УДК 531.19

   Введение. Эксперименты по конденсации Бозе - Эйнштейна (БЭК) побудили к теоретическим исследованиям термодинамики идеального Бозе-газа, находящегося во внешнем удерживающем поле, потенциалами которого являются степенные функции. При этом в случае анизотропных и изотропных полей в целях общности соответствующие степенные потенциалы представлялись в виде |x_i|^q_i и = ar^q. В тех же целях потенциалы аксиально-симметричных полей представляем в виде = a_^r_^^{q_^} + a₃|x₃|^q₃. В выражениях для потенциалов D = 1,2,3 - пространственная размерность системы бозонов, r = ( )^1/2, r_^ = (x₁² + x₂²)^1/2, где x₁,ј,x_D О W и W - объем D-мерной области пространства, занимаемой системой (см. [1, 2]).
   Результаты исследований показывают, что внешние поля могут способствовать возникновению БЭК, т.е. тому, чтоб температура БЭК T₀ > 0 [2, 3], и влиять на свойство непрерывности термодинамических функций в точке T₀, тем самым меняя характер фазового перехода при БЭК [1, 2]. В то же время в отношении указанных аспектов явления БЭК они не полны и не всегда имеют общий характер; не установлен также весь спектр возможных характеров ее фазового перехода. Кроме того, с точки зрения физики фазовых переходов представляется важным в структуре внешних удерживающих полей провести четкую идентификацию универсального для всех источника и характеристик его влияния на возможность БЭК и характер ее фазового перехода [4].
   В настоящей работе в рамках квазиклассического приближения асимптотическими методами исследуются возможность БЭК и характер ее фазового перехода (ФП) в идеальном Бозе-газе, находящемся во внешнем поле с произвольным потенциалом , только лишь удовлетворяющим общим необходимым требованиям удержания бозонов в (1,2,3)D-мерной области пространства W. При этом, не исключив возможности наблюдения явления БЭК в системах бозонов с отличным от e_p = p²/2m спектром возбуждения, e_p(p) будем задавать в несколько более общем виде, e_p = cp^s (c,s > 0), например экситонов [5].
   Возможность БЭК и ее критические параметры. Пусть поле для простоты во всей области W непрерывно. Кроме того, во всей области W поле і 0 и на границе области W имеем U(x₁,ј,x_D) = Ґ. И пусть в некоторой точке (x₁,ј,x_D) О W (для простоты x_1,0 = 0,ј,x_D,0 = 0) поле принимает свое наименьшее значение ( = 0) и эта точка является точкой минимума. Вместе с тем в окрестности точки минимума асимптотическое поведение поля аппроксимируется степенными калибровочными функциями, соответственно образующими либо анизотропную, либо изотропную, либо аксиально-симметричную форму:

U(x1,ј,xD) » D е i=1  ai|xi|qi,    U( ® r   ) » arq,    U( ® r   ) » a^r^q^ + a3|x3|q3.

(1)

Отметим, что большинство реализуемых полей удовлетворяет такому определению. Тогда для химического потенциала m и полной энергии E системы будем иметь:

N =+ Ne = 0(T),

(2)

E =

(3)

где N_{e = 0}(T) - число бозонов на уровне e = 0, = -m/T, = e/T и e полная энергия частицы

e = cps +,

(4)

а r( T) - плотность одночастичных состояний

r( T) = Dp[D/2] hDG(1 + D/2)scD/s   у х U(r) Ј T   (T- U())D/s-1dx1јdxD.

(5)

Температура конденсации T₀ определяется из (2) при m = 0 и N_{e = 0} = 0

N = Ґ у х 0  T0r(T0)d -1 .

(6)

   Поскольку конечность (бесконечность) значения интеграла из (6) в конечном счете сводится к его сходимости (несходимости) на нижнем пределе интегрирования ®0), а при ®0 область интегрирования Ј T интеграла из (5) стягивается в малую окрестность точки минимума , то влияние внешнего поля на возможность БЭК, т.е. при T₀ > 0, полностью определяется характером асимптотического поведения поля в окрестности точки его минимума. Тогда, представив (6) в виде

N = Ґ у х 0  T0r(T0)d -1 + 0 у х 0  T0r(T0)d -1

(7)

и взяв ₀ настолько малым, чтобы область интегрирования в (5), т.е. при Ј T, охватывала из W только лишь некоторую окрестность точки абсолютного минимума и чтобы в этой окрестности имело место (1), во втором интеграле (13) для плотности числа состояний будем иметь

r(T0) » AT0[D/s]+c f -1 [D/s]+c f -1     у х [(x1,ј,xD і 0), (x1+ј+xD Ј 1)]  ж и 1- D е i=1  xi ц ш [D/s]-1   D Х i=1  xi[1/(qi)]-1dx1јdxD,

(8)

где x_i = (a_i/T)|x_i^q_i|, коэффициент A равен A = Ds^-1(2p^1/2h^-1c^-1/s)^DG^-1(1+D/2)q_i^-1a_i^-1/q_i, c_f - полевой параметр, отражающий характер асимптотического поведения поля в окрестности точки его минимума, равный

cf  = D е i=1  qi-1.

(9)

После подстановки (8) во второй интеграл из (7) и с учетом того, что при << 1 имеет место оценка (-1) » и что ввиду D/s-1 > -1 интеграл из (8) конечен, правая часть (7) будет конечной и вместе с этим БЭК будет возможной (T₀ > 0) при условии

c = cs + cf > 1,

(10)

где c_s = D/s - параметр спектра возбуждения, а c интегральный параметр спектра-поля. Нетрудно показать, что в случае изотропной и аксиально-симметричной форм асимптотического поведения внешних полей в условии (10) c_f = D/q и c_f = 2/q_^ + 1/q₃ соответственно. При s = 2 условие (10) совпадает с условием возможности БЭК, полученным в работе [3] для степенного поля = ar^q. Кроме того при отсутствии внешнего поля, т.е. при c_f = 0 (q₁,ј,q_D,  q,  q_^ = Ґ), (10) переходит в обычное условие возможности БЭК, 0 < s < D (см. например [5]).
   Характер фазового перехода при БЭК. Таким образом, при c = c_s + c_f > 1 имеем T₀ > 0, и тогда из m(T₀ + 0) = 0 и m(T₀ - 0) = 0 следует, что m(T₀ + 0) = = m(T₀ - 0) и E(T₀ + 0) = E(T₀ - 0), так что в точке фазового перехода T = T₀ термодинамические потенциалы m(T) и E(T) будут непрерывны. Откуда, поскольку W = const и при этом dS = dE/T, энтропия S(T) = E/T + тEdT/T² также непрерывна и в идеальном газе бозонов при любом e_p = cp^s и БЭК не может быть ФП1. Обратимся к исследованию поведения k-кратных производных m и E по T, m^(k)(T) и E^(k)(T), в точке T₀ (k = 1,2,ј) посредством определения асимптотических значений (ноль, конечность, бесконечность) скачков Для этого напишем общие выражения для скачков начиная с k = 1, которые получаются с учетом того, что N = N(T,), E = E(T,) и ¶N/¶T = ¶²N/¶T² =ј = ¶^kN/¶T^k є 0 (полное число бозонов N = const), а также того, что при T Ј T₀ имеем m = ¶m/¶T =ј = ¶^km/¶T^k є 0:

1 T0 й к л ¶m ¶T щ ъ ы T0  = lim T®T0+0  1 T ж з и ¶m ¶T ц ч ш T  = lim T®T0+0  ж и Ґ у х 0  QTd ц ш ж и Ґ у х 0  Qd ц ш -1   ,

(11)

= - lim T®T0+0  1 T ¶m ¶T Ґ у х 0  R(T,,)d,

(12)

й к л ¶2E ¶T2 щ ъ ы T0  = lim T®T0+0  м н о - 2 T ¶m ¶T Ґ у х 0  ж з и - R T ц ч ш d + 1 T2 ж з и ¶m ¶T ц ч ш 2   Ґ у х 0  Rd - 1 T ¶2m ¶T2 Ґ у х 0  Rd ь э ю ,

(13)

1 T0 й к л ¶2E ¶T2 щ ъ ы T0  = lim T®T0+0  ж з и Ґ у х 0  QTTd - 2 T ¶m ¶T Ґ у х 0  ж з и - Q T ц ч ш d + 1 T2 ж з и ¶m ¶T ц ч ш 2   Ґ у х 0  Qd ц ч ш ж и Ґ у х 0  Qd ц ш -1   ,

(14)

где через Q = Q(T,, и R = R(T,,) обозначены подынтегральные выражения из (2) и (3), а Q_T, Q,ј, R_T, R,ј их частные производные по T и .
   При этом нетрудно заметить, что скачки высших производных также будут представляться аналогичными (11)-(14) алгебраическими выражениями относительно несобственных интегралов от производных R и Q по T и , до k-порядка включительно. Поскольку асимптотические значения этих скачков (ноль, конечность и бесконечность) также определяются сходимостью (расходимостью) интегралов из (11)-(14) на нижнем пределе их интегрирования, в том же числе интегралов из предполагаемых выражений для скачков высших производных, то влияние внешних полей на характер фазового перехода при БЭК будет определяться поведением в окрестности точки его минимума. При этом, учтя, что при e ® 0 имеется оценка (8) и при T ® T₀ имеем m(T) ® 0, для асимптотических поведений подынтегральных выражений и этих интегралов на нижнем пределе интегрирования e ® 0 будем иметь:

(15)

(16)