где R - некоторый характерный радиус кривизны срединной поверхности, p,l - целые числа, удовлетворяющие неравенствам l > p і 0, а l - большой постоянный параметр, определяемый формулой h = R · l^-l.
   В трехмерных уравнениях (1.1)-(1.3) по формулам работы [15] перейдем к безразмерным величинам
  Будем считать, что упругие константы материала оболочки и имеют представления

(1.7)

где величины , считаются величинами порядка l⁰.
   Тогда из полученной системы уравнений на уровне асимптотической точности 0(l^p-l) часть величин можем получить интегрированием по переменной z:

м п п п п п п н п п п п п п о   ж и (x1,x2) + l2p-l-cz · (x1,x2) ц ш ,        · (x1,x2), = ll ж и (x1,x2) + l2p-l-cz · (x1,x2) ц ш , = lp ж и (x1,x2) + z · (x1,x2) + l2p-l-cz2 ·(x1,x2) ц ш , wi = lp+l-c · (x1,x2),        w3 = ll ж и (x1,x2) + l2p-l-cz · (x1,x2) ц ш , = l2p-l-c ·(x1,x2), = l2p-l-c · (x1,x2),    (i = 1,2,  j = 1,2),

(1.8)

где c = 0 при 2p Ј l и c = 2p - l при 2p і l; - несимметричный тензор силовых напряжений [7], - аналогичный тензор для моментных напряжений [15].
   Здесь основными функциями, зависящими от x₁ и x₂, являются (x₁,x₂) и (x₁,x₂); остальные величины будут определяться через указанные функции по соответствующим формулам. Остальная часть расчетных величин поставленной трехмерной задачи выражается через вышеотмеченные величины и через величины , для определения которых приходим к дифференциальным уравнениям (относительно координаты z) с соответствующими граничными условиями при z ± 1.
   Далее переходим к осредненным по толщине оболочки силовым и моментным характеристикам [14,15] и одновременно к понятиям перемещений и поворотов точек срединной поверхности оболочки. На основе построенной асимптотики для поставленной краевой задачи (1.1)-(1.5) на уровне асимптотической точности 0(l^p-l) приходим к следующей разрешающей системе двумерных уравнений:

Здесь T_ii, S₁₂, S₂₁ - усилия; N₁₃, N₂₃ - перерезывающие силы; G_ii, H₁₂, H₂₁ - моменты силового происхождения; L_ii, L₁₂, L₂₁ - моменты моментного происхождения; G_ii, G₁₂, G₂₁ - компоненты тензора деформации в точках срединной поверхности оболочки; K_ii, K₁₂, K₂₁ - компоненты тензора изгибных деформаций и кручения, связанные с моментами силового происхождения; c_ii, c₁₂, c₂₁ - компоненты тензора изгибных деформаций и кручения, связанные с моментами моментного происхождения; u_i, w - перемещения точек срединной поверхности оболочки; W_i, W₃ - компоненты вектора вращения точек срединной поверхности оболочки. После решения основной разрешающей системы уравнений (1.9)-(1.11) остальные искомые величины будут определяться по соответствующим формулам. (1.9)-(1.11) представляют собой уравнения разрешающей системы прикладной-двумерной теории микрополярных упругих тонких оболочек, когда в ее основу положена трехмерная НТУ с СВ.
   2. Обратимся к изучению краевых упругих явлений; отправными также будут уравнения трехмерной теории НТУ с СВ (1.1)-(1.3).
   Будем считать, что край оболочки, вблизи которого надо исследовать напряженное состояние, задается уравнением a₁ = a₁₀, и введем замену независимых переменных по формулам [7]:

a1 - a10 = Rl-l · x1,    a2 = Rl-p · x2,    a3 = Rl-l · z,

(2.1)

где величины R,l, l,p имеют тот же смысл, что и в (1.6).
   В трехмерных уравнениях (1.1)-(1.3) по формулам работы [15] перейдем к безразмерным величинам и выполним соответствующие замены искомых величин.
   После этого уравнения НТУ с СВ можем представить в виде двух групп уравнений и при отбрасывании величин порядка l^p-l получим две отдельные группы независимых однородных уравнений, представляющих собой системы уравнений так называемой смешанной, силовой-моментной (антиплоской и плоской) погранслойной задачи несимметричной теории упругости. Будем исходить из предположения, что напряженное состояние трехмерного тела оболочки по НТУ с СВ составляется из внутреннего напряженного состояния и погранслоев:

(НДС)полн = (НДС)вн + l r · + l q ·,

(2.2)

где числа r,q назовем показателями интенсивности плоского и антиплоского погранслоев, которые пока произвольны. Считается, что погранслои локализуются вблизи бокового края оболочки.
   Для того, чтобы осуществить сращивание внутренней задачи и погранслоев по НТУ с СВ , следует подставить (2.2) в граничные условия (1.5). При этом показатели r и q будем выбирать так, чтобы итерационный процесс для выполнения граничных условий (1.5) был удобным.
   Единственно приемлемые значения r и q в случае нагруженного края оболочки на уровне асимптотической точности 0(l^p-l) определяются так:

r = 2p - c,       q = 2p - c.

(2.3)

   С учетом (2.3), в результате подстановки (2.2) в условия (1.5) и ограничиваясь асимптотической точностью 0(l^p-l), получим, что граничные условия трехмерной теории НТУ с СВ (1.5) расщепляются между внутренней задачей (прикладной-двумерной теорией оболочек) и погранслойными задачами.
   Для прикладной-двумерной теории микрополярных оболочек (определяющая система уравнений (1.9)-(1.11)) получим граничные условия следующего вида:

м п п п п н п п п п о T11 к к к a1=a10  = h у х -h  p*1da3,       S12 к к к a1=a10  = h у х -h  p*2da3, ж з и -N13 + 1 A2 · ¶ ¶a2 ж и H12 - L11 ц ш ц ч ш к к к a1=a10  = h у х -h  ж з и p*3 + 1 A2 · ¶ ¶a2 ж и a3 · p*2 - m*1 ц ш ц ч ш da3, ж и L12 - G11 ц ш к к к a1=a10  = h у х -h  ж и m*2 + a3 · p*1 ц ш da3.

(2.4)

   Уравнения (1.9)-(1.11) и граничные условия (2.4) составляют граничную задачу прикладной-двумерной теории микрополярных упругих тонких оболочек, когда в ее основу положена трехмерная НТУ с СВ.
   Отдельные граничные условия получены также для погранслойных уравнений.

     Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна