ФИЗИКА

УДК 531.19

Г. С. Бабаджанян1, С. А. Бабаджанян2

Конденсация Бозе - Эйнштейна в D-мерной системе идеального газа
бозонов со спектром возбуждения
ep = cps в присутствии внешнего поля с
произвольной формой удерживающего потенциала

(Представлено академиком Д. М. Седракяном 22/IX 2004)

   Введение. Эксперименты по конденсации Бозе - Эйнштейна (БЭК) побудили к теоретическим исследованиям термодинамики идеального Бозе-газа, находящегося во внешнем удерживающем поле, потенциалами которого являются степенные функции. При этом в случае анизотропных и изотропных полей в целях общности соответствующие степенные потенциалы представлялись в виде |xi|qi и = arq. В тех же целях потенциалы аксиально-симметричных полей представляем в виде = a^r^q^ + a3|x3|q3. В выражениях для потенциалов D = 1,2,3 - пространственная размерность системы бозонов, r = ( )1/2, r^ = (x12 + x22)1/2, где x1,ј,xD О W и W - объем D-мерной области пространства, занимаемой системой (см. [1, 2]).
   Результаты исследований показывают, что внешние поля могут способствовать возникновению БЭК, т.е. тому, чтоб температура БЭК T0 > 0 [2, 3], и влиять на свойство непрерывности термодинамических функций в точке T0, тем самым меняя характер фазового перехода при БЭК [1, 2]. В то же время в отношении указанных аспектов явления БЭК они не полны и не всегда имеют общий характер; не установлен также весь спектр возможных характеров ее фазового перехода. Кроме того, с точки зрения физики фазовых переходов представляется важным в структуре внешних удерживающих полей провести четкую идентификацию универсального для всех
источника и характеристик его влияния на возможность БЭК и характер ее фазового перехода [4].
   В настоящей работе в рамках квазиклассического приближения асимптотическими методами исследуются возможность БЭК и характер ее фазового перехода (ФП) в идеальном Бозе-газе, находящемся во внешнем поле с произвольным потенциалом
, только лишь удовлетворяющим общим необходимым требованиям удержания бозонов в (1,2,3)D-мерной области пространства W. При этом, не исключив возможности наблюдения явления БЭК в системах бозонов с отличным от ep = p2/2m спектром возбуждения, ep(p) будем задавать в несколько более общем виде, ep = cps (c,s > 0), например экситонов [5].
   Возможность БЭК и ее критические параметры. Пусть поле
для простоты во всей области W непрерывно. Кроме того, во всей области W поле і 0 и на границе области W имеем U(x1,ј,xD) = Ґ. И пусть в некоторой точке (x1,ј,xD) О W (для простоты x1,0 = 0,ј,xD,0 = 0) поле принимает свое наименьшее значение ( = 0) и эта точка является точкой минимума. Вместе с тем в окрестности точки минимума асимптотическое поведение поля аппроксимируется степенными калибровочными функциями, соответственно образующими либо анизотропную, либо изотропную, либо аксиально-симметричную форму:

U(x1,ј,xD) » D
е
i=1 
ai|xi|qi,    U( ®
r
 
) » arq,    U( ®
r
 
) » a^r^q^ + a3|x3|q3.
(1)

Отметим, что большинство реализуемых полей удовлетворяет такому определению. Тогда для химического потенциала m и полной энергии E системы будем иметь:
N =+ Ne = 0(T),
(2)
E =

(3)
где Ne = 0(T) - число бозонов на уровне e = 0, = -m/T, = e/T и e полная энергия частицы
e = cps +,  
(4)
а r( T) - плотность одночастичных состояний
r( T) = Dp[D/2]
hDG(1 + D/2)scD/s

 

у
х
U(r) Ј T

 

(T- U())D/s-1dx1јdxD.
(5)
Температура конденсации T0 определяется из (2) при m = 0 и Ne = 0 = 0
N = Ґ
у
х
0 
T0r(T0)d

-1
.
(6)

   Поскольку конечность (бесконечность) значения интеграла из (6) в конечном счете сводится к его сходимости (несходимости) на нижнем пределе интегрирования ®0), а при ®0 область интегрирования Ј T интеграла из (5) стягивается в малую окрестность точки минимума , то влияние внешнего поля на возможность БЭК, т.е. при T0 > 0, полностью определяется характером асимптотического поведения поля в окрестности точки его минимума. Тогда, представив (6) в виде
N = Ґ
у
х
0 
T0r(T0)d

-1
+ 0
у
х
0 
T0r(T0)d

-1
(7)

и взяв 0 настолько малым, чтобы область интегрирования в (5), т.е. при Ј T, охватывала из W только лишь некоторую окрестность точки абсолютного минимума и чтобы в этой окрестности имело место (1), во втором интеграле (13) для плотности числа состояний будем иметь
r(T0) » AT0[D/s]+c f -1 [D/s]+c f -1
 

 

у
х
[(x1,ј,xD і 0),
(x1+ј+xD Ј 1)]
 

ж
и
1- D
е
i=1 
xi ц
ш
[D/s]-1
 
D
Х
i=1 
xi[1/(qi)]-1dx1јdxD,
(8)

где xi = (ai/T)|xiqi|, коэффициент A равен A = Ds-1(2p1/2h-1c-1/s)DG-1(1+D/2)qi-1ai-1/qi, cf - полевой параметр, отражающий характер асимптотического поведения поля в окрестности точки его минимума, равный
c= D
е
i=1 
qi-1.
(9)

После подстановки (8) во второй интеграл из (7) и с учетом того, что при << 1 имеет место оценка (-1) » и что ввиду D/s-1 > -1 интеграл из (8) конечен, правая часть (7) будет конечной и вместе с этим БЭК будет возможной (T0 > 0) при условии
c = cs + cf > 1,
(10)

где cs = D/s - параметр спектра возбуждения, а c интегральный параметр спектра-поля. Нетрудно показать, что в случае изотропной и аксиально-симметричной форм асимптотического поведения внешних полей в условии (10) cf = D/q и cf = 2/q^ + 1/q3 соответственно. При s = 2 условие (10) совпадает с условием возможности БЭК, полученным в работе [3] для степенного поля = arq. Кроме того при отсутствии внешнего поля, т.е. при cf = 0 (q1,ј,qD,  q,  q^ = Ґ), (10) переходит в обычное условие возможности БЭК, 0 < s < D (см. например [5]).
   Характер фазового перехода при БЭК. Таким образом, при c = cs + cf > 1 имеем T0 > 0, и тогда из m(T0 + 0) = 0 и m(T0 - 0) = 0 следует, что m(T0 + 0) = = m(T0 - 0) и E(T0 + 0) = E(T0 - 0), так что в точке фазового перехода T = T0 термодинамические потенциалы m(T) и E(T) будут непрерывны. Откуда, поскольку W = const и при этом dS = dE/T, энтропия S(T) = E/T + тEdT/T2 также непрерывна и в идеальном газе бозонов при любом ep = cps и БЭК не может быть ФП1. Обратимся к исследованию поведения k-кратных производных m и E по T, m(k)(T) и E(k)(T), в точке T0 (k = 1,2,ј) посредством определения асимптотических значений (ноль, конечность, бесконечность) скачков Для этого напишем общие выражения для скачков начиная с k = 1, которые получаются с учетом того, что N = N(T,), E = E(T,) и N/T =2N/T2 =ј = kN/Tk є 0 (полное число бозонов N = const), а также того, что при T Ј T0 имеем m = ¶m/T =ј = km/Tk є 0:
1
T0
й
к
л
m
T
щ
ъ
ы


T0 
=
lim
T®T0+0 
1
T
ж
з
и
m
T
ц
ч
ш


T 
=
lim
T®T0+0 
ж
и
Ґ
у
х
0 
QTd ц
ш
ж
и
Ґ
у
х
0 
Qd ц
ш
-1
 
,
(11)
= -
lim
T®T0+0 
1
T
m
T
Ґ
у
х
0 
R(T,,)d,
(12)
й
к
л
2E
T2
щ
ъ
ы


T0 
=
lim
T®T0+0 
м
н
о
- 2
T
m
T
Ґ
у
х
0 
ж
з
и
- R
T
ц
ч
ш
d + 1
T2
ж
з
и
m
T
ц
ч
ш
2

 
Ґ
у
х
0 
Rd - 1
T
2m
T2
Ґ
у
х
0 
Rd ь
э
ю
,
(13)
1
T0
й
к
л
2E
T2
щ
ъ
ы


T0 
=
lim
T®T0+0 
ж
з
и
Ґ
у
х
0 
QTTd - 2
T
m
T
Ґ
у
х
0 
ж
з
и
- Q
T
ц
ч
ш
d + 1
T2
ж
з
и
m
T
ц
ч
ш
2

 
Ґ
у
х
0 
Qd ц
ч
ш
ж
и
Ґ
у
х
0 
Qd ц
ш
-1
 
,
(14)

где через Q = Q(T,, и R = R(T,,) обозначены подынтегральные выражения из (2) и (3), а QT, Q,ј, RT, R,ј их частные производные по T и .
   При этом нетрудно заметить, что скачки высших производных также будут представляться аналогичными (11)-(14) алгебраическими выражениями относительно несобственных интегралов от производных R и Q по T и , до k-порядка включительно. Поскольку асимптотические значения этих скачков (ноль, конечность и бесконечность) также определяются сходимостью (расходимостью) интегралов из (11)-(14) на нижнем пределе их интегрирования, в том же числе интегралов из предполагаемых выражений для скачков высших производных, то влияние внешних полей на характер фазового перехода при БЭК будет определяться поведением в окрестности точки его минимума. При этом, учтя, что при e ® 0 имеется оценка (8) и при T ® T0 имеем m(T) ® 0, для асимптотических поведений подынтегральных выражений и этих интегралов на нижнем пределе интегрирования e ® 0 будем иметь:

(15)

(16)

где m + l = k и k = 1,2,ј порядок дифференцирования m(T) и E(T) по T. Откуда получаем, что асимптотическое поведение этих интегралов на нижнем пределе интегрирования аппроксимируется в виде:

(17)

(18)

   Подставляя (17) и (18) (с соответствующими значениями m и l) в выражение для скачков первых производных из (11) и (12), получаем, что при
2 < c < Ґ
(19)
БЭК является ФП2 с конечным скачком и . А при

1 < c Ј 2
(20)

m(1) и E(1) непрерывны в точке T = T0, так что при условии (20) БЭК перестает быть ФП2. В то же время подставляя (17) и (18) в (13) и (14), получаем, что при

3/2 Ј c Ј 2
(21)

m(2) и E(2) при T = T0 перестают быть непрерывными: при 3/2 Ј c Ј 2 скачки  = Ґ и при c = 3/2 конечны. Так что при условии (21) БЭК является ФП3. А при c < 3/2 m(2) и E(2) непрерывны в точке T = T0. Поступая аналогичным образом, нетрудно показать, что для k і 3 скачки и бесконечны при (k+1)/k < c < k/(k-1),

конечны при c = (k+1)/k и равны нулю при c < (k+1)/k. Следовательно, при

(k+1)/k Ј c < k/(k-1)
(22)

БЭК согласно классификации Эренфеста можно считать ФП(n), где n = k+1. При выводе критериев (21) и (22) учитывалось, что для асимптотических значений скачков и в числителях соответствующих выражений определяющими являются члены, содержащие

   Отметим, что критерии (19) и (21) при s = 2 и D = 3 переходят в соответствующие критерии, полученные в [1], при этом уточняя нижнюю границу значения c, при котором БЭК является ФП3 (c = 1 ® c = 3/2). Вместе с этим в отличие от [1] соответственно (22) имеем, что на области значений c О (1,3/2) БЭК может быть любым ФП(n) (вплоть до n ® Ґ) с конечным либо бесконечным значением скачков и (см. выше).

   Универсальная роль критического параметра спектра-поля для фазовых переходов при БЭК. Таким образом, в зависимости от D, s и q1,ј,qD критический параметр c внутри области [0,Ґ) может принимать любые значения (возможные ограничения могут возникнуть из-за реальных значений D, s). Критерии (10), (19), (21) и (22) в этой области устанавливают бесконечное число универсальных значений ck = k/(k - 1) (где k = 1,2,3,ј - кратность производных термодинамических потенциалов по T) и cҐ =k/(k - 1) = 1, посредством которых вся область возможных значений c разбивается на области возможности и невозможности БЭК, т.е. 1 < c < Ґ и 0 < c Ј 1. А уже область возможности БЭК любыми соседними парами ck и ck+1 разбивается на бесконечное число таких универсальных интервалов значений Dck - Dc1 є {Ґ > c > 2},  Dc2 є {2 і c і 3/2},  Dc3 є {3/2 > c і 4/3}, ј,  Dck є {k/(k-1) > c і (k+1)/k}, ј, что при c О Dck БЭК может быть только лишь фазовым переходом порядка n = k+1 с конечными скачками , при c = (k + 1)/k (нижняя граница интервала Dck) и с бесконечным скачком при остальных значениях c О Dck (за исключением c О Dc1, где БЭК является ФП2 только лишь с конечными скачками , . Откуда заключаем, что критический параметр c касательно вопросов фазовых переходов при БЭК во всех отношениях является определяющим. Кроме того, критический параметр c играет универсальную роль в том смысле, что бесконечное число различных расширенных систем внешнее поле - система бозонов в зависимости от пространственной размерности D, степенного показателя спектра возбуждения ep = cps и характера асимптотического поведения внешнего удерживающего поля в окрестности точки его минимума (q1,ј,qD) в отношении фазовых переходов при БЭК можно разделить на различные классы так, чтобы внутри каждого класса расширенные системы в критической области имели идентичное поведение.
   Наконец, поскольку внешние поля с произвольными удерживающими потенциалами можно разделить на классы идентичности в отношении значений cf, то поля со степенными потенциалами при тех же cf в отношении вопросов фазовых переходов БЭК будут играть роль калибровочных потенциалов.
   В качестве примера рассмотрим систему бозонов со спектром возбуждения ep = p2/2m. В случае изотропности формы асимптотического поведения поля в окрестности точки его минимума, т.е. » arn, параметр c = D/2+D/n и из (10) имеем T0 > 0, если
1
n
> 1
D
- 1
2
м
п
н
п
о
D=1,
при
0 < n < 2
D=2,
при
0 < n < Ґ
D=3,
при
0 < n < Ґ.
(23)
Причем согласно (19) БЭК является ФП2 с конечным скачком , , если
0 < n < 2D
4-D
м
п
н
п
о
D=1,
при
0 < n < 2/3
D=2,
при
0 < n < 2
D=3,
при
0 < n < 6.
(24)
И согласно (21) БЭК является ФП3, если
2D
4-D
Ј n Ј 2D
3-D
м
п
н
п
о
D=1,
при
2/3 Ј n Ј 1
D=2,
при
2 Ј n Ј 4
D=3,
при
6 Ј n < Ґ.
(25)

Откуда, в частности, заключаем, что для D = 3 ни при каком n БЭК не может быть ФП(n > 3). И наконец, соответственно (18), БЭК является ФП(k + 1) (k і 3), если

2(k+1)D
2k-(k-1)D
< n Ј 2kD
2(k+1)-kD
м
п
н
п
о
D=1,
при 2(k-1)/(k+1) < n Ј 2k/(k+2)
D=2,
при 2(k-1) < n Ј 2k
D=3,
при n О Ж.
(26)

   1Корпорация Вираж Лоджик (Virage Logic Corp.)
   2Национальный институт стандартов РА

Литература

     1. Bagnato V., Pritchard D. E., Kleppner D.  - Phys. Rev. A. 1987. V. 35. P. 4354.
     2. Dolfavo F., Giorgini S., Pitaevskii L., Stringari S.  - Review of Modern Physics. 1999. V. 71. P. 463.
     3. Salasnich L.,  - Math J. Phys. 2000. V. 41. P. 8016.
     4. Kadanoff L. P.  - Critical Phenomena. Proc. Int. School Phys. "Enrico Fermi", Course LJ, Acad. Press New York - London, 1971.
     5. Huang K.,  Statistical Mechanics. John and Sons Inc., New York - London, 1963.
     6. Johnson K., Kavaulakis G. M.  - Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 858.