где E - модуль Юнга, e_n+ = -e_n- пределы пропорциональности при растяжении и сжатии. Для тел из хрупких материалов или материалов с небольшой площадкой пластичности при непрерывном нагружении можно предполагать, что функция f(e) обеспечивает взаимно-однозначную связь между напряжениями и деформациями на отрезке [e_B-; e_B+].
   Приближенным представлением

s = Ee - Be2 - Ce3

(1.3)

и из условий

max s = sB+ = EeB+ --,

min s = sB- = EeB- - -

получается

eB+ = B 3C ж и Ц   1+d   - 1 ц ш ,    eB- =- B 3C ж и Ц   1+d   + 1 ц ш ,    d = 3CE B2 ,

(1.4)

sB+ = EB 9C й к л 2 Ц   1+d   ж з и 1+ 1 d ц ч ш - 2 d - 3 щ ъ ы , sB- = -  EB 9C й к л 2 Ц   1+d   ж з и 1+ 1 d ц ч ш + 2 d + 3 щ ъ ы .

(1.5)

   Если для материала заданы E, s_B+, s_B-, то из (1.5) можно определить коэффициенты B и C

B = 4E2 3(sB- + sB+) g3 (g2 - 1)2 ,   C = 16E3 27(sB- + sB+)2 g6 (g2 - 1)3 ,

(1.6)

где g => 1 корень кубического уравнения

g3 - 1,5ag2 + 0,5a = 0    ж з и a = sB- + sB+ sB- - sB+ ц ч ш .

   Отметим, что в разложении функции f(e) в степенной ряд четные члены разложения обеспечивают разносопротивляемость материала к растяжению и сжатию (B № 0 в (1.3)) и достижение максимума и минимума в различных (e_B+, s_B+) и (e_B-, s_B-) точках.
   Ниже на простейшем примере чистого изгиба балки рассматриваются различные случаи закона упругости (1.3). В случае чистого изгиба балки на основе гипотезы плоских сечений

e = uў - zwўў.

(1.7)

   Здесь u(x), w(x) - продольное и нормальное перемещения точек оси балки для напряжения s согласно (1.3)-(1.7) получается

s = Euў - B(uў)2 - C(uў)3 - z[E - 2Buў - 3C(uў)2]wўў -        - z2(B + 3Cuў)(wўў)2 + z3(wўў)3,

(1.8)

откуда для продольного усилия T и изгибающего момента M получаются формулы

T = Esuў - Bs(uў)2 - Cs(uў)3 - BI(wўў)2 - 3CIuў(wўў)2, M = -EIwўў + (2B + 3Cuў)Iuўwўў + CJ(wўў)3,

(1.9)

где штрихом обозначено производное по x, s - площадь, I = bh³/12 - момент инерции поперечного сечения (b×h) балки, J = bh⁵/80.
   Уравнения равновесия и граничные условия при чистом изгибе балки суть

Tў = 0,    M = M0.

(1.10)

u = 0,  w = 0,  M = M0  при  x = 0, T = 0,  w = 0,  M = M0  при  x = l.

(1.11)

   Из (1.9)-(1.11) для определения перемещений u,w получается система уравнений

Cf13 - 20 3 (E - 2Bf2 - 3Cf22)f1 = 80M0 bh2 , Cf23 + Bf22 - Ef2 + C 4 f12f2 + B 12 f12 = 0,

(1.12)

где введены обозначения

f1 = hwўў,    f2 = uў,

(1.13)

откуда в силу (1.11)

w = x(x - l) 2h f1,    u = xf2.

(1.14)

   Ниже рассматриваются некоторые частные случаи закона упругости (1.3).
   2. Пусть B = C = 0 (линейная задача). В этом случае s = Ee из системы (1.12) получается

f1 = hwўў = - M0h EI ,    f2 = 0,

(2.1)

u = 0,    e = -zwўў,    s = -zEwўў,

(2.2)

откуда

s = -z M0 I ,    max (z)  s = - min (z)  s = M0h 2I = sn,    Mon = 2Isn h ,

где s_n - предел пропорциональности материала, причем s_n+ = -s_n- = s_n, M_on - допускаемое для линейной задачи значение изгибающего момента M₀.
   3. Пусть B = 0, C № 0, тогда

s = Ee - Ce3,

(3.1)

   В этом случае материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию и функция (3.1) принимает экстремальные значения при

eB = ±   и   max s = - min s == sB,

(3.2)

откуда

C = 4 27 E3 sB2 .

(3.3)

   Отметим, что формулы (3.2) получаются из (1.4), (1.5) при B = 0.
   Система уравнений (1.12) представляется в виде

Cf13 - 20 3 Ef1 = 80M0 bh2 ,    f2 = 0,

или с учетом (1.13) и (3.3)

f2 = uў = 0,    f13 - 45 sB2 E2 f1 - 540 sB2 E3bh2 M0 = 0.

(3.4)

   Здесь, согласно (2.3), принимая M₀ = aM_on = 2aIs_n/h, уравнение для определения f₁ = hwўў представляется в виде

f13 - 45 sB2 E2 f1 - 90a sB2sn E3 = 0,

(3.5)

где коэффициент a показывает увеличение несущей способности балки вследствие учета нелинейности и допущения работы балки для напряжений s О [s_n;s_B].
   Пусть балка находится в предельном состоянии, тогда согласно (3.2), (3.3)

eB = - h 2 wўў = - 1 2 f1 =   ,    f1 = -3 sB E .

(3.6)

   Подстановкой предельного значения f₁ из (3.6) в уравнение (3.5) для коэффициента a получается

a = 1,2 sB sn     (sB > sn),

(3.7)

и увеличение несущей способности балки очевидно.    4. Пусть B № 0, C = 0 тогда

s = Ee - Be2.

(4.1)

   В этом случае материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, а влиянием нелинейности более высокого (кубического) порядка пренебрегается. Функция (4.1) имеет единственный экстремум (максимум) в точке

eB+ = E 2B    и    max s = E2 4B = sB+,

(4.2)

откуда

B = E2 4sB+ ,    eB+ = 2 sB+ E    s = E ж з и 1 - E 4sB+ e ц ч ш e.

(4.3)

   Из третьего соотношения (4.3) при s = -s_B- для e_B- получается

eB- = -2 sB- E ж з и   - 1 ц ч ш .

(4.4)

   В рассматриваемом случае из системы уравнений (1.12) для f₁ = hwўў, f₂ = uў получается

f1 - 2 B E f2f1 = - h EI M0, f22 - E B f2 + 1 12 f12 = 0.

(4.5)

   Подстановкой в (4.5) значения B из (4.3) и M₀ = 2aIs_n/h получается система

f1 - E 42sB+ f2f1 + 2a1 sB+ E = 0    ж з и a1= sn sB+ a ц ч ш , f22 - 4sB+1 E f2 + 1 12 f12 = 0,

(4.6)

решение которой суть

f1 = -,   f2 =

(4.7)

   При (4.7) из условия e_B+ = f₂ - [1/2]f₁ = 2[(s_B+)/E] получается предельное значение a в зоне растяжений

a+ = 1,5 sB+ sn     (sB+ > sn),

(4.8)

которое показывает увеличение несущей способности по сравнению с линейной задачей в зоне растяжения.
   Однако необходимо удовлетворение условию прочности и в зоне сжатия балки. Тогда

eB- = f2 + 1 2 f1 = -2 sB+ E ж з и   - 1 ц ч ш ,

(4.9)

откуда для a получается

a- = 3sB+ 4sn ж з и sB- sB+ - 1 ц ч ш +   ж  ъ Ц 3 4 й к л 1 - 1 4 ж з и sB- sB+ - 1 ц ч ш 2   щ ъ ы   .

(4.10)

   Как показывают расчеты,

0,866 sB+ sn Ј a- Ј sB+ sn при 1 Ј sB- sB+ Ј 1,185, sB+ sn Ј a- Ј 1,5 sB+ sn при 1,185 Ј sB- sB+ Ј 2, 1,5 sB+ sn Ј a- Ј Ц3 sB+ sn при 2 Ј sB- sB+ Ј 3.

(4.11)

   Таким образом, при s_B-/s_B+ О [1;2] активным является ограничение на деформации сжатия, а при s_B-/s_B+ = 2 ограничения на деформации растяжения и сжатия дают одинаковые значения для несущей способности

a+ = a- = 1,5 sB+ sn .

   При s_B-/s_B+ > 2 активным является ограничение на деформации растяжения и a = 1,5s_B+/s_n.
   Представляет  интерес  нахождение  нейтральной  оси  балки  (s = 0 Ю  e = 0).
   Для деформации e = f₂ - [z/h]f₁ по формулам (4.7) получается

(4.12)

и из условия e = 0

(4.13)

   Ниже, по формуле (4.13) для некоторых значений s_B-/s_B+ и соответствующих a приводятся значения z/h:

sB-/sB+ = 1 (a = 0,866sB+/sn), z/h = -0,038, sB-/sB+ = 1,18 (a = sB+/sn), z/h = -0,045, sB-/sB+ = 2 (a = 1,5sB+/sn), z/h = -0,077, sB-/sB+ = 3 (a =sB+/sn), z/h = -0,12.

(4.14)

   5. Рассмотрим теперь более общий случай закона упругости (1.3)

s = Ee - Be2 - Ce3.

   Согласно (1.7), (1.13)

f2 = e - z h f1,

откуда при z = ±0,5h

f2+ = eB+ + 1 2 f1,    f2- = eB- - 1 2 f1,

(5.1)

где e_B+, e_B- - предельные значения деформаций растяжения и сжатия определяются формулами (1.4). Подстановкой (5.1) в первое уравнение системы (1.12) для определения параметров нагрузки для растяжения и сжатия a₊, a_- получаются формулы

a+ = 9C 20sn ж з и f1+ + 10B 9C g ц ч ш ,    a- = 9C 20sn ж з и f1- + 10B 9C g ц ч ш ,

(5.2)

где f₁₊, f₁ соответственно определяются из уравнений

+g-= 0, +g-= 0.

(5.3)

   Здесь min(a₊, a_-) определяет параметр несущей способности балки.
   Из уравнений (5.1)-(5.3), при (1.4), (1.6), для определения a₊, a_- получаются уравнения

- (5,4 - K±)+ (9,72 - 3K±)a1± - ж з и 5,832 - 9K± 4 ц ч ш = 0,

(5.4)

где

a1+ = sn sB+ a+,    a1- = sn sB- a-,       K+ = 8B3g3 45sB+C2 ,    K- = 8B3g3 45sB-C2 .

   Для балки из боропластика с характеристиками s_-/s_B+ = 2, E/s_B+ = 150, E = 20,6 · 10¹⁰ Па получается

min (a+,a-) = a+ = 1,35 sB+ sB- .

   В заключение отметим, что в рассмотренной нелинейной постановке решение даже для простейшей задачи изгиба балки связано с определенными трудностями. Подход к решению задач изгиба упругих балок из материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, можно найти в [1], где рассматриваются два варианта аппроксимации графика зависимости деформация - напряжение - билинейный закон упругости и с двумя степенными законами.
   В работах [2,3] разработаны варианты теории упругости разномодульных тел, предполагающие различные линейные зависимости для напряжний растяжения и сжатия от соответствующих деформаций. Такой подход дает реальную возможность для решения многих, более сложных, задач теории упругости, в том числе для пластинок и оболочек.

     Институт механики НАН РА

Литература

     1. Тимошенко С. Р.  Курс сопротивления материалов. М.- Л. Гостехиздат. 1931. 571 с.
     2. Амбарцумян С. А.  Разномодульная теория упругости. М. Наука. 1982. 317 с.
     3. Амбарцумян С. А.  Сопротивление материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию. Ереван. Изд. РАУ. 2004. 187 с.

---