) ограничено, то для любого q-пути L(x,q), q О A, справедливо

C(f,x,L(x,q)) = C(f,x,D).

   Замечание. В случае, когдa A = {0} и f - мероморфная в D функция, теорема 2 доказана в работе [8] а в случае, когдa A = {0;1} и f - мероморфная в D функция, она является усилением леммы 3 из [9].
   5. Пусть f - произвольная функция в круге D и A - произвольное конечное множество неотрицательных чисел. Точку x О G отнесем к множеству M_A(f), если для произвольного q-пути L(x,q), q О A, имеем C(f,x,L(x,q)) = C(f,x,D) № W. Точку x О G отнесeм к множеству I_A(f), если для произвольного (q₁,q₂)-угла D(x,q₁,q₂), q₁,q₂ О A имеем C(f,x,D(x,q₁,q₂)) = W. Ясно, что для произвольной функции f : D ® W множества I_A(f), M_A(f) являются непересекающимися подмножествами множества K_A(f).
   Справедлива следующая теорема, которая является усилением теоремы 1 из [7].
   Теорема 3. Пусть f произвольная функция f : D ® W, а A произвольное конечное множество неотрицательных чисел. Тогда G = E_A(f) И F, где F - множество первой категории и типа F_s на G.
   Замечание. В случае, когда A = {0}, теорема 3 доказана Е. П. Долженко ([1], с. 249), в случае, когда A = {0;1}, она усиливает лемму 1 из [9].
   Теорема 4. Для произвольной эквиморфной в круге D функции f : D ® W и для произвольного конечного множества A неотрицательных чисел справедливо

E_A(f) = M_A(f) И I_A(f).

   Для доказательства теоремы 4 достаточно доказать вложение E_A(f) М M_A(f)ИI_A(f), поскольку обратное вложение следует из определений участвующих в нем множеств. Рассмотрим произвольную точку x О E_A(f), в которой C(f,x,D) № W. Тогда согласно теореме 4 из [2] supQ_f(z) < Ґ, z О D, и значит, в силу теоремы 2 x О M_A(f). В случае, когда C(f,x,D) = W, заключаем, что x О I_A(f), т.е. теорема 4 доказана.
   Замечание. В случае, когда f - мероморфная в D функция, теорема 4 усиливает лемму 4 из [7], а в случае, когда A = {0} и f - мероморфная в D функция, она доказана в [10].
   Объединяя результаты теорем 3 и 4, получаем следующую теорему, которая является усилением теоремы Мейера ([4], с. 204).
   Теорема 5. Для произвольной эквиморфной в D функции f : D ® W и для произвольного конечного множества A неотрицательных чисел справедливо разложение

G = M_A(f) И I_A(f) И F,

где F - множество первой категории и типа F_s на G.
Замечание. В случае, когда f - мероморфная в D функция, теорема 5 усиливает теорему 3 из [7], в случае, когда A = {0} и f - эквиморфная в D функция, она доказана в работе [2], в случае, когда A = {0} и f - мероморфная в D функция, - в работе [10], а в топологических пространствах сходные теоремы доказаны в работах [11-13].

Государственный инженерный университет Армении

Литература

    1. Коллингдвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. М. Мир. 1971. 312 с.
    2. Мехия Х. Э. - ДАН СССР. 1982. T. 265. N1. C. 35-38.
    3. Гаврилов В. И. - Матем. сб. 1965. T. 67 (109). N3. C. 408-427.
    4. Гаврилов В. И. - Матем. сб. 1966. T. 71 (113). N3. C. 386-404.
    5. Ефремович В. А. - Матем. сб. 1952. Т. 31. Bып. 1. С. 189-200.
    6. Lehto O., Virtanen K. I. - Quasiconformal mappings in the plane. Berlin. Springer-Verlag. 1973.
    7. Мирзоян М. М. - ДАН Арм. ССР. 1978. T. 66. N4. C. 200-204.
    8. Гаврилов В. И. - ДАН СССР. 1974. T. 216. N1. C. 21-23.
    9. Айрапетян А. Н., Гаврилов В. И. - Изв. АН Арм.ССР. Mатемaтикa. 1976. T. 11. N5. C. 390-399.
    10. Гаврилов В. И., Канатинков А. Н. - ДАН ССCР. 1977. T. 233. N1. C. 15-17.
    11. Гаврилов В. И., Канатинков А. Н. - Математички весник. 1988. (40). Херцег-Нови. Югославия. C. 217-223.
    12. Гаврилов В. И., Канатинков А. Н., Кравцев С. В., Симушев А. А. - Математички весник. 1986. (38). Будва. Югославия. C. 437-450.
    13. Абду Аль-Рахман Хасан - ДАН СССР. 1981. T. 260. N4. C. 777-780.