УДК 517.232

   Пусть ReH₁ - пространство, состоящее из граничных значений действительных частей функций пространства Харди H₁, определённого в верхней полуплоскости. ReH₁ является банаховым пространством с нормой

+Ґ у х -Ґ  |f(x)|dx + +Ґ у х -Ґ  |Hf(x)|dx,

где через Hf(x) обозначено преобразование Гильберта функции f(x), т.е.

Hf(x) = v.p. +Ґ у х -Ґ  f(t) x - t dt.

   Известно, что ReH₁ - собственное подпространство L₁(R). Данная статья посвящена задаче представления функций ReH₁. Для формулировки основных результатов приведём следующие определения.
   Назовём функцию j, принадлежащую пространству L_Ґ(R), атомом, если существует интервал I такой, что
          1. supp  j М I;
          2. = 0;

          3. ||j||_Ґ Ј [1/(|I|)],
где через |I| обозначена длина интервала I.
   Функция j, удовлетворяющая следующему дополнительному условию
          4. |j(x)| = [1/(|I|)] п.в., x О I,
будет называться специальным атомом.
   Следующая теорема доказана Ч. Фефферманом (см. [1]).
   Теорема (Ч. Фефферман). Пространство ReH₁ совпадает с множеством функций, допускающих представление

f(x) = +Ґ е k=1  ckjk(x)

(1)

с дополнительным условием на коэффициенты

+Ґ е k=1  |ck| < +Ґ,

(2)

где j_k(x) - атомы, а ряд (1) сходится в пространстве ReH₁.
   При этом

где inf берётся по всем разложениям вида (1), (2) функции f(x), а c и C (0 < c < C < Ґ) - абсолютные постоянные.
   Отметим, что первоначальное доказательство этой теоремы достаточно сложно. Заметим, что, опираясь на неё, Ч. Фефферман установил следующее равенство: (ReH₁)^* = BMO. Однако существует независимое доказательство равенства (ReH₁)^* = BMO (см. [2], с. 241). Используя этот факт, нам удаётся не только упростить доказательство теоремы о представлении, но и наложить дополнительные ограничения на атомы. Основной результат данной статьи сформулирован в следующей теореме.
   Теорема 1. Пространство ReH₁ совпадает с множеством функций, допускающих представление

f(x) = +Ґ е k=1  ckjk(x)

с дополнительным условием на коэффициенты

+Ґ е k=1  |ck| < +Ґ,

где j_k(x) - специальные атомы.
   Естественно возникает вопрос: насколько можно сузить множество атомов, участвующих в представлении пространства ReH₁? Было бы желательно, чтобы атомы, участвующие в представлении, рождались сдвигами и сжатиями одной "материнской" функции, подобно всплескам. Однако, как показывает следующая теорема, это невозможно.
   Теорема 2. Пусть

lk > l0 > 0,    xk О R,    k = 1,2,ј

некоторые числовые последовательности. Тогда для любой функции j О ReH₁ существует f О ReH₁, которую невозможно представить в виде ряда