МАТЕМАТИКА

УДК 511

С. Л. Амбарян

О порядке роста функции p(x) в пределах таблиц простых чисел

(Представлено академиком Ю.Г. Шукуряном 1/VII 2004)

   Функция распределения простых чисел p(x) - число простых чисел в интервале от 1 до x, т. е.
p(x) =
е
p Ј x 
 1,
где p - простое число.
   Согласно теореме Чебышева существуют постоянные a > 0 и b > a такие, что при всяком x і 2 имеет место неравенство
a · x
ln x
 Ј p(x) Ј b · x
ln x
 .

Для постоянных a и b Чебышев получил значения a = 0.92129ј, b = 1.2 [1].
   В 1851 г. Чебышев доказал, что если отношение p(x) к li x - интегральному логарифму имеет предел, то он равен единице. Доказательство существования этого предела и равенство единице удалось получить Адамару и Валле-Пуссену независимо друг от друга в 1896 г.[1, 2].
   Асимптотический закон распределения простых чисел утверждает следующее:

lim
x®Ґ 
 ж
з
и 		p(x) : x
у
х
2 
 dt
ln t
 ц
ч
ш 		= 1  и
lim
x®Ґ 
 ж
з
и 		p(x) : x
ln x
 ц
ч
ш 		= 1.
   B 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически формулу
p(x) » x
ln x - 1.08366
 ,

дающую приближенные значения функции p(x) при больших значениях x. Доказано, что более близкое к значениям p(x) дает выражение [x/(ln x - 1)], а еще более близкие к значению p(x) при больших значениях x дает функция li x - интегральный логарифм [2,3]

li
 x = 1.04 ј + x
у
х
2 
 dt
ln t
 > x
ln x
 .
   Россер получил интересную численную оценку несколько другого рода [2]
x
ln x + 2
 < p(x) < x
ln x - 4
  при   x і 55.
   В дальнейшем нас будут интересовать оценки по форме Россера
x
ln x - k
 < p(x) < x
ln x - k - 1
 ,    k = -2, -1,0, +1, +2, +3.
Предположим, что имеют место следующие оценки:
x
ln x
 < p(x) < x
ln x - 1
  при   5 Ј x Ј 103 и   x
ln x - 1
 < p(x) < x
ln x - 2
  при   x і 103.
   Пусть a, b, c, d - натуральные числа. Обозначим через
A
B
 = x
ln x - a/b
 ,    X
Y
 = x
ln x - (a + c)/(b + d)
  и   C
D
 = x
ln x - c/d
 .
   Отметим, что в вышеприведенных формулах числа a, b, c и d должны выбираться таким образом, чтобы:
   1) a/b < c/d - соседние дроби Фарея, 0 Ј a/b < 1 и 1 і c/d > 0, при 5 Ј x Ј 103;
   2) d/c < b/a - соседние дроби Фарея, 1 і b/a > 1/2 и 1/2 Ј d/c < 1, при x і 103.
   Определение 1. Дроби [A/B] < [C/D] назовем соседними дробями Фарея - Россера, если Det([A/B],[C/D]) = bc - ad = 1.
   Определение 2. Если дроби [A/B] и [C/D] соседние дроби Фарея - Россера, то дробь [X/Y] назовем медиантой этих дробей.
   Теорема 1. Если дроби [A/B] < [C/D] соседние дроби Фарея - Россера, то имеет место неравенство [A/B] < [X/Y] < [C/D].
   Доказательство. Составим разности
D1 = X
Y
 - A
B
 = [(a + c)/(b + d) - a/b]x
(ln x - a/b) · [ln x - (a + c)/(b + d)]
 =
= x(bc - ad)
[b(b + d)(ln x - a/b)] · [ln x - (a + c)/(b + d)]
 > 0
и
D2 = C
D
 - X
Y
 = [c/d - (a + c)/(b + d)]x
(ln x - c/d) · [ln x - (a + c)/(b + d)]
 =
= x(bc - ad)
[d(b + d)(ln x - c/d)] · [ln x - (a + c)/(b + d)]
 > 0.
   Следствие. Для x і 8 имеем
0 < D1 < x
b2(ln x - 2)2
  и   0 < D2 < x
d2(ln x - 2)2
 .

   Теорема 2. Медианта [X/Y] двух соседних дробей Фарея - Россера [A/B] и [C/D] является соседней дробью Фарея - Россера для [A/B] и [C/D].
   Доказательство. Докажем, что дроби [A/B] < [X/Y] соседние дроби Фарея - Россера. Действительно,
Det ж
з
и 		A
B
 , X
Y
 ц
ч
ш 		= b(a + c) - a(b + d) = bc - ad = Det ж
з
и 		A
B
 , C
D
 ц
ч
ш 		= 1.
Докажем, что дроби [X/Y] < [C/D] соседние дроби Фарея - Россера. Действительно,
Det ж
з
и 		X
Y
 , C
D
 ц
ч
ш 		= (b + d)c - (a + c)d = bc - ad = Det ж
з
и 		A
B
 , C
D
 ц
ч
ш 		= 1.

   Теорема 3. Для любого x і 5 существуют натуральные числа m и n, такие что   | p(x) - [x/(ln x - m/n)]| < 1.
   Доказательство. Пусть [A/B] < p(x) < [C/D], где [A/B] и [C/D] две соседние дроби Фарея - Россера. Если [A/B] < p(x) < [X/Y], то согласно следствию получаем
к
к
к 		p(x) - x
ln x - a/b
 к
к
к 		= D1 < x
b2(ln x - 2)2
 , т.е к
к
к 		p(x) - x
ln x - a/b
 к
к
к 		< 1,
если b > ()/(lnx - 2). Аналогично, если [X/Y] < p(x) < [C/D], то согласно следствию получаем
к
к
к 		p(x) - x
ln x - c/d
 к
к
к 		= D2 < x
d2(ln x - 2)2
 , т.е к
к
к 		p(x) - x
ln x - c/d
 к
к
к 		< 1,
если d > [()/(ln x - 2).
   В таблице (графы 4, 5, 6) приведены значения n, m и k = n/m для некоторых x, 10 Ј x Ј 1014.
   Рассмотрим функцию распределения простых чисел p(x) при натуральном аргументе с параметром b по следующей формуле:
p(n) = n
ln n - b
 ,    n = 2,3,ј
   По методу наименьших квадратов [4] определим среднее значение параметра b в пределах таблиц значений функции распределения простых чисел p(x) [1-3,5-7] на отрезке [m,N] натурального ряда.

N x p(x) n m n/m b a b
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 5·100 3 1 3 0.333333 - - -
2 10 4 1 4 0.250000 -0.08081 0.828231 0.268389
3 5·10 15 1 2 0.500000 0.496932 1.244464 -0.24219
4 102 25 1 2 0.500000 0.638356 1.185799 -0.02577
5 5·102 95 9 10 0.900000 0.877088 1.121260 0.276060
6 103 168 12 13 0.923077 0.937173 1.084562 0.464155
7 5·103 669 20 19 1.052632 1.029900 1.039054 0.751868
8 104 1229 14 13 1.076923 1.051281 1.033221 0.792356
9 5·104 5133 27 25 1.080000 1.075938 1.008763 0.993705
10 105 9592 25 23 1.086957 1.081672 1.007870 1.002393
11 5·105 41538 51 47 1.085106 1.082710 0.998597 1.099105
12 106 78498 113 105 1.076190 1.082193 0.998832 1.096657
13 5·106 348513 124 115 1.078261 1.076791 0.996343 1.127984
14 107 664579 166 155 1.070968 1.074384 0.996408 1.127172
15 5·107 3001134 143 134 1.067164 1.068135 0.996248 1.129334
16 108 5761455 183 172 1.063953 1.065467 0.996120 1.131461
17 5·108 26355867 664 627 1.959011 1.059945 0.996756 1.120358
18 109 50847534 1586 1501 1.056629 1.057655 0.996755 1.120345
19 5·109 234954223 2814 2675 1.051963 - - -
20 1010 455052511 4171 3971 1.050365 - - -
21 5·1010 2119654578 16438 15707 1.046540 - - -
22 1011 4118054813 27653 26459 1.045126 - - -
23 5·1011 19308136142 20244 19427 1.042055 - - -
24 1012 37607912018 35297 33911 1.040872 - - -
25 5·1012 177291661649 55623 53569 1.038343 - - -
26 1013 346065536839 217522 209691 1.037345 - - -
27 5·1013 1638923764567 74984 72433 1.035219 - - -
28 1014 3204941750802 151262 146235 1.034376 - - -

   Вычислим следующую разность dn = p(n)(ln n - b) - n.
   Составим сумму F(b) =вычислим производную функции F(b) по b и приравняем ее к нулю

dF(b)
db
 = -2 N
е
n=m 
 (p(n)(ln n - b) -n) · p(n) = 0.
Параметр b определяется по формуле
b = ж
з
и 		N
е
n=m 
 p2(n)(ln n - n
p(n)
 ) ц
ч
ш 		: ж
и 		N
е
n=m 
 p2(n) ц
ш 		.

   В таблице (графа 7) приведены значения параметра b для различных отрезков [2, x] натурального ряда.
   Теперь рассмотрим функцию распределения простых чисел p(x) при натуральном аргументе с параметрами a и b по следующей формуле:
p(n) = an
ln n - b
 ,    n = 2,3,ј

   По методу наименьших квадратов определим среднее значение параметров a и b в пределах таблиц значений функции распределения простых чисел p(x) [1-3,5-7] на отрезке [m,N] натурального ряда.
   Вычислим следующую разность dn = p(n)(ln n - b) - an.
   Составим сумму F(a,b) =вычислим производные функции F(a,b) по a и b, приравняем их к нулю:
F(a,b)
a
 = -2 N
е
n=m 
 (p(n)(ln n - b) - an) · n = 0,
F(a,b)
b
 = -2 N
е
n=m 
 (p(n)(ln n - b) - an) · p(n) = 0.
   Параметры a и b удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:
м
н
о
a11 · a + a12 · b = b1,
a21 · a + a22 · b = b2,
где
a11 = ж
и 		N
е
m 
 n2 ц
ш 		,    a12 = a21 = ж
и 		N
е
m 
 np(n) ц
ш 		,    a22 = ж
и 		N
е
m 
 p2(n) ц
ш 		,
b1 = ж
и 		N
е
m 
 np(n)ln n ц
ш 		,    b2 = ж
и 		N
е
m 
 p2(n)ln n ц
ш 		.
Решение системы линейных уравнений определяется по формулам [8]
a = (b1a22 - a12b2)/(a11a22 - a212),
b = (a11b2 - b1a21)/(a11a22 - a212).

   В таблице (графы 8, 9) приведены значения параметров a и b для различных отрезков [2,x] натурального ряда.
   Дальнейшие исследования в области вычислительной теории простых чисел связаны с арифметическими действиями с большими целыми числами - арифметикой многократной точности (multi-precise routines) [9-11].

   Ереванский научно-исследовательский
   институт математических машин

Литература

     1. Арнольд И. В.  Теория чисел. М. Учпедгиз. 1939. 288 с.
     2. Трост Э.  Простые числа. М. Гос. изд. физ.-мат. лит. 1959. 136 с.
     3. Бухштаб А. А.  Теория чисел. М. Просвещение. 1966. 384 с.
     4. Кассандрова О. Н., Лебедев В. В.  Обработка результатов наблюдений. М. Наука. 1971. 104 с.
     5. Виноградов И. М.  Основы теории чисел. М.-Л. Гос. изд. тех.-теоретической лит. 1952. 180 с.
     6. Уильямс Х.  - Кибернетический сб. Новая серия. Вып. 23. М. Мир. 1986.
     7. Wolfram Research Matematica45.
     8. Курош А. Г.  Курс высшей алгебры. М. Наука. 1971. 432 с.
     9. Кнут Д.  Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2. Получисленные алгоритмы. М. Мир. 1977. 724 с.
     10. Амбарян С. Л.  - ДНАН Армении. 2001. Т. 101. N 3. С. 203-210.
     11. Амбарян С. Л.  - В сб.: ППП в среде Visual C++ 6.0. ЕрНИИММ. Ереван. 1998.