где интеграл берется по любой спрямляемой дуге из G, соединяющей, соответственно, 0 или z₀ c z.
   Пусть O М C - открытое множество, H(O) - совокупность всех голоморфных на O функций. Рассмотрим последовательность {K_n}_nОN компактных подмножеств, исчерпывающих O, т.е. K_n М K_n+1 и И_nОNK_n = O. Для функции h О H(O) и любого n О N положим

Если h₁,h₂ О H(O), то определим расстояние между ними как r(h₁,h₂) = d(h₁ - h₂). Множество H(O), снабженное такой метрикой, есть пространство Фреше; для последовательности {h_k}_kОN М H(O) имеем

lim n®Ґ  r(hk,h) = 0

тогда и только тогда, когда {h_k}_kОN сходится к h локально-равномерно в O. Итак, r - естественная метрика, индуцирующая локально-равномерную сходимость в H(O).
   Для заданных открытого множества O М C, 0 О O, и подпоследовательности Q М N₀ обозначим через H_Q(O) подпространство из всех функций j О H(O), представимых в некоторой окрестности нуля лакунарным степенным рядом.

j(z) = Ґ е n=0  jzzn,   jn = 0 при   n П Q.

   Определение 1. Пусть O М C - произвольное открытое множество. Функция j О H(O) называется T-универсальной на O ("универсальной относительно трансляций"), если она имеет следующее свойство: для всех K О M, для всех f О A(K) и для всех V О ¶O существуют последовательности {a_n}_nОN и {b_n}_nОN такие, что a_nz+b_n О O для всех z О K и всех n О N, последовательность {a_nz + b_n}_nОN сходится к  z и последовательность {j(a_nz + b_n)}_nОN сходится к f(z) равномерно на K.
   Определение 2. Пусть O М C, 0 О O - произвольное открытое множество, Q М N₀ - произвольная подпоследовательность. Функция j О H(O) называется многократно T-универсальной относительно последовательности операций {L^j}_jОZ, если при любом фиксированном j О Z функция L^jj(z) О H_Q(O) и T-универсальна.
   Множество всех универсальных по определению 2 функций обозначим через U_Q(O). Это множество исследовалось в [1, 2], а именно: при тех или иных предположениях относительно O и Q было доказано, что U_Q(O) № Ж. В данной работе множество U_Q(O) изучается количественно: оказывается, что U_Q(O) плотно в H_Q(O) при весьма общих предположениях на O и Q. При этом существенно используются лакунарные аналоги теоремы К. Рунге об аппроксимации многочленами.
   Отметим, что похожие вопросы конструирования многократно универсальных функций без контроля лакун их степенных рядов исследовались В. Лухом (см. [3, 4]). Отметим также, что подробную информацию о развитии теории универсальных функций и полную библиографию вплоть до 1999 г. можно найти в обзоре К. Гроссе-Эрдмана [5]. Более поздние примыкающие исследования представлены, например, в [6-12].
   2. Для заданной подпоследовательности Q М N₀ обозначим через P_Q множество всех лакунарных многочленов, содержащих только степени {zⁿ,  n О Q}.
   Теорема 1. Пусть Q(0 О Q) - подпоследовательность из N₀ с плотностью D(Q) = 1 и  O № C - открытое множество с односвязными компонентами, 0 О O. Тогда P_Q плотно в H_Q(0).
   Теорема 2. Пусть Q(0 О Q) - подпоследовательность из N₀ с верхней плотностью = 1, O № C - открытое множество с односвязными компонентами, причем 0 О O и содержащая 0 компонента является звездою относительно точки 0. Тогда P_Q плотно в H_Q(O).
   Доказательство теорем 1, 2. Пусть {K}₁^Ґ исчерпывающая O последовательность компактных подмножеств, т.е. K_n М K_n+1 и = O. В предположениях теорем 1, 2 подмножества K_n можно выбрать так, чтобы 0 О K и K_n имело связное дополнение C \ K_n (n О N). Более того, в случае теоремы 2 можно считать, что для каждого K_n содержащая 0 ее компонента является звездою относительно точки 0.
   Достаточно доказать, что любая функция из H_Q(K_n) приближается равномерно на K_n многочленами из P_Q. Однако это утверждение в случае теоремы 1 следует из леммы работы [7], а в случае теоремы 2 - из леммы работы [8]. Теоремы 1, 2 доказаны.
   Теоремы 1, 2 являются лакунарными аналогами аппроксимационной теоремы К. Рунге. Частный случай теоремы 1, когда O-односвязная область, совпадает с одним результатом Кореваара и Диксона (см. [13]).
   3. Теорема 3. Пусть Q - подпоследовательность из N₀ с плотностью D(Q) = 1 и O № C - открытое множество с односвязными компонентами, 0 О O. Тогда множество U_Q(O) плотно в H_Q(O).
   Доказательство. 1. Согласно теореме 3 из [2] имеем U_Q(O) № Ж. Пусть j - произвольная функция из U_Q(O).
   a) Отметим сперва, что множество U_Q(O) содержит также функцию gj, где g № 0 - произвольная постоянная.
   b) Убедимся теперь, что U_Q(O) содержит также функцию j_p := j + p, где p - произвольный многочлен из P_Q. В самом деле, пусть заданы произвольные j О Z, граничная точка V О ¶O, компактное множество K О M и функция f О A(K). Выберем L^jj для j на O так, чтобы L^jj_p(z) = L^jj(z) + L^jp(z) при z О O (при j О N₀ выполнение этого условия очевидно).
   Предположим сперва, что V № Ґ. Так как j О U_Q(O), то существуют последовательности {a_n}₁^Ґ  и  {b_n}₁^Ґ   с   a_n ® 0,  b_n ® z,  при  n ® Ґ  такие,  что a_nz + b_n О O для всех z О K и n О N, а последовательность {L^jj(a_nz + b_n)}₁^Ґ сходится к f(z) - L^jp(V) равномерно на K. Отсюда вытекает, что последовательность {L^jj_p(a_nz + b_n)}₁^Ґ сходится к f(z) равномерно на K, т.е. j_p О U_Q(O).
   Предположим теперь, что V = Ґ. Тогда можем выбрать последовательность {V_m} с V_m О ¶OЗC и V_m ® Ґ при m ® Ґ. Для каждого m О N существуют последовательности {a_n^(m)}_nОN и {b_n^(m)}_nОN с a_n^(m) ® 0, a_n^(m) ® V_m при n ® Ґ такие, что a_n^(m)z + b_n^(m) О O для всех z О K и n О N, а последовательность {L^jj(a_n^(m)z + b_n^(m))}₁^Ґ сходится к f(z) -  L^jp(V_m) равномерно на K. Для каждого m О N найдется n_m > m (n_m О N) такое, что для a_m :=, b_m :=одновременно будут выполняться следующие условия:

|am| < 1 m ,       |bm - Vm| < 1 m , max K  |LjP(amz + bm) - Lj(Vm)| < 1 m , max K  |Ljj(amz + bm) - f(z) + Ljj(Vm)| < 1 m .

Очевидно, что a_m ® 0, b_m ® V = Ґ при m ® Ґ и последовательность {L^jj_p(a_mz + b_m)}₁^Ґ сходится к f(z) равномерно на K. Поэтому j_p О U_Q(O).
   2. Чтобы доказать теорему 3, нужно показать, что для каждой функции F О H_Q(O) и любого e > 0 существует T-универсальная функция j О U_Q(O), для которой r(j,F) < e. Если взять произвольную функцию j₀ О U_Q(O), то очевидно, что = 0. Поэтому можно выбрать постоянную g > 0 так, чтобы d(gj₀) < [(e)/2]. Согласно теореме 1 существует последовательность {P_k} многочленов из P_Q, которая сходится к F локально-равномерно на O. Значит, найдется многочлен p О P_Q с r(p,F) < e/2. По шагу 1 функция j(z) := gj₀(z) + p(z) содержится в U_Q(O) и удовлетворяет оценке

r(j,F) = r(gj0 + r,F) Ј d(gj0) + r(r,F) < e.

Теорема 3 доказана.
   Теорема 4. Пусть Q - подпоследовательность из N₀ с верхней плотностью = 1, O № C - открытое множество с односвязными компонентами, причем 0 О O и содержащая 0 компонента является звездою относительно точки 0. Тогда множество U_Q(O) плотно в H_Q(O).
   Для случая круга D_R = {z : |z| < R}, где 0 < R < Ґ, имеем следующий результат.
   Теорема 5. Пусть Q - подпоследовательность из N₀ с минимальной плотностью D_min(Q) > 0. Тогда множество U_Q(D_R) плотно в H_Q(D_R).
   Теоремы 4, 5 доказываются точно так же, как теорема 3. Различие в докозательстве теоремы 4 состоит в том, что вместо теоремы 1 нужно использовать теорему 2, а вместо теоремы 3 из [2] - соответствующий аналогичный результат. Что касается теоремы 5, то для ее доказательства вместо теоремы 3 из [2] надо применить теорему 2 из [7] (плотность P_Q в H_Q(D_R) очевидна, поскольку в D_R частичные суммы любого степенного ряда с центром в нуле сходятся к сумме этого ряда локально равномерно в D_R).

     Ереванский государственный университет