УДК 531.8

   1. Система уравнений устойчивости трехмерной теории упругости перед последним упрощением имеет вид ([1], с. 155, система v.13):

¶ ¶x й к л sўxx + eўxxsxx0 + ж з и 1 2 eўxy - wўz ц ч ш sxy0 + ж з и 1 2 eўxz + wўy ц ч ш sxz0 щ ъ ы + + ¶ ¶y й к л sўxy + eўxxsxy0 + ж з и 1 2 eўxy - wўz ц ч ш syy0 + ж з и 1 2 eўxz + wўy ц ч ш syz0 щ ъ ы + + ¶ ¶z й к л sўxz + eўxxsxz0 + ж з и 1 2 eўxy - wўz ц ч ш syz0 + ж з и 1 2 eўxz + wўy ц ч ш szz0 щ ъ ы = 0, Cycl.

(1.1)

   Здесь s_ij⁰ - напряжения исходного состояния равновесия, s_ijў, e_ijў и w_ijў - дополнительные напряжения, деформации и углы поворотов, возникающие вследствие потери устойчивости.
   Для e_ijў и w_ijў имеем [1]:

eўxx = ¶uў ¶x , eўyy = ¶vў ¶y , eўzz = ¶w ¶z , eўxy = ¶uў ¶y + ¶vў ¶x , eўyz = ¶vў ¶z + ¶w ¶y , eўxz = ¶uў ¶z + ¶w ¶x , wўx = 1 2 ж з и ¶w ¶y - ¶vў ¶z ц ч ш ,  wўy = 1 2 ж з и ¶uў ¶z - ¶w ¶x ц ч ш ,  wўz = 1 2 ж з и ¶vў ¶x - ¶uў ¶y ц ч ш ,

(1.2)

где uў, vў, w - дополнительные перемещения по осям x,y,z соответственно.
   Пренебрегая членами, умноженными на eў_ij, по сравнению с членами, умноженными на w_jў, система (1.1) приводится к окончательному виду ([1], с. 157, система (v. 16)):

¶ ¶x (sўxx - wўzsxy0 + wўysxz0) + ¶ ¶y (sўxy - wўzsyy0 + wўysyz0) + + ¶ ¶z (sўxz - wўzsyz0 + wўyszz0) = 0,  Cycl.

(1.3)

   В  результате  этого  упрощения  члены  типа   [1/2]eў_ij ± wў_k,  точные  значения  которых  равны   [(¶uў_i)/(¶x_j)],  заменяются  их  приближенными  значениями [1/2]([(¶uў_i)/(¶x_j)]-[(¶uў_j)/(¶x_i)]). Например, члены

1 2 eўzx - wўy = 1 2 ж з и ¶uў ¶z + ¶w ¶x ц ч ш - 1 2 ж з и ¶uў ¶z - ¶w ¶x ц ч ш = ¶w ¶x , 1 2 eўzy + wўx = 1 2 ж з и ¶w ¶y + ¶vў ¶z ц ч ш + 1 2 ж з и ¶w ¶y - ¶vў ¶z ц ч ш = ¶w ¶y

(1.4)

заменяются значениями

-wўy = 1 2 ж з и ¶w ¶x - ¶uў ¶z ц ч ш   и    wўx = 1 2 ж з и ¶w ¶y - ¶vў ¶z ц ч ш

соответственно. В силу этого при составлении уравнений устойчивости пластин на основе системы (1.3) в выражении фиктивной поперечной нагрузки Z₂ появляются лишние члены, имеющие характер поперечных сдвигов [2]. Поэтому в теории пластин более предпочтительной следует считать систему (1.1), применение которой не связано с особо серьезными трудностями и не приводит к появлению отмеченных членов.
   2. Рассмотрим прямоугольную пластину постоянной толщины h₀ и размеров в плане a₀,b₀. Материал пластины в каждой точке имеет лишь одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости. Пластину отнесем к правой системе декартовых координат Oxyz, совместив плоскость Oxy со срединной плоскостью пластины. Пусть в пластине создано однородное напряженное состояние

sxx0,  syy0,  sxy0,       sxz0 = syz0 = szz0 = 0.

(2.1)

   Рассмотрим задачу устойчивости пластины с учетом влияний поперечных сдвигов, нормального напряжения sў_zz и изменения первоначальных размеров h₀, a₀, b₀. При составлении уравнений устойчивости будем исходить из сравнительно более точной системы (1.1).
   Пользуясь законом Гука анизотропного тела и геометрически линейными соотношениями [3], для толщины и размеров в плане в момент наступления потери устойчивости с учетом (2.1) будем иметь:

h = h0(1 + ezz0) = h0(1 + a13sxx0 + a23syy0 + a36sxy0), a = a0(1 + exx0) = a0(1 + a11sxx0 + a12syy0 + a16sxy0), b = b0(1 + eyy0) = b0(1 + a12sxx0 + a22syy0 + a26sxy0).

(2.2)

Здесь a_ij - упругие постоянные материала.
   Влияния поперечных сдвигов будем учитывать на основе уточненной теории пластин [3]. В рамках этой теории

sўxz = 1 2 ж з и h2 4 - z2 ц ч ш j(x,y),       sўyz = 1 2 ж з и h2 4 - z2 ц ч ш y(x,y),

(2.3)

где j и y - функции, характеризующие распределение поперечных сдвигов, возникающих вследствие потери устойчивости пластины.
   С учетом (2.3), закона Гука и геометрических соотношений имеем:

eўxx = -z ¶2w ¶x2 + z 2 ж з и h2 4 - z2 3 ц ч ш ж з и a55 ¶j ¶x + a45 ¶y ¶x ц ч ш ,    1 2 eўxz - wўy = ¶w ¶x , eўyy = -z ¶2w ¶y2 + z 2 ж з и h2 4 - z2 3 ц ч ш ж з и a44 ¶y ¶y + a45 ¶j ¶y ц ч ш ,    1 2 eўyz + wўx = ¶w ¶y , 1 2 eўxy - wўz = ¶uў ¶y = -z ¶2w ¶x¶y + z 2 ж з и h2 4 - z2 3 ц ч ш ж з и a55 ¶j ¶y + a45 ¶y ¶y ц ч ш , 1 2 eўxy + wўz = ¶vў ¶x = -z ¶2w ¶x¶y + z 2 ж з и h2 4 - z2 3 ц ч ш ж з и a44 ¶y ¶y + a45 ¶j ¶y ц ч ш .

(2.4)

   Умножив первые два уравнения системы (1.1) на zdz, а третье уравнение - на dz и проинтегрировав полученные уравнения по толщине пластины, с учетом (1.1), (2.3), (2.4) и нулевых поверхностных условий находим:

¶Mx ¶x + ¶Mxy ¶y = Nx + h3 12 м н о sxx0 й к л ¶3w ¶x3 - h2 10 ж з и a55 ¶2j ¶x2 + a45 ¶2y ¶x2 ц ч ш щ ъ ы + syy0 й к л ¶3w ¶x¶y2 - - h2 10 ж з и a55 ¶2j ¶y2 + a45 ¶2y ¶y2 ц ч ш щ ъ ы + 2sxy0 й к л ¶3w ¶x2¶y - h2 10 ж з и a55 ¶2j ¶x¶y + a45 ¶2y ¶x¶y ц ч ш щ ъ ы ь э ю , ¶My ¶y + ¶Mxy ¶x = Ny + h3 12 м н о syy0 й к л ¶3w ¶y3 - h2 10 ж з и a44 ¶2y ¶y2 + a45 ¶2j ¶y2 ц ч ш щ ъ ы + sxx0 й к л ¶3w ¶x2¶y - - h2 10 ж з и a44 ¶2y ¶x2 + a45 ¶2j ¶x2 ц ч ш щ ъ ы + 2sxy0 й к л ¶3w ¶x¶y2 - h2 10 ж з и a44 ¶2y ¶x¶y + a45 ¶2j ¶x¶y ц ч ш щ ъ ы ь э ю ,

¶Nx ¶x + ¶Ny ¶y = -h ж з и sxx0 ¶2 w ¶x2 + syy0 ¶2 w ¶y2 + 2sxy0 ¶2 w ¶x¶y ц ч ш .

(2.5)

   Через M_x, M_y, M_xy и N_x, N_y обозначены моменты и поперечные силы пластины соответственно.
   Сравним эти уравнения с уравнениями изгиба пластины [3]

¶Mx ¶x + ¶Mxy ¶y = Nx - hX1,    ¶My ¶y + ¶Mxy ¶x = Ny - hY1,    ¶Nx ¶x + ¶Ny ¶y = -Z2,

(2.6)

где

X1 = (X+ - X-)/2,    Y1 = (Y+ - Y-)/2,    Z2 = Z+ + Z-,

(2.7)

X^±, Y^±, Z^± - интенсивности поверхностной нагрузки по осям x,y,z на поверхностях z = ±h/2 соответственно. Это сравнение приводит к равенствам: