УДК 517.53

   Пусть n - натуральное и Cⁿ = {z = (z₁,...,z_n) : z_k О C, 1 Ј k Ј n}. Обозначим G = B_n = {z О Cⁿ : |z₁|² + ... + |z_n|² < 1} или G = Uⁿ = {z О Cⁿ : |z_k| < 1, 1 Ј k Ј n} и, соответственно этим двум случаям, G = S_n = {z О Cⁿ; |z₁|² + ... + |z_n|² = 1} или G = Tⁿ = {z О C : |z_k| = 1, 1 Ј k Ј n}. На G существует естественная нормированная инвариантная относительно вращений G мера s, совпадающая с обычной нормированной мерой Лебега (площадью) на сфере S_n в случае G = S_n и являющаяся прямым произведением мер Лебега на единичных окружностях, составляющих тор Tⁿ, в случае G = Tⁿ. Символом |z| для z О C в случае G = B_n будем обознaчать обычную евклидову норму вектора z, а в случае G = Uⁿ под |z| будем понимать поликруговую норму |z| =|z_k|, z О C. В случае, когда n = 1, шар B_n и поликруг Uⁿ совпадaют с единичным кругом в комплексной плоскости C, сфера S_n и тор Tⁿ совпадают с единичной окружностью, мера s - с нормированным элементом длины на ней.
   Голоморфную в G функцию f относят к классу j(N), j - неубывающая неотрицательная функция вещественного аргумента на положительной полуоси, если

sup 0 Ј r Ј 1  у х r  j(log+|f(rz)|)s(dz) < +Ґ,

где log⁺a совпадает с loga, когда a > 1 и log⁺a = 0 для 0 Ј a < 1. При j(t) = t получаем класс Неванлинны N в шаре и поликруге, при j(t) = e^pt, p > 0 - классы Харди H^p. Пoлагая j(t) = tt, a > 0, приходим к многомерным классам Nlog^aN, введенным в случае поликруга Зигмундом в [1, гл. XVII] (под обозначением H_a) и изучавшимся в обоих случаях в [2] (a = 1) и в [3] (a і 1), где, в частности, показано, что Nlog^aN при a і 1 образуют F-алгебры относительно естественных метрик.
   По определению, голоморфная функция f в области G принадлежит классу j(M), если

у х G  log+ sup 0 Ј r Ј 1  |f(rz)|s(dz) < +Ґ.

   При j(t) = t класс j(M) = M в случае шара введен Кимом, Паком и Чоу (см. [4], [5]); полагая в этом определении j(t) = tt, a > 0, получаем многомерные классы Mlog^aM.
   Известно, что функция f принадлежит классу Nlog^aN, a > 1, тогда и только тогда, когда f О M и log⁺|f^*| О Llog^aL, где f^*(z) =f(rz) - радиальные граничные пределы функции f на G (случай a = 1 рассмотрен в [2],

случай a > 1 в [3]). Последнее утверждение уточняет следующая
    Теорема 1. Функция f принадлежит Nlog^aN, a > 1, тогда и только тогда, когда f О Mlog^a-1M и log⁺|f^*| О Llog^aL.
   С учетом вложения M Й Mlog^a-1M, a > 1, и отмеченного выше результата [3] понятно, что нетривиальнaя часть уточнения содержит необходимость теоремы.
   Хорошо известно, что многие топологические свойства F-алгебр голоморфных функций (например, представление линейных функционалов) устанавливаются через тейлоровские коэффициенты функций. Верна следующая теоремa.
    Теорема 2. Если f О Nlog^a-1N, a > 1, то для коэффициентов Тейлора a_k кратного ряда Тейлора функции f,

f(z) = е k О Z+n  akzk,   z О G,

(1)

cправедлива оценка

ak = Cn,kexp й к л 0 ж з и |k|n loga|k| ц ч ш [1/(n+1)]   щ ъ ы    при  |k| ® Ґ,

(2)

в которой

Cn,k =,    если   G = Bn,  и   Gn,k = 1,  если  G = Un,

G ж з и k 2 +1 ц ч ш = G ж з и k1 2 +1 ц ч ш ...G ж з и kn 2 +1 ц ч ш ,   |k| = k1 + ... + kn  для   k О   и

G(s),  s > 0  - гамма-функция Эйлера.

   Замечание. В случае поликруга G = Uⁿ оценка (2) может быть доказана в следующей, более точной форме:

|al| Ј exp й к л 0 ж з и [l] loga[l] ц ч ш [1/(n+1)]   щ ъ ы   при  |l| ® +Ґ,

(2ў)

где [l] обозначает произведение всех тех l_k, l = (l₁,...,l_n), которые отличны от нуля.

   Гocyдapcтвeнный инженеpный yнивepcитет Apмении

Литература

    1. Зигмунд А. - Тригонометрические ряды. Т. 2. М. Мир. 1965.
    2. Гаврилов В. И., Субботин А. В. - Матер. конф. "Вопр. функц. анализa и матем. физики." Баку. Чашиоглу. 1999. C. 240-251.
    3.
    4. Kim H. O., Park Y. Y. - Tsukuba J. Math. 1992. V. 16. N 1. P. 11-18.
    5. Choe B. R., Kim H. O. - Complex Variables. 1992. V. 20. P. 53-56.

---