УДК 517.518

   1. Хорошо известно, что классический ряд Фурье на отрезке [a,b],-Ґ < a < b < Ґ, сходится медленно, если разлагаемая функция f(x), продолженная на всю действительную ось (b - a) - периодически, не обладает достаточной гладкостью. Это, прежде всего, относится к кусочно-гладким функциям.
   Решение практически важной проблемы ускорения сходимости разложений таких функций в ряд Фурье, - по-видимому впервые, - предложил А. Крылов в 1907 г. (см. [1]). Начало систематическому обоснованию такого подхода положила в 1964 г. работа [2] Ланцоша (см. также [3-7]). Практически эффективные алгоритмы были разработаны за последние 15 лет, главным образом, в работах К. Экгофа и Д. Готтлиба с соавторами (см., например, [8-11]).
   Упомянутый подход, связанный с применением полиномов Бернулли (см. ниже, п.2), будем называть B-методом.
   B работе [12] (см. также ниже, п.3), был разработан другой, нелинейный метод ускорения сходимости рядов Фурье, основанный на применении аппроксимантов Паде, что привело к еще более точным и устойчивым алгоритмам. К тому же стало возможным эффективно выявлять колебания произвольной частоты (в том числе затухающие или нарастающие), являющиеся "скрытыми"  компонентами разлагаемой функции.
   Ниже приводятся некоторые теоретические оценки и явные формулы, связанные с последним подходом.
   2. Приведем краткое описание B-метода в случае, когда f О C^p[-1,1]. Рассмотрим коэффициенты Фурье этой функции

fn = 1 2 у х 1 -1  f(t)e-ipn tdt,  n = 0,±1,±2,ј.

(1)

Интегрированием по частям нетрудно получить следующую асимптотическую формулу (n № 0):

fn = (-1)n+1 2 q е k=0  Ak(f) (ipn)k+1 + 1 2(ipn)q+1 у х 1 -1  f(q+1)(x)e-ipn xdx,  q Ј p-1,

(2)

где обозначено A_k(f) = f ^(k)(1) - f ^(k)(-1),  k = 0,ј,q. Если k < 0, то примем A_k = 0.
   Рассмотрим теперь многочлены Бернулли, определяемые рекурpентной формулой

B0(x) = x 2 ,  Bk(x) = у х Bk-1(x)dx,  x О [-1,1],  k = 1,2,ј,

где константа интегрирования вычисляется из условия B_k(t)dt = 0,  k = 1,2,ј. На всю действительную ось многочлены {B_k(x)} продолжаются периодически, с периодом 2, и являются кусочно-гладкими функциями с коэффициентами Фурье B_k,n = 1/2 (-1)ⁿ⁺¹/(ipn)^k+1,  n = 0,±1,±2,ј. Формула (2) позволяет представить функцию f в виде

f(x) = q е k=0  Bk(x)Ak + F(x),

(3)

где F(x) - некоторая q раз непрерывно дифференцируемая на действительной оси и 2-периодическая функция. Очевидно, коэффициенты Фурье {F_n} функции F(x) имеют порядок убывания, равный, по меньшей мере, o(n^-q-1), n ® Ґ. Отсюда следует, что аппроксимационная формула

SN,q(x) = q е k=0  Bk(x)Ak + N е n=-N  Fneipn x

(4)

сходится к f со скоростью порядка o(N^-q), N ® Ґ.
   Обозначим R_N,q(x) = f(x) - S_N,q(x). Если q Ј p - 1, то имеет место следующая асимптотическая формула:

RN,q(x) = Aq+1 е |n| > N  (-1)n+1 2(ipn)q+2 eipn x + o(N-q-1),  N ® Ґ.

(5)

Прикладное значение B-метода основано на возможности приближенного определения скачков {A_k}, k = 0,1,...,q, решением связанной с формулой (2) линейной системы (см., например, [10]).
   3. Переходя к описанию метода работы [12], рассмотрим конечную последовательность комплексных чисел q :=p і 1 и обозначим

= Ak,  =+ k і 1.

(6)

Если k < 0, то примем = 0.
   Лемма 1. Пусть f О C^p[-1,1] и q Ј p-1. Тогда для любого m і 1 имеет место следующее разложение (n № 0):

fn = Qn + Pn,

(7)

где

(8)

+ 1 2(ipn)q+1 у х 1 -1  f (q+1)(t) e-ipntdt.

(9)

   Доказательство. Пользуясь преобразованием Абеля, нетрудно доказать следующее тождество (x №):

q е k=q-m+1  Akxk = xq+1q1 Aq - Aq-mx-m 1 + q1x + 1 1 + q1x q е k=q-m+1  (Ak + q1Ak-1)xk.

(10)

   После m-кратного применения того же преобразования придем к формуле

(11)

Доказательство завершается, если главную часть формулы (2) перепишем в следующей форме:

(-1)n+1 2 q-m е k=0  Ak(f) (ipn)k+1 + (-1)n+1 2 q е k=q-m+1  Ak(f) (ipn)k+1

и к последнeй сумме применим преобразование (11) с заменой x на (ipn)^-1.
Нам понадобится также следующий результат.
   Лемма 2 [12]. Пусть {a_s}, s = 1,...,l, 1 Ј l < Ґ - некоторое конечное множество комплексных чисел и ¡ Н {a_s} - его подмножество целых чисел (возможно, пустое). Справедлива формула

где {b_s}, (s = 1,...,l) - множество положительных целых чисел, p(z) - многочлен степени не выше b_s-1 и принято обозначение x^‡ = (x + 1) (mod 2) -1, -1 < x^‡ < 1.
   Из приведенных лемм следует, что функцию f можно представить в виде

f(x) = Q(x) + P(x),  Q(x) = Ґ е n=-Ґ  Qn ei p n x,  P(x) = Ґ е n=-Ґ  Pn ei p n x,

(12)

где Q(x) - квазиполином, т.е. конечная линейная комбинация из функций вида b(x) e^bx, где b(x) - многочлен, b = const О C. Если же вектор q в разложении (7) определить из системы

= 0,  k = q - m + 1,ј,q,

(13)

то P(x) станет q раз непрерывно дифференцируемой на действительной оси и 2-периодической функцией. В этом случае аппроксимационная формула

SN,q,m(x) = Q(x) + N е n=-N  Pneipn x

(14)

сходится к f со скоростью порядка o(N^-q), N ® Ґ. По сути, мы применили к асимптотическому степенному (по z = (i p n)^-1) ряду (2) аппроксимацию Паде порядка [(q - m)/m] (см. [13]).
   Как и в [12], назовем этот алгоритм квазиполиномиальным (QP) методом.
   4. Обозначим теперь = [A_k-s+r],  k, s = 1,ј,m и заметим, что

где обозначения g_s(m) соответствуют соотношению

m Х k=1  (1 + qk x) є m е k=0  gk(m)xk.

Поэтому систему (13) можно записать в виде

Ak+q-m + m е s=1  gs(m)Ak-s+q-m = 0,  k = 1,ј,m.

(15)

Она однозначно разрешима, если № 0.
   Теорема. Если f О C^q+1[-1,1], f ^(q+2) О L₁[-1,1] и № 0, то имеет место асимптотическая формула (N ® Ґ)

(16)

   Доказательство. Из (12) и (14) имеем

RN, q,m(x) = е |n| > N  Pneipn x.

(17)

   Интеграл в правой части (9) можно еще раз проинтегрировать по частям, поэтому (N ® Ґ)

RN, q,m(x) =eipn x + o(N-q-1).

(18)

   Отбрасывая члены малого порядка, получим

RN,q,m(x) = е |n| > N  (-1)n+1 2(ipn)q+2 eipnx + o(N-q-1), N ® Ґ.

(19)

   Здесь мы использовали соотношения (см. (6))

   По формулам Крамера g_s(m) = M_s /  s = 1,ј,m, где {M_s} - соответствующие определители. Отсюда

(20)

   Разложив теперь определитель по последней строке, нетрудно заметить, что выражение (-1)^m+2 совпадает с (20).
   5. С помощью леммы 2 нетрудно получить явный вид квазиполинома Q(x). Например при {m,q} = {1,1} и {m,q} = {1,2} соответственно получим (A_k № 0, k = 0,1,2)

и

   Опишем случай, когда (как выше слева) Q(x) состоит только из экспонент.
   Пусть f О C^p[-1,1] и q = 2m - 1, m Ј p/2. К разложению (2) применим квазидиагональную аппроксимацию Паде порядка [(m-1)/m] (см. (11)). Предположим, что все {q_k} различны и не равны нулю. Нетрудно убедиться, что в этом случае

   Восстановив функцию Q(x) по лемме 2, получим

(21)

   Эта формула важна по следующим причинам. Во-первых, в приложениях значения {q_k}, k = 1,ј,m определяются приближенно, как корни соответствующего многочлена (см. [12]). Понятно, что случай q_k = q_r, k № r практически не встречается.
   Во-вторых, формула (21) оптимальна с точки зрения выявления характера "скрытых" периодичностей функции f(x) (см. [12]).
   6. Сравнив формулы (4) и (14), мы видим, что, - при использовании тех же скачков - порядок сходимости S_N,q и S_N,q,p к f одинаков. Однако применение предлагаемой нелинейной аппроксимации потенциально предпочтительней по той простой причине, что она точная (при достаточно больших q, m и точном определении скачков) для квазиполиномов, в то время как B-метод точен только для полиномов. Численные эксперименты полностью подтверждают это преимущество (см. [12]). Конкретная оценка преимущества QP-метода перед B-методом, основанная непосредственно на формулах (5) и (6), зависит от скачков {A_k} функции f. Как уже отмечалось, преимущество это очевидно, если f - квазиполином. В этом случае рост скачков оценивается как |A_k| Ј c^k,  k = 1,2ј; c = const. Рассмотрим теперь две функции, не являющиеся квазиполиномами:

f1(x) =,     f2(x) = J0(14x - 1).

(22)

   В приведенной таблице отношение a_m(f) = |A_q+1| характеризует асимптотическое преимущество QP-метода перед B-методом в случае применения формулы (21) к функциям f₁,f₂.
   Интересно сравнить данные табл.1 с приведенными в табл.2 данными, полученными в ходе эксперимента на компьютере с процессором Pentium 4, 512 RAM c примeнением системы MATHEMATICA [14]. Здесь приведено полученное из эксперимента отношение в равномерной метрике. Как видим, при m Ј 3 данные таблиц практически совпадают. Однако при m і 5 B-метод демонстрирует плохую устойчивость и уступает QP-методу со все большей (с ростом m) разницей. При m і 7 B-алгоритм становится практически неприменимым.

Таблица 1

Oкругленная теоретическая величина a_m(f) для функций f₁ и f₂ при q = 2m - 1

	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	m = 6	m = 7	m = 8
am(f1)	2.0	6.1	20.6	72.7	2.6 ×102	9.6 ×102	3.6 ×103	1.3 ×104
am(f2)	0.7	42.1	30.7	271.1	2.1 ×102	8.6 ×102	7.9 ×102	2.4 ×103

Таблица 2

Oкругленная экспериментальная величина для функций
f₁ и f₂ при q = 2m - 1

	m = 1	m = 2	m = 3	m = 4	m = 5	m = 6	m = 7	m = 8
	2.0	6.1	20.3	42.1	6.9 ×104	4.8 ·108	3.6 ×1011	2.2 ×1014
	0.8	40.0	34.7	399.7	2.9 ×104	1.5 ×106	3.1 ×107	3.8 ×108

   Работа выполнена в рамках проекта ISTC A-823.

   Институт математики НАН РА

Литература

    1. Крылов А. О приближенных вычислениях. Типолитогр. К. Биркенфельда. 1907.
    2. Lanczos C. - J. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. B Numer. Anal. 1964. V. 1. P. 76-85.
    3. Lanczos C. Discourse of Fourier Series. Hafner. N.-Y. 1966.
    4. Jones W. B., Hardy G. - Math. Comp. 1970. V. 24. P. 47-60.
    5. Lyness J. N. - Math. Comp. 1974. V. 28. P. 81-123.
    6. Tasche M. - Math. Nachr. 1979. V. 90. P. 123-134.
    7. Baszenski G., Delvos F. J., Tasche M. - Computers and Mathematics with Applications 1995. V. 30. N 3-6. P 33-49.
    8. Gottlieb D., Shu C. W. - Math. Comp. 1992. V. 43. P. 81-92.
    9. Eckhoff K. S. - Math. Comp. 1995. V. 64. N 210. P. 671 - 690.
    10. Eckhoff K. S.,Wasberg C. E. Report no. 99. Dept. of Math. University of Bergen. 1995. P. 1-38.
    11. Gelb A., Gottlieb D. - Computers Math. Applic. 1997. V. 33. N 11. P. 35-58.
    12. Нерсесян А. Б. - ДНАН Армении. 2004. Т. 104. N. 4. С. 186-191.
    13. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. Мир. М. 1986. 502 с.
    14. Wolfram S. The MATHEMATICA book. Fourth Edition. Wolfram Media. Cambridge University Press. 1999. 1468 p.

---