МАТЕМАТИКА

УДК 517.538.5

А. З. Мартиросян

Лакунарные аналоги теоремы Рунге и многократно
T-универсальные функции, представимые лакунарными степенными
рядами, в пространстве голоморфных функций

(Представлено академиком Н. У. Аракеляном 22/I 2005)

   1. Для компактного множества K из конечной комплексной плоскости C обозначим через A(K) Банахово пространство из всех непрерывных на K и голоморфных на его внутренности комплексно значных функций с нормой ||f|| = sup{|f(z) | : z О K}. Обозначим через M семейство всех компактных множеств K М C со связным дополнением C \ K. Для множества E М C будем обозначать E ее границу. Пусть N, Z будут, как обычно, множества из всех натуральных и целых чисел, соответственно; пусть также N0 = N З {0}. Для последовательности Q =из N0 положим n(t) - количество ее членов из отрезка и определим плотность, верхнюю плотность и минимальную плотность для Q, соответственно, следующим образом:
D(Q) =
lim
t®Ґ 
n(t)
t
,    =
lim
t®Ґ 
sup
n(t)
t
,    Dmin(Q) =
lim
t®1-0 

lim
t®Ґ 
n(t) - n(tt)
t(1 - t)
.

   Пусть функция f голоморфна в односвязной области G М C. Последовательность операций {Lj}jОZ определим следующим образом: для z О G и j О N0 положим L0f(z) = f(z), L1f(z) = (zf(z))ў, Ljf(z) = L1(Lj-1f(z)) при j = 2, 3, ј; для z О G и j = -1, -2, ј положим

Ljf(z) = м
п
п
н
п
п
о
z-1 · z
у
х
0 
Lj+1f(t)dt,
 если   0 О G
z-1 · z
у
х
z0 
Lj+1f(t)dt,
 если   0 П G,  z0 О G,

где интеграл берется по любой спрямляемой дуге из G, соединяющей, соответственно, 0 или z0 c z.
   Пусть O М C - открытое множество, H(O) - совокупность всех голоморфных на O функций. Рассмотрим последовательность {Kn}nОN компактных подмножеств, исчерпывающих O, т.е. Kn М Kn+1 и ИnОNKn = O. Для функции h О H(O) и любого n О N положим

dn(h) =
max
zОKn 
|h(z)|,    d(h) = Ґ
е
n=1 
dn(h)
2n(1 + dn(h))
.

Если h1,h2 О H(O), то определим расстояние между ними как r(h1,h2) = d(h1 - h2). Множество H(O), снабженное такой метрикой, есть пространство Фреше; для последовательности {hk}kОN М H(O) имеем

lim
n®Ґ 
r(hk,h) = 0

тогда и только тогда, когда {hk}kОN сходится к h локально-равномерно в O. Итак, r - естественная метрика, индуцирующая локально-равномерную сходимость в H(O).
   Для заданных открытого множества O М C, 0 О O, и подпоследовательности Q М N0 обозначим через HQ(O) подпространство из всех функций j О H(O), представимых в некоторой окрестности нуля лакунарным степенным рядом.
j(z) = Ґ
е
n=0 
jzzn,   jn = 0 при   n П Q.

   Определение 1. Пусть O М C - произвольное открытое множество. Функция j О H(O) называется T-универсальной на O ("универсальной относительно трансляций"), если она имеет следующее свойство: для всех K О M, для всех f О A(K) и для всех V О O существуют последовательности {an}nОN и {bn}nОN такие, что anz+bn О O для всех z О K и всех n О N, последовательность {anz + bn}nОN сходится к  z и последовательность {j(anz + bn)}nОN сходится к f(z) равномерно на K.
   Определение 2. Пусть O М C, 0 О O - произвольное открытое множество, Q М N0 - произвольная подпоследовательность. Функция j О H(O) называется многократно T-универсальной относительно последовательности операций {Lj}jОZ, если при любом фиксированном j О Z функция Ljj(z) О HQ(O) и T-универсальна.
   Множество всех универсальных по определению 2 функций обозначим через UQ(O). Это множество исследовалось в [1, 2], а именно: при тех или иных предположениях относительно O и Q было доказано, что UQ(O) Ж. В данной работе множество UQ(O) изучается количественно: оказывается, что UQ(O) плотно в HQ(O) при весьма общих предположениях на O и Q. При этом существенно используются лакунарные аналоги теоремы К. Рунге об аппроксимации многочленами.
   Отметим, что похожие вопросы конструирования многократно универсальных функций без контроля лакун их степенных рядов исследовались В. Лухом (см. [3, 4]). Отметим также, что подробную информацию о развитии теории универсальных функций и полную библиографию вплоть до 1999 г. можно найти в обзоре К. Гроссе-Эрдмана [5]. Более поздние примыкающие исследования представлены, например, в [6-12].
   2. Для заданной подпоследовательности Q М N0 обозначим через PQ множество всех лакунарных многочленов, содержащих только степени {zn,  n О Q}.
   Теорема 1. Пусть Q(0 О Q) - подпоследовательность из N0 с плотностью D(Q) = 1 и  O C - открытое множество с односвязными компонентами, 0 О O. Тогда PQ плотно в HQ(0).
   Теорема 2. Пусть Q(0 О Q) - подпоследовательность из N0 с верхней плотностью = 1, O C - открытое множество с односвязными компонентами, причем 0 О O и содержащая 0 компонента является звездою относительно точки 0. Тогда PQ плотно в HQ(O).
   Доказательство теорем 1, 2. Пусть {K}1Ґ исчерпывающая O последовательность компактных подмножеств, т.е. Kn М Kn+1 и = O. В предположениях теорем 1, 2 подмножества Kn можно выбрать так, чтобы 0 О K и Kn имело связное дополнение C \ Kn (n О N). Более того, в случае теоремы 2 можно считать, что для каждого Kn содержащая 0 ее компонента является звездою относительно точки 0.
   Достаточно доказать, что любая функция из HQ(Kn) приближается равномерно на Kn многочленами из PQ. Однако это утверждение в случае теоремы 1 следует из леммы работы [7], а в случае теоремы 2 - из леммы работы [8]. Теоремы 1, 2 доказаны.
   Теоремы 1, 2 являются лакунарными аналогами аппроксимационной теоремы К. Рунге. Частный случай теоремы 1, когда O-односвязная область, совпадает с одним результатом Кореваара и Диксона (см. [13]).
   3. Теорема 3. Пусть Q - подпоследовательность из N0 с плотностью D(Q) = 1 и O C - открытое множество с односвязными компонентами, 0 О O. Тогда множество UQ(O) плотно в HQ(O).
   Доказательство. 1. Согласно теореме 3 из [2] имеем UQ(O) Ж. Пусть j - произвольная функция из UQ(O).
   a) Отметим сперва, что множество UQ(O) содержит также функцию gj, где g 0 - произвольная постоянная.
   b) Убедимся теперь, что UQ(O) содержит также функцию jp := j + p, где p - произвольный многочлен из PQ. В самом деле, пусть заданы произвольные j О Z, граничная точка V О O, компактное множество K О M и функция f О A(K). Выберем Ljj для j на O так, чтобы Ljjp(z) = Ljj(z) + Ljp(z) при z О O (при j О N0 выполнение этого условия очевидно).
   Предположим сперва, что V Ґ. Так как j О UQ(O), то существуют последовательности {an}1Ґ  и  {bn}1Ґ   с   an ® 0,  bn ® z,  при  n ® Ґ  такие,  что anz + bn О O для всех z О K и n О N, а последовательность {Ljj(anz + bn)}1Ґ сходится к f(z) - Ljp(V) равномерно на K. Отсюда вытекает, что последовательность {Ljjp(anz + bn)}1Ґ сходится к f(z) равномерно на K, т.е. jp О UQ(O).
   Предположим теперь, что V = Ґ. Тогда можем выбрать последовательность {Vm} с Vm О OЗC и Vm ® Ґ при m ® Ґ. Для каждого m О N существуют последовательности {an(m)}nОN и {bn(m)}nОN с an(m) ® 0, an(m) ® Vm при n ® Ґ такие, что an(m)z + bn(m) О O для всех z О K и n О N, а последовательность {Ljj(an(m)z + bn(m))}1Ґ сходится к f(z)Ljp(Vm) равномерно на K. Для каждого m О N найдется nm > m (nm О N) такое, что для am :=, bm :=одновременно будут выполняться следующие условия:
|am| < 1
m
,       |bm - Vm| < 1
m
,

max
K 
|LjP(amz + bm) - Lj(Vm)| < 1
m
,

max
K 
|Ljj(amz + bm) - f(z) + Ljj(Vm)| < 1
m
.

Очевидно, что am ® 0, bm ® V = Ґ при m ® Ґ и последовательность {Ljjp(amz + bm)}1Ґ сходится к f(z) равномерно на K. Поэтому jp О UQ(O).
   2. Чтобы доказать теорему 3, нужно показать, что для каждой функции F О HQ(O) и любого e > 0 существует T-универсальная функция j О UQ(O), для которой r(j,F) < e. Если взять произвольную функцию j0 О UQ(O), то очевидно, что = 0. Поэтому можно выбрать постоянную g > 0 так, чтобы d(gj0) < [(e)/2]. Согласно теореме 1 существует последовательность {Pk} многочленов из PQ, которая сходится к F локально-равномерно на O. Значит, найдется многочлен p О PQ с r(p,F) < e/2. По шагу 1 функция j(z) := gj0(z) + p(z) содержится в UQ(O) и удовлетворяет оценке
r(j,F) = r(gj0 + r,F) Ј d(gj0) + r(r,F) < e.

Теорема 3 доказана.
   Теорема 4. Пусть Q - подпоследовательность из N0 с верхней плотностью = 1, O C - открытое множество с односвязными компонентами, причем 0 О O и содержащая 0 компонента является звездою относительно точки 0. Тогда множество UQ(O) плотно в HQ(O).
   Для случая круга DR = {z : |z| < R}, где 0 < R < Ґ, имеем следующий результат.
   Теорема 5. Пусть Q - подпоследовательность из N0 с минимальной плотностью Dmin(Q) > 0. Тогда множество UQ(DR) плотно в HQ(DR).
   Теоремы 4, 5 доказываются точно так же, как теорема 3. Различие в докозательстве теоремы 4 состоит в том, что вместо теоремы 1 нужно использовать теорему 2, а вместо теоремы 3 из [2] - соответствующий аналогичный результат. Что касается теоремы 5, то для ее доказательства вместо теоремы 3 из [2] надо применить теорему 2 из [7] (плотность PQ в HQ(DR) очевидна, поскольку в DR частичные суммы любого степенного ряда с центром в нуле сходятся к сумме этого ряда локально равномерно в DR).

     Ереванский государственный университет

Литература

     1. Мартиросян В.А., Мартиросян А. З.  - Изв. НАН Армении. 2004. Математика. Т. 39. N3.
     2. Мартиросян В.А., Мартиросян А. З.  - ДНАН Армении. 2005. Т. 105. N1. С. 17-20.
     3. Luh W.  - Complex Variables. 1996. V. 31. P. 87-96.
     4. Luh W.  - J. Approxim. Theory. 1997. V. 89. P. 135-155.
     5. Grosse-Erdmann K.G.  - Bull. Amer. Math. Soc. 1999. V. 36. P. 345-381.
     6. Luh W., Martirosian V. A., Muller J.  - Indagationes Mathem. (N.S.) 1998. V. 9. P. 529-536.
     7. Luh W., Martirosian V.A., Muller J.  - Acta Sci. Math. (Szeged). 1998. V. 64. P. 67-79.
     8. Luh W., Martirosian V.A., Muller J.  - Journal of Approxim. Theory. 2002. V. 114. P. 201-213.
     9. Gharibyan T., Luh W., Muller J.  - Analysis. 2003. V. 23. P. 199-214.
     10. Gharibyan T., Luh W.  - Annales Univ. Sci. Budapest. Sect.Comp. 2003. V. 22. P. 113-126.
     11. Гарибян Т., Лу В.  - Изв. НАН Армении. Математика. 2003. Т. 38. N4. С. 51-64.
     12. Шилингс Б.  - Изв. НАН Армении. Математика. 2003. Т. 38. N4. С. 85-94.
     13. Dixon M., Korevaar J.  - Proc. Kon. Neder. Akad. Wetensch. 1977. V. A80. N3. P. 176-194.