МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

В. А. Яврян

Об обратной задаче Штурма - Лиувилля на конечном интервале

(Представлено академиком H. У. Apакeляном 25/II 2005)

   1. В пространстве L2(0,p) рассмотрим краевую задачу
-yўў + q(x)y = ly,    x О (0,p)
(1)
yў(0) - hy(0) = 0,
(2)
yў(p) + Hy(p) = 0,
(3)
где q О Lp(0,p), (p = 1;2), h, H - вещественные числа, l - комплексное число.
   Обозначим через j(x,l) решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям
j(0,l) = 1,    jў(0,l) = h.
   Пусть l0 < l1 < l2 < ... - собственные значения задачи (1)-(3) (иногда их будем обозначать более подробно ln(q,h,H), n = 0,1,...) и

rn = rn(q,h,H) = ж
з
и
p
у
х
0 
j2(x,ln)dx ц
ч
ш
-1

 
.

   Задача восстановления краевой задачи (1)-(3) по двум последовательностям икак частный случай обратной задачи по спектральной функции решена в известной работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [1]. Она подробно изложена в монографиях [2,3] и обзорной статье [4].
   В работах [5,6] условия на ив классе q О L2(0,p) даны в более явной форме. В этой статье, развивая метод Гельфанда - Левитана, обобщаются результаты [5,6] для более естественного класса q О L1(0,p).
   Лемма 1. Равномерно для x О [0,p] имеем:

j(x,l) = cos sx + O ж
з
и
etx
s
ц
ч
ш
,
(4)
jў(x,l) = -s sin sx + O(etx),
(5)
где s =, t =  lm s і 0.
   Существуют такие функции f,g,h О Lp(0,p), (p = 1;2), что для n > 0 имеем

Ц
 

ln
 
= n + c
pn
+ 1
n
p
у
х
0 
f(t) cos ntdt,
(6)
rn = 2
p
+ 1
n
p
у
х
0 
g(t) sin ntdt,
(7)
(-1)nj(p,ln) = 1 + 1
n
p
у
х
0 
h(t)sin ntdt,
(8)
где
c = h + H + 1
2
p
у
х
0 
q(t)dt.
   Если вместо краевого условия (3) взять условие
y(p) = 0,
(9)
то для собственных значений m0 < m1 < ... задачи (1), (2), (9) будем иметь

Ц
 

mn
 
= n + 1
2
+ c1
pn
+ 1
n
p
у
х
0 
c(t) cos(2n + 1)tdt,   n > 0,
(10)
где
c О Lp(0,p),    c1 = h + 1
2
p
у
х
0 
q(t)dt.
   Доказательство этой леммы можно получить, если дополнить рассуждения §2 главы 1 из [7] некоторыми несложными выкладками.
   С помощью асимптотических формул (6) и (7) доказывается
   Теорема 1. Ряд

е
n і 1 
ж
з
и
rn cos
Ц
 

ln
 
x - 2
p
cos nx ц
ч
ш
сходится на [0,2p], его сумма абсолютно непрерывная функция на [0,2p) и ее производная принадлежит Lp(0,p), (p = 1;2).
   Пусть
F(x) =
е
n і 1 
ж
з
и
rn cos
Ц
 

ln
 
x - 2
p
cos nx ц
ч
ш
+ r0 cos
Ц
 

l0
 
x - 1
p
,    x О [0,2p),
F(2p) = F(2p - 0).
   Обозначим
f(x,y) = 1
2
м
н
о
F(x + y) + F(|x - y|) ь
э
ю
,   x,y О [0,p].
   Имеет место соотношение [1]
K(x,y) + f(x,y) + x
у
х
0 
f(t,y)K(x,t)dt = 0,   (0 Ј y Ј x Ј p),
(11)
где K(x,y) - ядро оператора преобразования для системы (1)-(3):
j(x,l) = cos
Ц
 

l
 
 x + x
у
х
0 
K(x,y) cos
Ц
 

l
 
 ydy,  0 Ј x Ј p.
(12)

   Для фиксированного x (11) является интегральным уравнением Фредгольма, где неизвестной является K(x,y). (11) есть известное интегральное уравнение Гельфанда - Левитана. Из асимптотической формулы (6) следует ([1], §11 или [4], §6), что уравнение (11) имеет единственное решение для любого x О [0,p]. Можно показать, что K(x,x) абсолютно непрерывная функция на [0,p] и q(x) = [1/2][d/dx]K(x,x) О Lp(0,p). Одновремeнно получаем, что
h = -
е
n і 1 
ж
з
и
rn - 2
p
ц
ч
ш
- ж
з
и
r0 - 1
p
ц
ч
ш
,
(13)
H = -
е
n і 1 
ж
з
и
rnj2(p,ln) - 2
p
ц
ч
ш
- ж
з
и
r0j2(p,l0) - 1
p
ц
ч
ш
.
(14)

   Таким образом, справедлива
   Теорема 2 (oсновная). Пусть последовательности l0 < l1 < ... и 0 < r0 < r1 < ... удовлетворяют, соответственно, асимптотическим соотношениям (6) и (7), где c - некоторое число. Тогда существует вещественная функция q О Lp(0,p) и вещественные числа h и H такие, что ln = ln(q,h,H), rn = rn(q,h,H), где h и H определяются формулами (13) и (14).
   Следствие 1. Чтобы возрастающая последовательность l0 < l1 < ... была последовательностью собственных значений некоторой краевой задачи (1) - (3), необходимо и достаточно выполнение асимптотического соотношения (6) при некотором c.
   2. Функция q О Lp(0,p) называется четной на (0,p) (вернее четной относительно x = [(p)/2]), если q(p-x) = q(x), x О (0,p). Если же, кроме того, H = h, то говорят, что тройка = {q,h,h} - четная. Если - четная, то очевидно, что вместе с j(x,ln) собственной функцией задачи (1)-(3) будет также j(p-x,ln). Отсюда, применяя теорему Штурма о нулях j(x,ln), получаем, что j(p-x,ln) = (-1)nj(x,ln). При x = 0 имеем

j(p,ln) = (-1)n,    n = 0,1,2...
(15)
   Можно показать, что верно и обратное утверждение.
   Лемма 2. Для четности
необходимо и достаточно выполнение равенств (15).
   Из формулы Грина легко следует, что
p
у
х
0 
j2(x,ln)dx = j(p,ln)(ln),
(16)
где
D(l) = -(jў(p,l) + Hj(p,l)),
а [D\dot] есть производная D по l.
   Таким образом,
= j(p,ln)(ln).
(17)
   Нули целой функции D(l) совпадают с ln, и из теоремы Адамара и оценок (4) и (5) следует, что
D(l) = p(l - l0)
Х
n і 1 
ln - l
n2
.

   Таким образом, D(l) и (l) однозначно определяются последовательностью . Из (17) следует
   Теорема 3. Если - последовательность собственных значений задачи (1) - (3) при некотором q0 О Lp(0,p), h0 и H0, то существуют четная функция q О Lp(0,p) и число h такие, что ln = ln(q,h,h).
   При этом h определяется формулой

h = -
е
n і 1 
ж
з
и
1
- 2
p
ц
ч
ш
- ж
з
и
1
- 1
p
ц
ч
ш
.
(18)

   Действительно, если ={q,h,h} - искомая тройка, то из (15) и (17) следует, что = (-1)n(ln). Следовательно, rn = (-1)nj0(p,ln).
   Из (7) и (8) следует, что rn удовлетворяет (7). Тогда из теоремы 2 и леммы 2 следует, что существуют четная функция q и число h такие, что ln = ln(q,h,h). Формула (18) следует из (13).
   В. Амбарцумян в [8] доказал теорему о том, что если h = H = 0 и ln = n2 (n = 0,1,2,...), то q(x) = 0. Она получила свое обобщение лишь спустя 54 года в замечательных работах [5] и [6]. Мы доказываем более общую теорему.
   Теорема 4. Если q О L1(0,p), О L1(0,p), q - четная функция, то из

ln(q,h,h) = ln(,h,h),    (n = 0,1,2,...)

следует, что q(x) =(x) почти всюду в [0,p].
   Следствие 2. Если удовлeтворяет условию (6), то существует такое число h (оно определяется формулой (18)), что из ln(r,h,h) = ln, (n = 0,1,2,...) функция r О L1(0,p) определяется единственным образом. Эта функция оказывается четной.
   Приведем схему доказательства теоремы 4. Из (13) следует, что


е
n і 1 
(- rn) =
е
n і 1 
rn ж
з
и

rn
-1 ц
ч
ш
= 0.
(19)
   Так как q - четная, то из леммы 2, равенства (17) следует, что (p,ln) = (-1)nrn. Отсюда и из (14), учитывая, что h = H, получаем
h =
что вместе с (13) дает

(20)
   После сложения (19) и (20) получаем

   Так как каждое слагаемое в этом равенстве неотрицательное и rn > 0, то следует, что = rn (n = 0,1,2,...) и из условия теоремы 4 и теоремы Марченко о единственности получаем, что (x) = q(x) почти всюду.
   В работах [5] и [6] результаты п. 2 установлены для q О L2(0,p).
   3. Приведем одно применение теоремы 3.
   Рассмотрим уравнение (1) на интервале (0,[(p)/2]) и краевые условия на правом конце:

yў ж
з
и
p
2
ц
ч
ш
= 0,
(21)
y ж
з
и
p
2
ц
ч
ш
= 0.
(22)

Пусть - последовательность собственных значений задачи (1)-(3), где q - четная и q О Lp(0,p). Тогда j(p - x,ln) = (-1)nj(x,ln). Отсюда следует, что j([(p)/2],l2n+1) = 0 и ([(p)/2],l2n) = 0. Это означает, что и являются, соответственно, собственными значениями краевых задач (1), (2), (21) и (1), (2), (22). Отсюда с помощью следствия 1 и теоремы 3 можно доказать следующее утверждение.
   Теорема 5. Пусть возрастающие последовательности и перемежаются:

n0 < m0 < n1 < m1 < ...
и удовлетворяют асимптотическим формулам

Ц
 

nn
 
= n + c1
n
+ 1
n
p
у
х
0 
f1(t) cos ntdt,

Ц
 

mn
 
= n + 1
2
+ c1
n
+ 1
n
p
у
х
0 
c1(t) cos 2n + 1tdt,

где f1,c1 О Lp(0,p), а c1 - некоторое число.
   Тогда существуют q О Lp(0,p) и число h такие, что и совпадают с собственными значениями задач (1), (2), (3) с H = 0 и (1), (2), (9), соответственно.
   Следствие 3. Чтобы возрастающая последовательность была последовательностью собственных значений некоторой краевой задачи (1), (2), (9), необходимо и достаточно выполнение асимптотического соотношения (10) при некотором c1.

   Ереванский государственный университет

Литература

   1. Гельфанд И. М. , Левитан Б. М. - Изв. АН АрмССР. Математика. 1951. T. 15. C. 309 - 360.
   2. Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев. Наукова Думка. 1977.
   3. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М. Наука. 1984.
   4. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. - УМН. 1964. T. 19. Bып. 2(116). C. 3-63.
   5. Isaakson E. L., Trubowitz - Pure Appl. Math. 1983. V. 36. N 6. P. 763-783.
   6. Isaakson E. L., McKean H. P., Trubowitz - Pure Appl. Math. 1984. V. 37. N 1. P. 1-12.
   7. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М. Наука. 1970.
   8. Ambarzumian V. A. - Z. Physik. 1929. B. 53. S. 690-695.