МАТЕМАТИКА

УДК 517.232

Армен А. Вагаршакян

О представлении функций пространства ReH1

(Представлено академиком А.А. Талаляном 8/XII 2004)

   Пусть ReH1 - пространство, состоящее из граничных значений действительных частей функций пространства Харди H1, определённого в верхней полуплоскости. ReH1 является банаховым пространством с нормой

+Ґ
у
х
 
|f(x)|dx + +Ґ
у
х
 
|Hf(x)|dx,
где через Hf(x) обозначено преобразование Гильберта функции f(x), т.е.
Hf(x) = v.p. +Ґ
у
х
 
f(t)
x - t
dt.

   Известно, что ReH1 - собственное подпространство L1(R). Данная статья посвящена задаче представления функций ReH1. Для формулировки основных результатов приведём следующие определения.
   Назовём функцию j, принадлежащую пространству LҐ(R), атомом, если существует интервал I такой, что
          1. supp  j М I;
          2. = 0;

          3. ||j||Ґ Ј [1/(|I|)],
где через |I| обозначена длина интервала I.
   Функция j, удовлетворяющая следующему дополнительному условию
          4. |j(x)| = [1/(|I|)] п.в., x О I,
будет называться специальным атомом.
   Следующая теорема доказана Ч. Фефферманом (см. [1]).
   Теорема (Ч. Фефферман). Пространство ReH1 совпадает с множеством функций, допускающих представление
f(x) = +Ґ
е
k=1 
ckjk(x)
(1)
с дополнительным условием на коэффициенты
+Ґ
е
k=1 
|ck| < +Ґ,
(2)
где jk(x) - атомы, а ряд (1) сходится в пространстве ReH1.
   При этом

где inf берётся по всем разложениям вида (1), (2) функции f(x), а c и C (0 < c < C < Ґ) - абсолютные постоянные.
   Отметим, что первоначальное доказательство этой теоремы достаточно сложно. Заметим, что, опираясь на неё, Ч. Фефферман установил следующее равенство: (ReH1)* = BMO. Однако существует независимое доказательство равенства (ReH1)* = BMO (см. [2], с. 241). Используя этот факт, нам удаётся не только упростить доказательство теоремы о представлении, но и наложить дополнительные ограничения на атомы. Основной результат данной статьи сформулирован в следующей теореме.
   Теорема 1. Пространство ReH1 совпадает с множеством функций, допускающих представление
f(x) = +Ґ
е
k=1 
ckjk(x)
с дополнительным условием на коэффициенты
+Ґ
е
k=1 
|ck| < +Ґ,

где jk(x) - специальные атомы.
   Естественно возникает вопрос: насколько можно сузить множество атомов, участвующих в представлении пространства ReH1? Было бы желательно, чтобы атомы, участвующие в представлении, рождались сдвигами и сжатиями одной "материнской" функции, подобно всплескам. Однако, как показывает следующая теорема, это невозможно.
   Теорема 2. Пусть
lk > l0 > 0,    xk О R,    k = 1,2,ј

некоторые числовые последовательности. Тогда для любой функции j О ReH1 существует f О ReH1, которую невозможно представить в виде ряда

f(x) = +Ґ
е
k=1 
ck · lkj(lk(x - xk)),
где коэффициенты абсолютно сходятся, т. е.
+Ґ
е
k=1 
|ck| < +Ґ.

    Ереванский государственный университет

Литература

     1. Fefferman Ch. - Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V.77. P 104-112.
     2. Garnett J.  Bounded Analytic Functions. Academic Press. 1981.