УДК 517.53

   Понятие нормальной функции, рассмотренное для мероморфных функций и состоящее в свойстве пoрождать нормальное семейство на группе T всех конформных автоморфизмов области определения, было затем перенесено на гармонические и субгармонические функции. В случае единичного круга D : |z| < 1 группа T состоит из элементов T : {S(z) = e^ta(z + a)(1 +^-1, где a - произвольная точка в D, a - произвольное действительное число (см. например [1-3]). В статье [4] была сформулирована задача об изучении граничных свойств мероморфных функций, порождающих нормальные семейства на подгруппах группы T. В качестве примера была рассмотрена подгруппа T^q : {S_a^q(z) = (z + ae^tq )(1 + aze^-tq ), a изменяется в интервале (-1,1) и q, 0 Ј q Ј p, фиксировано. Исследования были продолжены в работах [6,7] и дp.
   Действительнозначную функцию u(z) отнесём к классу U^q(0 Ј q Ј p фиксировано), если порождаемое ею семейство {U(S_a^q(z)); S_a^q О T^q} нормально в D в смысле Монтеля. Обозначим для любой точки x = e^tq О C : |z| = 1 через H(x,j₁,j₂) область, ограниченную двумя гиперциклами L(x,j₁) и L(x,j₂), проходящими через x и -x и образующими углы j₁ и j₂ с диаметром, соединяющим точки x и -x. Обозначим через r(z₁,z₂) неевклидово расстояние между точками z₁,z₂ О D. Для произвольной точки x окружности G : |z| = 1 обозначим через h(x,j) хорду круга D, оканчивающуюcя в точке x и образующую с радиусом в этой точке угол раствора j,-[(p)/2] < j < [(p)/2]. Подобласть круга D, расположенную между хордами h(x,j₁) и h(x,j₂), где -[(p)/2] < j₁ < j₂ < [(p)/2], обозначим через D(x,j₁,j₂). Пусть R = (-Ґ, +Ґ) и = {-Ґ} И R И {+Ґ}. Скажем, что функция u(z) имеет угловой предел a в точке x О G, если C(u,x,D(x,j₁,j₂)) = a для всех углов D(x,j₁,j₂), где j₁,j₂ О (-[(p)/2],[(p)/2]).
   Если же C(u,x,D(x,j₁,j₂)) = R для всех углов D(x,j₁,j₂), где j₁,j₂ О (-[(p)/2],[(p)/2]), то точку x называют точкой Плеснера.
   Для доказательства результатов работы предварительно приведём несколько лемм, необходимых для дальнейшего.
   Лемма 1. Пусть непрерывная в D функция u(z) О U^q, где 0 < q < p фиксировано, имеет u(z_n) = c по некоторой последовательности {z_n} О H((x,j₁,j₂), z_n®x = e^tq (или -e^tq). Если {z_nў} произвольная последовательность точек в D, для которой r(z_n,, z_nў) ® 0 при n ® Ґ, то u(z_nў) = c.
   Доказательство утверждения леммы 1 проведено в работе [8].
   Лемма 2. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p и предельные множества C(u,x,h((x,j₁)), C(u,x,h((x,j₂)) ограничены сверху числом a (или ограничены снизу числом a). Тогда предельное множество C(u,x,D(x,j₁,j₂)) также ограничено сверху (снизу) числом a.
   Доказательство леммы 2 с учётом леммы 1 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы для нормальных и субгармонических функций в работе [9]. Поэтому мы его опускаем.
   Лемма 3. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p фиксировано. Если u(z) = a, то a будет угловым пределом функции u(z) в точке x.
   Доказательство утверждения леммы 3 мы также не приводим, так как наши рассуждения аналогичны рассуждениям Мика при доказательстве теоремы о существовании угловых граничных у нормальных гармонических функций (см.[3]).
   Лемма 4. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p и x - произвольная точка окружности G. Тогда предельные множества C(u,x,L((x,j)), C(u,x,h((x,j)) совпадают при любом j О (-[(p)/2],[(p)/2]).
   Доказательство леммы 4 с учётом леммы 1 проводится так же, как и доказательство леммы работы [9].
   Теорема 1. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p фиксировано. Для того, чтобы функция uў(z) имела в точке x = e^tq (или x = -e^tq) угловой предел a, необходимо и достаточно существованиe двух таких хорд h(x,j₁) и h(x,j₂), для которых справедливо соотношение

lim z®z,z О h(x,j1)  u(z) = lim z®z,z О h(x,j2)  u(z) = a(1).

   Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности заметим, что предельные множества C(u,x,h((x,j₁)) и C(u,x,h((x,j₂)) ограничены сверху и снизу числом a. Из утверждения леммы 2 следует, что предельное множество C(u,x,D((x,j₁,j₂)) также ограничено сверху и снизу числом a. Следовательно u(z) = a. Отсюда в силу утверждения леммы 3 получим,

что u(z) в точке x имеет угловой предел a, что и требовалось доказать.
   Замечание. Отметим, что в силу утверждения леммы 4 можно в теореме 1 вместо хорд h(x,j₁) и h(x,j₂) рассматривать гиперциклы L(x,j₁) и L(x,j₂). Утверждение теоремы останется в силе.
   Рассмотрим ещё одну теорему о существовании угловых значений в произвольной точке x О G.
   Теорема 2. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p фиксировано. Для того, чтобы функция u(z) имела в точке x = e^tq (или x = -e^tq) угловой предел a, необходимо и достаточно, чтобы предельные множества C(u,x,L((x,j₁)) и C(u,x,L((x,j₂)) были ограничены сверху (или снизу) числом a и существовала такая кривая L с концами в точке x, целиком содержащаяся в некоторой области H(x,j₁ў,j₂ў) М H(x,j₁,j₂), что u(z) = a.
   Доказательство теоремы 2 проводится в случае ограниченности сверху числом a. В силу леммы 4 будем иметь, что предельные множества C(u,x,h((x,j₁)) и C(u,x,h((x,j₂)) будут также ограничены сверху числом a. Отсюда согласно утверждению леммы 2 следует, что C(u,x,D((x,j₁,j₂)) ограничено сверху числом a. Поэтому и предельное множество C(u,x,H(x,j₁ў,j₂ў)) ограничено сверху (или снизу) числом a.
   Покажем, что u(z) = a. Пусть z_n - произвольная последовательность точек в H(x,j₁ў,j₂ў) такая, что z_n = x. Без нарушения общности будем считать, что x = 1. Для произвольного n, n = 1,2,ј, опустим из точки z_n на диаметр в точке x неевклидовый перпендикуляр E_n и обозначим через A_n, и B_n два гиперцикла неевклидового расстояния r = 1 от E_n.
   Определим через G_n,jў₁,jў₂ открытое множество в D, ограниченное A_n, B_n и гиперциклами L(x,jў₁) и L(x,jў₂). Через G_n,j₁,j₂ обозначим открытое множество в D, ограниченное A_n, B_n и двумя гиперциклами L(x,j₁) и L(x,j₂).
   Пусть r_n - пересечение E_n с диаметром в точке x и для любого n, n = 1,2,ј, обозначим w = S_n(z) = [(z + r_n)/(1 + r_nz)]. Через q_n обозначим точки пересечения E_n с кривой L при любом n.
   Прообраз (G_n,jў₁,jў₂) = Q_n,j₁ў,j₂ў, при любом n, n = 1,2,ј, есть область в D, ограниченная четырьмя гиперциклами, два из которых симметричны относительно диаметра, а два других симметричны относительно -1 < y < 1, где z = x + iy =(w). Аналогично (G_n,j₁,j₂) = Q_n,j₁,j₂. Таким образом, при любом n

Qn,j1ў,j2ў = Qn+1,j1ў,j2ў = Qў,   Qn,j1,j2 = Qn+1,j1,j2  и  М D.

   Будем считать, что |j₁ў| Ј |j₂ў| и |j₁| Ј |j₂|. Так как u(z) О U^q, то существует подпоследовательность [u(Sn_k(z))], которая равномерно сходится на   к субгармонической функции U(z) или равномерно расходится к ±Ґ. Обозначим через q_nў прообразы точек q_n при отображениях S_n(z) при любом n. Тaк кaк последовательности {q_n} и {z_n} лежат в области H(x,j₁ў), то r(q_n,z_n) Ј M при n = 1,2,ј, где M = r(0,arctg j₂ў/2). В силу инвариантности метрики r при отображениях S_n(z) и условий Sn_k(0) = r_nk и -Sn_k(q_nkў) = qn_k, Sn_k(Zn_kў) = Zn_k будем иметь, что прообразы последовательностей {r_nk} и {q_nk} лежат на компакте .
   Так как  и при любом n, то при конечном a отсюда следует, что предельная функция U(z) подпоследовательности u[(Sn_j(z))] ограничена сверху числом a на компакте , а следовательно на компакте . Подпоследовательности {q_nkў} и {Zn_kў} имеют по крайней мере по одной предельной точке на , которые обозначим соответственно qў₀ и z₀ў, причём q₀ў О. Так как u(S_nk(q_nkў )) =u(q_nk) = a, то и U(q₀ў) =U(q_nkў) = a. В силу принципа максимума модуля для гармонических функций имеем, что U(z) є a. Отсюда следует, что

u(snk (znkў)) =u(znk) = a.

   В силу того, что произвольная последовательность точек {Z_n} такая, что z_n=x, принадлежащая области H(x,j₁ў,j₂ў), содержит подпоследовательность {z_nk}, по которой u(z_nk) = a, то и u(z_n) = a. Следовательно u(z) = a и согласно утверждению леммы 3 u(z) имеет в точке x угловой предел a,

что и требовалось доказать. При a є Ґ легко видеть, что U(z) є +Ґ и угловой предел u(z) равен +Ґ.
   То, что условия теорем 1,2 существенны, показывает пример функции u(z) = arg (1 - z).
   Теорема 3. Пусть гармоническая в D функция u(z) О U^q, где 0 Ј q < p фиксировано. Для того, чтобы точка x = e^tq была точкой Плеснера для функции u(z), необходимо и достаточно существование некоторой последовательности {z_n} ® x, целиком содержащейся в некоторой области H(x,j₁,j₂), для которой предельное множество C(u,x,z_n) не ограничено сверху и снизу.
   Доказательство. Небходимость очевидна. Для доказательства достаточности заметим, что предельное множество C(u,x,D(x,j₁,j₂)) для всех углов D(x,j₁,j₂), где j₁,j₂ О (-[(p)/2],[(p)/2]), должно быть не ограничено сверху и снизу. Действительно, если хотя бы для одного угла D₁(x,j₁ў,j₂ў) предельнoе множество C(u,x,D(x,j₁ў,j₂ў)) было бы ограничено сверху (или снизу), то согласно известной теореме (см.[6]) для любого угла D(x,j₁,j₂) предельное множество C(u,x,D(x,j₁,j₂)) ограничено сверху (или снизу), что противоречит условию теоремы. Учитывая, что u(z) - непрерывная функция и любой угол D(x,j₁,j₂) связное множество, будем иметь, что для любого угла D(x,j₁,j₂), где j₁,j₂ О (-[(p)/2],[(p)/2]), справедливо соотношение C(u,x,D(x,j₁,j₂)) =. А это значит, что точка x = e^tq является точкой Плеснера, что и требовалось доказать.

   Росcийско-Армянский (Славянский) государственный университет

Литература

    1. Носиро К. Предельные множества. M. ИЛ, 1963.
    2. Rung D. C. - Math. Zeitschrift. 1964. Bd. 84. Hf.1. P. 9-15.
    3. Meek J. - Math. Iaponica. 1977. V. 22. P. 309-314.
    4. Гаврилов В. И. - ДАН СССР. 1978. T. 240. № 4. C. 768-770.
    5. Гаврилов В. И., Захарян В. С., Субботин А. Б. - ДНАН Армении. 2002. T. 102. №3. C. 203-210.
    6. Берберян С. Л. - Изв. АH Арм. ССР. Математика. 1980. T. 15. №5. C. 395-402.
    7. Берберян С. Л. - ДНАН Армении. 2002. T. 102. №3. C. 211-213.
    8. Берберян С. Л. - Изв. вузов. 1986. №3. C. 22-28.
    9. Берберян С. Л. - Математика в высшей школе. Межвуз. сб. науч. и методических статей. Ереван. 2003. №5. C. 77-82.

---