j₀ - волновая функция азимутальной степени свободы, обладающая 2p-периодичностью, а роль блоховского волнового числа играет отношение a = F/F₀, где F₀ = ħc/e - элементарный поток.
   В интервале [0,2p] представим волновую функцию y₀ в виде

y0,I = (A1eilj + A2e-ilj)eiaj,

(8)

y0,II = (B1emj + B2e-mj)eiaj,

где индексы I и II нумеруют области [0,j₀] и [j₀,2p] соответственно, l =  m = и y_0,I, y_0,II удовлетворяют следующим граничным условиям:

которые с учетом (8) приводят к следующему дисперсионному уравнению для определения энергетического параметра E₀:

совпадающего с дисперсионным уравнением задачи Кронига - Пени.
   Из-за трансцендентности уравнение (10) можно решить в некоторых предельных случаях. Здесь будет рассмотрен наиболее интересный из них. Пусть одиночная потенциальная яма содержит уровень, расположенный достаточно близко к ее поверхности e₀ Ј U. В случае бесконечного числа ям этот уровень размывается в зону. В связи с этим решение ищем в виде

E0 = e0 - d(a),      dmax(a) << U.

(11)

   Разложим правую часть уравнения (10) в ряд по степеням d, удержав нулевой и линейный по d члены. В результате уравнение (10) расщепляется на два: решением одного является

r >>       r0 =

(12a)

th rb R0 = 2r0 R0 ctg rj0 R0 ,     R0 =

(13)

решением которого является энергия локализованного состояния в одиночной яме. В области (12а) оно обладает следующим решением:

   Итак, собственные значения энергии азимутальной степени свободы являются осциллирующими функциями магнитного потока и заполняют "зону" шириной 4ħ²/mbj₀r². Из (15) видно, что в области значений потока cos2pa < -(j_/2b) зонные уровни располагаются над ямой; туннелирование с высоко расположенного уровня приводит к тому, что угловая область локализации электрона становится равной , т.е. в раз превышает угловой раствор сектора j₀.
   Подставив (5) в уравнение (1), умножим слева на y(r,j) и проинтегрируем по j; в результате придем к следующему уравнению, определяющему состояния медленной подсистемы:

- ħ2 2m Dr c + E0(r)c = Ec +c,

(16)

где D_r - радиальная часть 2D-лапласиана, E₀(r) определяется выражением (15), а - оператор неадиабатичности имеет следующий вид:

c = ħ2   2m й к л 2p у х 0  y*(Dry)cdj + 2p у х 0  y ¶y ¶r ¶c ¶r dj щ ъ ы .

(17)

В дальнейшем этим членом пренебрежем. Обоснование этого приближения дадим позже. Рассматриваем уравнение

   Параметр g в (18а), а следовательно, и сингулярный потенциал E₀(r) являются знакопеременными функциями a - притяжение периодически сменяется отталкиванием. Поведение электронов вблизи вершины сектора существенно зависит от этого обстоятельства.
   Рассмотрим сначала случай g > 0, k² > 0 (внутриямные состояния). Волновую функцию можно представить в виде

c(r) = AJib(ikr) + A*J-ib(-ikr),    b = Ц   g   .

(19)

Наложим на волновую функцию (19) граничные условия

c(a) = c(R) = 0,

(20)

в результате придем к дисперсионному уравнению

Jib(ikR)J-ib(ika) - Jib(ika)J-ib(ikR) = 0,

(21)

тогда в приближении ka << 1, kR >> 1 получим следующее выражение для спектра:

E = U - 2ħ2 ma2 exp м н о 1 b й к л 2a + p ж з и 1 2 - 2n ц ч ш щ ъ ы ь э ю ,    n = 1,2,3,...,

(22)

а волновая функция (19) в непосредственной близости к вершине имеет вид

c(r) @ sin ж з и b ln r a ц ч ш ,

(23)

внешне совпадающий с волновой функцией частицы, падающей на центр, однако первое из условий (20) ограничивает число осцилляций вблизи вершины; этим и обеспечивается существование основного состояния.
   Аналогично можно исследовать надъямные состояния (g > 0, k² < 0): волновая функция вблизи вершины имеет вид, совпадающий с (23), а спектр энергий следующий:

близкий к спектру в одномерной яме бесконечной глубины; это обусловлено вторым из граничных условий (20).
   Рассмотрим теперь случай g < 0 ("большой" магнитный поток). Легко показать, что в этом случае внутриямные состояния отсутствуют, а спектр надъямных состояний

E = U + p2ħ2 2mR2 ж з и b 2 + 3 4 + l ц ч ш 2   .

(25)

В (24) и (25) n и l пробегают целочисленные значения, а волновая функция в непосредственной близости от вершины приобретает вид

т.е. осцилляции отсутствуют.
   Таким образом, с изменением величины магнитного потока существенно меняется картина поведения электронов: если в области g > 0 состояния близки к состояниям с падением на центр, то в области g < 0 это явление отсутствует.
   Покажем теперь, что оператором неадиабатичности в уравнении (16) можно пренебречь. Параметр m в (8) в рассматриваемом приближении не зависит от r, поэтому производные по r обращаются в нуль и в области II c тождественно равно нулю. В области I, как это легко показать, c ~ j₀². К адиабатичности системы приводят два важных обстоятельства: малость j₀ и существование еще одного малого параметра - |U - E₀(r)|; благодаря именно этому условию туннелирование азимутальной степени свободы является быстрым.

   Государственный инженерный университет Армении