УДК 517

   Пусть Y =нормированный базис в Банаховом пространстве X. Для любого элемента x О X будем иметь разложение

x = Ґ е n=1  cn(x,Y)yn.

   Обозначим spec(x) = {i О N; c_i(x,Y) № 0}. Для элемента x О X, перестановку натуральных чисел r, r(j) = k_j, j = 1, 2, ј назовем понижающим и будем писать r О D(x), если

|ck1(x,Y)| і |ck2(x,Y)| і ј.

   В случае строгих неравенств, D(x) будет содержать только одну перестановку. Определим m-ый гриди аппроксимант элемента x по системе Y и перестановке r О D(x) по формуле

Gm(x) = Gm(x, Y, r) = m е j=1  ckj(x,Y)ykj.

   Положим L_m(x,Y) = |c_km(x,Y)|. Заметим, что L_m(x,Y) определяется однозначно и не зависит от понижающей перестановки r О D(x).
   Определение. Базис Y называется квазигриди базисом, если для каждого элемента x О X и для каждой перестановки r О D(x) имеет место

lim m®Ґ  ||x - Gm(x, Y, r)||X = 0.

   Гриди базисы разных типов описаны В. Н. Темляковым в работе [1].
   Теорема [2]. Для того, чтобы базис Y являлся квазигриди базисом, необходимо и достаточно, чтобы для каждого элемента x О X и перестановки r О D(x) имело место

||Gm(x, Y, r)||X Ј C||x||X

(1)

для некоторой постоянной C, не зависящей от x и от m.
   Из этой теоремы ясно, что если (1) имеет место для одной перестановки r О D(x), то будет справедливым и для всех перестановок r О D(x).
   Напомним определение ортогональной системы Хаара

c0(0)(x) = c0(x) = 1

ck(m) = м п п н п п о 2k-1 m-1 2k-1 < x < 2m-1 2k k = 1,2,3,ј -2k-1 2m-1 2k < x < m 2k-1 1 Ј m Ј 2k-1 0  для остальных   x.

   Здесь система Хаара нормирована по L¹ норме. Хорошо известно, что система Хаара является безусловным базисом в L^p(0,1) при p > 1 и базисом в L¹(0,1) (см. например [3]). В работе [4] показано, что система Хаара не является квазигриди базисом в L¹(0,1). Там же построена возрастающая последовательность натуральных чисел так, что подсистема Хаара в L¹(0,1) является квазигриди базисом на своей линейной оболочке. Хотя конкретный вид последовательности в [4] не фигурирует, но можно показать, что она растет не медленнее, чем геометрическая прогрессия. В частности для достаточно больших k имеет место [(n_k+1)/(n_k)] > 2.
   В данной работе под выражением ||f||_D будем подразумевать L¹ норму функции f на интервале D. Напомним, что система Хаара обладает свойством монотонности, т. е. для любых чисел a_k О R и m О N и для любой возрастающей последовательности n_k имеет место

|| m е k=1  akcnk||L1(0,1) Ј || m+1 е k=1  akcnk||L1(0,1).

   С применением этого свойства легко доказывается
   Лемма 1. Для любой f О L¹(0,1) и каждого n О N справедливо

||f||supp(cn) і |cn(f)|.

   Для любого n = 0, 1, 2, ј определим

Q(2n) = м н о f : f = q0 + n е i=1  22i-1 е j=1  qijcj2i, где  |q0| Ј 1  и  |qij| Ј 1; i = 1, 2, ј, n; j = 1, 2, ј, 22i-1 ь э ю

и

Q(2n+1) = м н о f : f = n е i=0  22i е j=1  qijcj2i+1, где  |qij| Ј 1; i = 0, 1, ј, n; j = 1, 2, ј, 22i ь э ю

   Обозначим и Определим также

P(2n) = м п н п о f : f = p0 + n е i=1  22i-1 е j=1  pijc2ij, где   p0 = 0  или   |p0| і 1 и   |pij| і 1 или   pij = 0; i = 1, 2, ј, n; j = 1, 2, ј, 22i-1 ь п э п ю

и

P(2n+1) = м н о f : f = n е i=0  22i е j=1  pijc2i+1j,  где  |pij| і 1  или  |pij| = 0; i = 0, 1, ј, n; j = 1, 2, ј, 22i ь э ю .

   Если D является носителем функции из системы Хаара с нижним индексом k, то скажем, что D является интервалом Хаара размерности k.
   Лемма 2. Пусть D интервал Хаара размерности k і 1 Тогда для любой функции f О Q^(k-1) справедливо

||f||D Ј 1.

   Через обозначим множество всех функций p О P⁽ⁿ⁾, которые удовлетворяют условию: на любом интервале Хаара (a,b) размерности n - 2i - 1 і 1 (i = 0, 1, ј) справедливо

"x О ж з и a, a + b 2 ц ч ш Ю  p(x) = p ж з и x + b - a 2 ц ч ш .

   Аналогично через обозначим множество всех функций q О Q⁽ⁿ⁾, которые удовлетворяют условию: на любом интервале Хаара (a,b) размерности n - 2i - 1 і 1 (i = 0, 1, ј) справедливо

"x О ж з и a, a + b 2 ц ч ш Ю  q(x) = q ж з и x + b - a 2 ц ч ш .

   Лемма 3. Пусть для некоторого C > 0 и натурального n і 2 существуют функции f О P⁽ⁿ⁾ (f П P^(n-2)) и q О, если n нечетное (q О если n четное), так, что

||f|| > C||f+g||

и

spec(f) З spec(g) = Ж.

Тогда существуют число 0 Ј i Ј n и функции p, q так, что
        1. n є i( mod 2),
        2. p О,
        3. p П, q Оесли i і 2 и q = 0 если i = 0,1,
        4. ||p|| > C| p+q||,
        5. spec(p) З spec(q) = Ж.
   Теорема 1. Пусть функции p и q таковы, что для некоторой n і 2
        1. p О, p П
        2. q О,
        3. spec(p) З spec(q) = Ж.
Тогда

||p|| Ј 3||p+q||.

   Из этой теоремы и леммы 3 выводится
   Теорема 2. Пусть для некоторого неотрицательного n функция p О P⁽ⁿ⁾ и p П P^(n-2) (если n і 2). Тогда для любой функции q О, если n нечетное (q О, если n четное), для которой spec(p) З spec(q) = Ж, справедливо

||p|| Ј 3||p+q||.

   Теорема 3. Подсистема системы Хаара в L¹(0,1) является квазигриди базисом на своей линейной оболочке.
   Доказательство. Возьмем "f О span и m О N.

   1) Если L_m(f,c) = 0, то f - G_m(f) = 0 и следовательно ||G_m(f)|| = ||f|| Ј 3||f||.
   2) Если L_m(f,c) № 0, то функция p(f) = [(G_m(f))/(L_m(f,c))] О P^(2k) при некотором натуральном k, а функция q(f) = [(f - G_m(f))/(L_m(f,c))] О. Согласно теореме 2

||Gm(f)|| Lm(f,c) = ||p(f)|| Ј 3||p(f) + q(f)|| = ||f|| Lm(f,c) ,

а это означает, что

||Gm(f)|| Ј 3||f||.

   Теорема доказана.
   Точно так же доказывается
   Теорема 4. Подсистема системы Хаара в L¹(0,1) является квазигриди базисом на своей линейной оболочке.

     Ереванский государственный университет

Литература

     1. Temlyakov V. N.  - Found. Comput. Math. 2003. V. 3. P. 33-107.
     2. Wojtashchyk P.  - J. of Approximation Theory. 2000. V. 107. P. 293-314.
     3. Кашин Б. С., Саакян А. А.  - Ортогональные ряды. М. АФЦ. 1999.
     4. Dilworth S. J., Kutzarova D., Wojtashchyk P.  - J. of Approximation Theory. 2002. V. 114(2). P. 214-241.

---