є Hp ж з и dx (1 + |x|)g ц ч ш = (z + i)g/p

(1.3)

(0 < p < +Ґ, -Ґ < g Ј 2), где є H^p пространство Харди, введенное в верхней полуплоскости G⁺ = {z : Im z > 0} ограничением

    совпадает со множеством тех функций f(z), голоморфных в G⁺, для которых |f(z)|^p имеет гармоническую мажоранту в G⁺ (т.е. f(z) лежит в конформном образе пространства Харди H^p из |z| < 1) и f(x) О L^p([dx/((1+|x|)^g )]) є на вещественной оси. (1 Ј p < +Ґ, -Ґ < g Ј 2) является Банаховым пространством с нормой  При этом совпадает с конформным образом H^p из |z| < 1, а при g = 0 - с , определяемым условием (1.4). Кроме того, из результатов [1] следует, что (0 < p < +Ґ, -Ґ < g Ј 2) совпадает со множеством тех голоморфных в G⁺ функций, которые удовлетворяют (1.1) при любом r > 0 и таковы, что

lim inf y®+0  у х +Ґ -Ґ  |f(x + iy)|p dx (1 + |x|)g < +Ґ.

(1.5)

   В [1] ясно, что полуплоскость = {z : Im z > r} может быть исчерпана круговыми сегментами, а следовательно при (1.2) условие (1.1) эквивалентно тому, что

lim inf R®+Ґ  1 R у х p-b b  |f(ReiJ)|p ж з и sin p(J - b) p - 2b ц ч ш 1-p/k   dJ < +Ґ

(1.1ў)

при любом r > 0, а также каждому из следующих двух условий:

lim inf R®+Ґ  1 R у х p 0  log|f(ReiJ + ir)|sinJdJ = 0,    lim inf R®+Ґ  1 R у х p 0  |f(ReiJ + ir)|psinJdJ < +Ґ.

Кроме того, если f(z) О (-Ґ < g Ј 2, 0 < p < +Ґ), то при любом 0 < M < +Ґ

sup 0 < y < M  у х +Ґ -Ґ  |f(x + iy)|p dx (1 + |x|)g < +Ґ.

(1.6)

Проверяя выполнение (1.6), легко показать, что при любом p > 1

М    при м п п н п п о 1 - 1 - g p < gў < 1, если    g < 1, 1 + g - 1 p < gў Ј 2, если    1 Ј g Ј 2.

(1.7)

Отметим, что если f(z) О (p > 0, w О W_a, a і -1, -Ґ < g < 1), то f(z + ir) принадлежит при любом r > 0. Кроме того, верно следующее
   Предложение 1.1. При любых p > 0 и g О (-Ґ,2] сумма И_wОWa  совпадает со множеством всех функций, принадлежащих в любой полуплоскости (r > 0). (1 Ј p < +Ґ, -Ґ < g < 1, w О W_a, a і -1) является Банаховым пространством с нормой (1.2).
   2. Представление по полосе. Полагая, что w(t) О W_a (a і -1), будем пользоваться следующим континуальным аналогом ядра типа Коши М.М.Джрбашяна:

Cw(z) = у х +Ґ 0  eitz dt Iw(t) ,    Iw(t) = у х +Ґ 0  e-txdw(x).

(2.1)

Функция C_w(z) голоморфна в G⁺, поскольку условия (i), (ii) обеспечивают равномерную сходимость интеграла (2.1) внутри G⁺. Отметим, что ядро (2.1) впервые было использовано А.О.Карапетяном [6], где оно было построено в многомерном случае трубчатых областей (см. также [7-9]). В случае простой шкалы w(t) = t^1+a имеем I_w(t) = G(2 + a)t^-(1+a) и C_w(z) = (-iz)^-(2+a)    (-2 < a < +Ґ).
   Для установления канонических представлений пространств найден новый подход к применению преобразований Фурье - Лапласа, отличающийся от известного подхода [10]. Существенны также включения (1.7) и следующее утверждение о представимости интегралом Коши в : если f(z) О (p і 1, g < 1), то

f(z) = 1 2pi у х +Ґ -Ґ  f(t) t - z dt   и    1 2pi у х +Ґ -Ґ  f(t) t - dt = 0    z О G+.

   Теорема 2.1. Пусть f(z) О (G⁺) при некоторых 1 Ј p < +Ґ, -Ґ < g < 1 и w(x) удовлетворяющем (i) и таком, что w(t) = w(D) < +Ґ (D < t < +Ґ) при некотором D > 0. Тогда

f(z) = 1 2p у х у х G+  f(w)Cw(z - dmw(w),    z О G+,

(2.2)

f(z) = 1 p у х у х G+  {Re f(w)}Cw(z - dmw(w),    z О G+,

(2.3)

где оба интеграла абсолютно и равномерно сходятся внутри G⁺.
   3. Представления по всей полуплоскости. Устремление D ® +Ґ в (2.2) и (2.3), приводящее к цели, основано на следующей лемме.
   Лемма 3.1. Пусть w(x) О W_a при некотором a і -1. Тогда для любого не целочисленного значения b О ([a] - 1,a) и любого r > 0 существует положительная постоянная M є M_r,b такая, что

|Cw(z)| Ј M|z|-(2+b),    z О .

   Теорема 3.1. Пусть f(z) О при некоторых 1 Ј p < +Ґ и -Ґ < g < 1 - (1 + a)(p - 1). Тогда опять же справедливы представления (2.2) и (2.2), где оба интеграла абсолютно и равномерно сходятся внутри G⁺.
   Замечание 3.1. В случае, когда 1 Ј p Ј 2 и мера dw абсолютно непрерывна, представление (2.2) было установлено в [6-9] для общих, весовых классов со смешанной нормой в радиальных трубчатых областях из Cⁿ.
   Справедливо следующее утверждение о проекции из в .
   Теорема 3.2. Пусть f(z) О (1 Ј p < +Ґ, -Ґ < g < 1) и пусть w(x) таково, как в теоремах 2.1 или 3.1. Тогда интегралы в формулах (2.2) и (2.3) представляют голоморфные в G⁺ функции, для которых верно (1.1).
   Замечание 3.2. Ввиду последней теоремы представления (2.2) и (2.3) могут быть использованы вместе с оценкой ядра [11] для установления теорем о проекции из в и описания сопряженного пространства - так, как это сделано в [12,13] - в круге.
   4. Ортогональная прекция и изометрия. Верна следующая
   Теорема 4.1. Оператор ортогональной проекции пространства на свое подпространство (w О W_a, a і -1, w(0) = 0) записывается в виде

Pw f(z) = 1 2p у х у х G+  f(w)Cw(z - dmw(w),    f О.

   Следующее утверждение является аналогом теоремы Пэли - Винера.
   Теорема 4.2. Пространство (w О W_a, a і -1, w(0) = 0) совпадает со множеством всех функций, представимых в виде

f(z) = 1 у х +Ґ 0  eitz F(t) dt,    z О G+,    F(t) О L2(0,+Ґ).

(4.1)

    Если такое представление верно, то и

F(t) = 1 у х +Ґ 0  e-tv(t)dw(2v), где       (t) = l.i.m. R®+Ґ  1 у х R -R  e-ituf(u + iv)du.

(4.2)

   Замечание 4.1. В частном случае абсолютно непрерывной меры dw теорема 4.2 следует из более общих утверждений [6], [14] в весовых пространствах со смешанной нормой в трубчатых областях из Cⁿ.
   Замечание 4.2. В дополнение к теореме 4.2 верно следующее утверждение: пусть S₁ - множество тех w(x), которые непрерывны и при некотором D О (0,+Ґ) строго возрастают в [0,D], w(0) = 0 и w(x) = w(D) при x > D. Далее, пусть S₂ - (более широкое) множество тех w(x), w(0) = 0, которые принадлежат W_a при каком-либо a і -1. Тогда и обе эти суммы совпадают со множеством всех функций вида

f(z) = у х +Ґ 0  eitzY(t)dt,    z О G+,   где    e-etY(t) О L2(0,+Ґ)   при любом   e > 0.

   Следующая теорема в частности дает больше информации о функции F, участвующей в представлении (4.1). Предварительно введем в рассмотрение оператор

Lw f(z) є у х +Ґ 0  f(z + is)dw(s)

и отметим, что: если w(x) О W_a (-1 Ј a < +Ґ) и w(0) = 0, то квадрат Вольтерра функции w(x), т.е. функция

(x) = у х x 0  w(x - t)dw(t),    0 < x < +Ґ,    (0) = 0,

(4.3)

принадлежит W_1+2a. Кроме того, (0 < x < +Ґ).
   Теорема 4.3. Пусть функция w(t) (w(0) = 0) принадлежит W_a (-1 Ј a < +Ґ) и пусть - ее квадрат Вольтерра (4.3). Тогда совпадает со множеством функций, представимых в виде

f(z) = 1 2p у х +Ґ -Ґ  j(t)Cw(z - t)dt,    z О G+,    j О L2(-Ґ,+Ґ).

(4.4.)

Если f О, то единственной функцией из пространства Харди H² є , которой можно заменить j(t) в (4.4), является L_wf. Кроме того, и j - L_wf ^ H² для любой функции j О L²(-Ґ,+Ґ), с которой верно (4.4). Оператор L_w является изометрией ® H², а интеграл (4.4) определяет (L_w)^-1 в H².
   Замечание 4.3. При условиях теоремы 4.3 в представлении (4.1) пространства функция F является преобразованием Фурье функции L_w f по вещественной оси.
   5. Весовые классы гармонических функций. Справедлива следующая
   Теорема 5.1. Пусть функция U(z) гармонична в полуплоскости G⁺ и такова, что для достаточно малых r > 0 и некотором g О (-Ґ,2]

lim inf R®+Ґ  1 R у х p-b b  |U(ReiJ)| ж з и sin p(J - b) p - 2b ц ч ш 1-p/k   dJ = 0,

(5.1)

у х у х G+  |U(z)| dmw(z) (1 + |z|)g < +Ґ,

(5.2)

где b = arcsin[(r)/R] = [(p)/2] - k и dm_w(x + iy) = dxdw(2y). Далее, пусть выполнено одно из следующих условий:

1^°. w(t) удовлетворяет условию (i) (см. раздел 1) и w(t) = w(D) (D < t < +Ґ) при некотором D > 0, или же
2^°. w(t) О W_a при некоторых a і -1 и g < 1.

Тогда

U(z) = 1 p у х у х G+  U(w)Re {Cw(z -} dmw(w),    z О G+,

(5.3)

где интеграл абсолютно и равномерно сходится внутри G⁺.
   Замечание 5.1. Для классов гармонических в G⁺ функций, определенных условиями (5.1) и (5.2) с заменой |U| на |U|^p (1 Ј p < +Ґ), представление (5.3) доказано также в случае, когда интеграл берется по полосе (т.е. w(t) = w(D), D < t < +Ґ)
   6. Классы типа Неванлинны - Джрбашяна в полуплоскости. Всюду ниже будем полагать, что U(z) является d-субгармоничнеской в G⁺ функцией и n - ее ассоциированная мера, т.е. U(z) = U₁(z) - U₂(z), где U_1,2(z) субгармонические в G⁺ функции с риссовскими ассоциированными мерами n_1,2, и n = n₁ + n₂. Кроме того, будем полагать, что мера n минимально разложена в Жордановом смысле, т.е. n = n₊ - n_-, где (supp n₊) З (supp n_-) = Ж и n_± - положительная и отрицательная вариации меры n. Будем говорить, что две d-субгармонические в какой-либо области G функции равны, т.е. U(z) = V(z), где V(z) = V₁(z) - V₂(z) (и V_1,2(z) субгармоничны в G), если U₁(z) + V₂(z) = U₂(z) + V₁(z) всюду в G. Для d-субгармонической в G⁺ функции U(z) будем рассматривать характеристику Цудзи следующего вида:

где n₊(t) == {z : Im z > t}. Полагая характеристику L(y, -U) определенной аналогично - посредством U^- и n_-, отметим, что в общем случае L(y, U) либо L(y, -U), либо же обе эти величины могут быть бесконечны. Тем не менее, существуют некоторые условия (см. [15], гл. 5), при которых величины L(y, ±U) (0 < y < +Ґ) конечны и связаны особой формой формулы Б.Я. Левина:

что является естественным аналогом хорошо известного соотношения равновесия для характеристик Неванлинны по концентрическим кругам.
   Определение 6.1. (a > -1) - множество функций w(x), w(0) = 0, которые непрерывны и строго возрастают в [0, +Ґ), непрерывно дифференцируемы в (0, +Ґ) и таковы, что wў(x)  x^a (D < x < +Ґ) при любом D > 0.
   Легко видеть, что если w(x) О, то при любом r і 0 функция w(x + r) принадлежит классу W_a, использованному ранее.
   Нижеследующее определение аналога неванлинновского весового класса в полуплоскости (см. п. 216 в [16], а также [15]) естественно ввиду того, что в общем случае формула (6.1) не верна.
   Определение 6.2. N_w (w(x) О, a > -1) - множество d-субгармонических в G⁺ функций, для которых

у х +Ґ 0  [L(y,U) + L(y, -U)]dw(2y) < +Ґ.

(6.2)

Формулировку теоремы о каноническом представлении d-субгармонических функций из классов предварим следующим утверждением.
   Теорема 6.1. Пусть w(x) О (-1 Ј a < +Ґ). Тогда функция

bw(z,z) = exp м н о - у х 2Im z 0  Cw(z - z + it)w(t)dt ь э ю ,    Im z > Im z,

голоморфно продолжается на все G⁺, где имеет единственный, простой нуль в точке z = z. Если последовательность {z_k} М G⁺ удовлетворяет условию

(1+Im z)dn±(z) < +Ґ.

Кроме того, потенциалы типа Гринає тт_G⁺log|b_w(z,z)|dn_±(z) по положительной и отрицательной вариациям асоциированной меры функции U(z) сходятся, и в G⁺ имеет место представление

U(z) = у х у х G+  log|bw(z,z)|dn(z) + 1 p у х у х G+  U(w)Re м н о Cw(z - ь э ю dmw(w).

(6.4)

В заключение приведем еще одну теорему, которая несколько отличается от теоремы 6.1, а также некоторые замечания. Аналогично разделу 2, можно рассматривать весовые классы d-субгармонических функций с гармоническими составляющими, записываемыми в виде интегралов по полосе. А именно, верна следующая
   Теорема 6.3. Пусть U(z) О , где D > 0 - какое-либо фиксированное число и w(x), w(+0) = 0 - строго возрастающая на (0,D) функция, такая что w(x) = w(x + D) (0 < x < +Ґ). Тогда все утверждения теоремы 6.2 остаются в силе.
   Замечание 6.1. Пусть субгармоническая в G⁺ функция U(z) такова, что

у х у х G+  |U(z)|dmw(z) < +Ґ,   где

Тогда U(z) принадлежит классу N_w (при выполнении 1^°), или же (при выполнении 2^°). Тем самым, функция U(z) представима в виде (6.4).
   Замечание 6.2. В частном случае, когда U(z) принадлежит или же (w(x) таково, как в теоремах 6.2 или 6.3) и U(z) = log|f(z)| и f(z) мероморфная в G⁺ функция, представление (6.4) переходит в факторизацию вида

f(z) = Bw(z,{an}) Bw(z,{bm}) exp м н о 1 p у х у х G+  log|f(w)|Cw(z - dmw(w) + iC ь э ю ,    z О G+,

где C - вещественное число, а {a_n}, {b_m} М G⁺ - нули и полюсы f(z), которые удовлетворяют (6.3).
   В заключение отметим, что данная статья дополняет результаты недавно вышедшей работы [17].

     Институт математики НАН РА