Для фиксированного x (11) является интегральным уравнением Фредгольма, где неизвестной является K(x,y). (11) есть известное интегральное уравнение Гельфанда - Левитана. Из асимптотической формулы (6) следует ([1], §11 или [4], §6), что уравнение (11) имеет единственное решение для любого x О [0,p]. Можно показать, что K(x,x) абсолютно непрерывная функция на [0,p] и q(x) = [1/2][d/dx]K(x,x) О L_p(0,p). Одновремeнно получаем, что

h = - е n і 1  ж з и rn - 2 p ц ч ш - ж з и r0 - 1 p ц ч ш ,

(13)

H = - е n і 1  ж з и rnj2(p,ln) - 2 p ц ч ш - ж з и r0j2(p,l0) - 1 p ц ч ш .

(14)

   Таким образом, справедлива
   Теорема 2 (oсновная). Пусть последовательности l₀ < l₁ < ... и 0 < r₀ < r₁ < ... удовлетворяют, соответственно, асимптотическим соотношениям (6) и (7), где c - некоторое число. Тогда существует вещественная функция q О L_p(0,p) и вещественные числа h и H такие, что l_n = l_n(q,h,H), r_n = r_n(q,h,H), где h и H определяются формулами (13) и (14).
   Следствие 1. Чтобы возрастающая последовательность l₀ < l₁ < ... была последовательностью собственных значений некоторой краевой задачи (1) - (3), необходимо и достаточно выполнение асимптотического соотношения (6) при некотором c.
   2. Функция q О L_p(0,p) называется четной на (0,p) (вернее четной относительно x = [(p)/2]), если q(p-x) = q(x), x О (0,p). Если же, кроме того, H = h, то говорят, что тройка = {q,h,h} - четная. Если - четная, то очевидно, что вместе с j(x,l_n) собственной функцией задачи (1)-(3) будет также j(p-x,l_n). Отсюда, применяя теорему Штурма о нулях j(x,l_n), получаем, что j(p-x,l_n) = (-1)ⁿj(x,l_n). При x = 0 имеем

Можно показать, что верно и обратное утверждение.
   Лемма 2. Для четности

Из формулы Грина легко следует, что

p у х 0  j2(x,ln)dx = j(p,ln)(ln),

(16)

где

D(l) = -(jў(p,l) + Hj(p,l)),

а [D\dot] есть производная D по l.
   Таким образом,

= j(p,ln)(ln).

(17)

   Нули целой функции D(l) совпадают с l_n, и из теоремы Адамара и оценок (4) и (5) следует, что

D(l) = p(l - l0) Х n і 1  ln - l n2 .

   Таким образом, D(l) и (l) однозначно определяются последовательностью . Из (17) следует
   Теорема 3. Если - последовательность собственных значений задачи (1) - (3) при некотором q₀ О L_p(0,p), h₀ и H₀, то существуют четная функция q О L_p(0,p) и число h такие, что l_n = l_n(q,h,h).
   При этом h определяется формулой

h = - е n і 1  ж з и 1 - 2 p ц ч ш - ж з и 1 - 1 p ц ч ш .

(18)

   Действительно, если ={q,h,h} - искомая тройка, то из (15) и (17) следует, что = (-1)ⁿ(l_n). Следовательно, r_n = (-1)ⁿj₀(p,l_n).
   Из (7) и (8) следует, что r_n удовлетворяет (7). Тогда из теоремы 2 и леммы 2 следует, что существуют четная функция q и число h такие, что l_n = l_n(q,h,h). Формула (18) следует из (13).
   В. Амбарцумян в [8] доказал теорему о том, что если h = H = 0 и l_n = n² (n = 0,1,2,...), то q(x) = 0. Она получила свое обобщение лишь спустя 54 года в замечательных работах [5] и [6]. Мы доказываем более общую теорему.
   Теорема 4. Если q О L₁(0,p), О L₁(0,p), q - четная функция, то из

ln(q,h,h) = ln(,h,h),    (n = 0,1,2,...)

следует, что q(x) =(x) почти всюду в [0,p].
   Следствие 2. Если удовлeтворяет условию (6), то существует такое число h (оно определяется формулой (18)), что из l_n(r,h,h) = l_n, (n = 0,1,2,...) функция r О L₁(0,p) определяется единственным образом. Эта функция оказывается четной.
   Приведем схему доказательства теоремы 4. Из (13) следует, что

е n і 1  (- rn) = е n і 1  rn ж з и rn -1 ц ч ш = 0.

(19)

   Так как q - четная, то из леммы 2, равенства (17) следует, что (p,l_n) = (-1)ⁿr_n. Отсюда и из (14), учитывая, что h = H, получаем

h =

что вместе с (13) дает

(20)

   После сложения (19) и (20) получаем

   Так как каждое слагаемое в этом равенстве неотрицательное и r_n > 0, то следует, что = r_n (n = 0,1,2,...) и из условия теоремы 4 и теоремы Марченко о единственности получаем, что (x) = q(x) почти всюду.
   В работах [5] и [6] результаты п. 2 установлены для q О L₂(0,p).
   3. Приведем одно применение теоремы 3.
   Рассмотрим уравнение (1) на интервале (0,[(p)/2]) и краевые условия на правом конце:

yў ж з и p 2 ц ч ш = 0,

(21)

y ж з и p 2 ц ч ш = 0.

(22)

Пусть - последовательность собственных значений задачи (1)-(3), где q - четная и q О L_p(0,p). Тогда j(p - x,l_n) = (-1)ⁿj(x,l_n). Отсюда следует, что j([(p)/2],l_2n+1) = 0 и jў([(p)/2],l_2n) = 0. Это означает, что и являются, соответственно, собственными значениями краевых задач (1), (2), (21) и (1), (2), (22). Отсюда с помощью следствия 1 и теоремы 3 можно доказать следующее утверждение.
   Теорема 5. Пусть возрастающие последовательности и перемежаются:

n0 < m0 < n1 < m1 < ...

и удовлетворяют асимптотическим формулам

Ц   nn   = n + c1 n + 1 n p у х 0  f1(t) cos ntdt,

Ц   mn   = n + 1 2 + c1 n + 1 n p у х 0  c1(t) cos 2n + 1tdt,

где f₁,c₁ О L_p(0,p), а c₁ - некоторое число.
   Тогда существуют q О L_p(0,p) и число h такие, что и совпадают с собственными значениями задач (1), (2), (3) с H = 0 и (1), (2), (9), соответственно.
   Следствие 3. Чтобы возрастающая последовательность была последовательностью собственных значений некоторой краевой задачи (1), (2), (9), необходимо и достаточно выполнение асимптотического соотношения (10) при некотором c₁.

   Ереванский государственный университет

Литература

   1. Гельфанд И. М. , Левитан Б. М. - Изв. АН АрмССР. Математика. 1951. T. 15. C. 309 - 360.
   2. Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев. Наукова Думка. 1977.
   3. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М. Наука. 1984.
   4. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. - УМН. 1964. T. 19. Bып. 2(116). C. 3-63.
   5. Isaakson E. L., Trubowitz - Pure Appl. Math. 1983. V. 36. N 6. P. 763-783.
   6. Isaakson E. L., McKean H. P., Trubowitz - Pure Appl. Math. 1984. V. 37. N 1. P. 1-12.
   7. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М. Наука. 1970.
   8. Ambarzumian V. A. - Z. Physik. 1929. B. 53. S. 690-695.

---