Обозначая через r₀ значения r на зеркале (рис. 1,2), введя функцию U, E¹ =· U, можно из (6) для немалых r, соответствующих окрестности каустики вдали от оси x, получить в основных порядках уравнение

¶2U ¶r2 + ¶2 U ¶x2 - 1 c2 ¶2 ¶t2 (e0U) = 1 c2 ¶2 ¶t2 (e2 + ie1) r0 r |U|2,

(7)

где отброшено малое недифференцируемое слагаемое от U.

   Обозначая левую часть (7) через D⁰U, x₁ = x, x₂ = r, можно с учетом (5) получить дисперсионное соотношение

(8)

Записывая u = y, учитывая (4), можно уравнение (7) записать в виде

(9)

где l1 = wDw ж з и Nj - aiNi akDak Daj ц ч ш ж з и ¶a1j ¶t - ¶aj ¶t ц ч ш .

(10)

Для оптической среды в силу (8) имеет место соотношение изотропии w = w(k), k² = a²_i, и можно получить [6]

(11)

где [1/R] есть разность кривизны луча и каустики. Правую часть (9) можно записать в виде

Dw ж з и ¶W ¶a2 ц ч ш 0  r0 r |y|2y.

(12)

   Здесь согласно определению (8), (9), (12) ( [(¶W)/(¶a²)])₀ = -[(e₂ + ie₁)/(2e₀)]w есть коэффициент при a² = [(r₀)/r]|y|² в нелинейной частоте W, W = w + ([(¶W)/(¶a²)])₀a².
   Вводя безразмерные переменные y^*, y^*, получим

= c-[1/3]y*,    y = my*,    j0 = p 2 (kў + 1) - p 4 ,    c = 2k2 R ,    k2 = w2 c2n ,

(13)

где c = [(l₁)/( [1/2]N_iN_j)] = [(2k²)/R], k = [(w)/(c_n)],

m =,    n1 = c-[1/3],

(14)

где последние соотношения для c, m в (14) соответствуют оптической среде, знаки под корнем квадратным соответствуют ([(¶W)/(¶a²)] )₀ 0.
   В случае оптической среды в силу (9), (12) ([(¶W)/(¶a²)] )₀ < 0. Подставляя (13),(14) в (9), (10), можно получить для оптической среды уравнение

d2y* dy*2 - y*y* + |y*|y* ж з и 1 + ie1 e2 ц ч ш = 0.

(15)

Линейное решение записывается через функцию Эйри [1-6]

y0 = Cv(y*),    C = 2a1[1/12]A1w-kў-[5/6],    a1 = c w2 .

(16)

С учетом (13), записывая (16) вдали от каустики для больших -y^* > 0, можно получить решение геометрической оптики

yгеом =

(17)

Для определения C или A через начальную амплитуду волны запишем линейное решение вдали от каустики для однородной среды. Уравнения лучей имеют вид [7]

x - x0(q) = cn(t - t0 - t)cosq, r - r0(q) = cn(t - t0 - t)sinq,

(18)

где t = 0 - фронт волны, t₀(q) - момент прихода волны на каустику, x = x₀(q), r = r₀(q) - уравнение каустики, кривизна которой равна [1/(c_ntў₀(q))] = -[1/R]. Вблизи каустики для малых qў = q - q₁, где q₁ - значение q для фиксированного луча, получено [7]

tў0(q)qў3 + t,     cntў0(q)qў2.

(19)

Решение геометрической оптики записывается в виде

yгеом =       t1 = t0ў(q)qў,

(20)

где [(c⁰)/((-iw)^kў+1)] - значение начальной амплитуды волны, 2k₁ - начальная кривизна меридианального сечения волны или зеркала. В силу (19), (20)

-[1/4] = 21/4R-[1/3]cn-[1/6].

(21)

Учитывая (14), получим

C m = c0 wkў+1 · 21/2w1/2   .

(22)

Таким образом характерный множитель в линейном решении (13), (22) не зависит от [1/R] и имеет четкое значение. В (22) r = r(t) есть значение r на каустике в точке A.
   Для определения решения уравнения Пенлеве, получаемого из (15) при e₁ = 0, нужно поставить граничные условия, взятые из линейного решения (16) в некоторых точках, например, y^* = ±5, y^*(±5) = [C/(m)]v(±5). В силу сложности граничной задачи задавались начальные условия

y*(5) = C m v(5),    dy* dy* к к к y* = 5  = C m vў(5)

(23)

и проводился расчет уравнения (15) при e₁ = 0

d2y* dy*2 - y*y* + y*3 = 0

(24)

для значений [C/(m)] = 0.4;  0.5;  0.6 (решение приведено на рис. 3), причем условие y^*(-5) = [C/(m)]v(-5) удовлетворено достаточно точно, полученное решение годится для начальной сходящейся волны в форме параболоида с уравнением x₁ = k₁r₁² (рис. 1), причем 2k₁ есть кривизна меридианального сечения в начальной точке r₁ = 0. Расчет для начального условия (23), взятого в точке y^* = -5, не дал удовлетворительного выполнения граничных условий в точке y^* = 5, поэтому в работе рассмотрено условие (23), взятое в точке y^* = 5. Линейное решение дает такую же картину кривой, как и на рис. 3, но с несколько меньшими по модулю ординатами.

   В случае сферического зеркала радиуса R₀ (рис. 2) при наличии параллельного оси x пучка лучей, падающих на зеркало, для отраженных от зеркала лучей имеем

x = x0 -, x0 = R0cos r = r0 - r0 = R0sin= rўcos= rўsin

(25)

где x₀, r₀ есть координаты точек пересечения лучей со сферическим зеркалом, rў = c_n( t -[(R₀cos)])/(c_n)]). Соотношения (25) можно записать в виде
Уравнения огибающей этих лучей, или каустики, имеют вид:

x sin= r cos+ R0sin    x cos+ r sin = R0 2 cos .

(26)

Характерные точки для полученной каустики

= 0, x = R0 2 , r = 0, = p 4 , r = R0 4 , x = R0 2 ,  = p 2 , x = 0, r = R0.

(27)

Каустика изображена на рис. 2. В отличие от случая сходящейся начальной волны в форме параболоида (рис. 1), при котором каустики [8] выражаются уравнением

(28)

и расположены после фокальной точки, в случае сферического зеркала каустика (26) расположена до фокуса y = 0, x = R₀. Уравнение каустики для сферического зеркала впервые получено академиком П.М. Геруни [8]. Для случая параболоида до каустики (28) имеются фокальные точки на оси x [9]. Однако решение вблизи каустики (28) вдали от оси x будет по-прежнему даваться (24), (22).

     Институт механики НАН РА

Литература