ФИЗИКА

УДК 539.1

Член-корреспондент НАН РА А. Г. Багдоев, А. Н. Мартиросян,
Г. А. Мартиросян

Распространение электромагнитных волн в двухслойной среде от
вибратора при наличии идеально проводящего полубесконечного
экрана

(Представлено 27/I 2004)

   Рассматривается линейная электродинамическая задача о расчете действия импульсного вибратора, находящегося в верхней полуплоскости (x,y), при наличии на отрицательной части оси x идеально проводящего экрана.
   Соотношения электродинамики между компонентами электрического и магнитного полей и компонентой П вектора Герца имеют вид [1]

Hx = 0,   Hy = 0,   Ez = 0,   Hz = 2 P
xt
 ,
Ex = c
e
 2P
xy
 ,   Ey = - 1
c
 2P
t2
 + c
e
 2P
y
 ,
 (1)

где c - скорость света в пустоте, e - диэлектрическая проницаемость. Урaвнения Максвелла для верхней и нижней полуплоскостей имеют вид:

2P1
x2
 + 2P1
y2
 - 1
c12
 2P1
t2
 = -lI0d(x)d(y - y0)d(t),
2P2
x2
 + 2P2
y2
 = 1
c22
 2P2
t2
 ,
 (2)
где c1,2 - скорость света в полуплоскостях.
   Граничные условия на линии контакта полуплоскостей имеют вид: y = 0,
P1 = P2,   1
e1
 P1
y
 = 1
e2
 P2
y
 ,   0 < x < Ґ;
P1
y
 = 0,    P2
y
 = 0,    -Ґ < x < 0;
P1,P2 = 0(r11/2),    r1   _____
Цx2 + y2
 
 ® 0.
 (3)
   В верхней полуплоскости можно записать
P1 = P10 + P1ў,    P10 = м
п
п
н
п
п
о
 
lI0
2p
Ц
t2 - [(r2)/(c12)]
 ,    t > r
a
         0,          t < r
a
 ,
(4)

где [c/(4p)]I0 - сила тока в вибраторе, l - длина диполя, P10 есть решение задачи об импульсе в бесконечной плоскости, r2 = x2 + (y - y0)2.
   Решение находится методом интегральных преобразований и сводитcя к системе Винера - Хопфа, которая решается обычным способом [2]. Вводя преобразования по Лапласу от P по t, можно полагать

 

10 =

 

 ilI0
2p
 sgn w Ґ
у
х
-Ґ 
 eiw{ax-b1(a)(y-y0)}
2b1(a)
 da,
b1(a) =,   b2(a) = -
(5)
(a)eiw(ax+b1y)da,
(a)eiw(ax+b2y)da,

где s = -iw есть параметр преобразования Лапласа, две черточки соответствуют преобразованиям Лапласа по t и Фурье по x. Из граничних условий (3) и (5) следуют соотнoшения

= E+(a),  = F+(a), 
(6)
-iwb1+ iwb1= G-(a),
iwb2= H-(a),  = ilI0(4pb1)-1eib1(a)wyo.

   Здесь индексы ± соответствуют функциям, аналитическим в верхней и нижней полуплоскости a.
   Исключая и из (6), получим систему Винера - Хопфа

2+G-(a) -H-(a) = E+(a),
1
e1
 G-(a) - 1
e2
 H-(a) = F+(a).
 (7)

   Из второго уравнения (7), так как F+(a) аналитично в верхней полуплоскости, выражение [1/(e1)]G-(a)-[1/(e2)]H-(a) - в нижней полуплоскости и F+(a) согласно граничному условию (3) в бесконечности равно нулю, по теореме Лиувилля имеем F+(a) є 0, [1/(e1)]G-(a)-[1/(e2)]H-(a) є 0. Тогда H-(a) = [(e2)/(e1)]G-(a). Подставляя полученное выражение для H-(a) в первое уравнение (7), получим

f(a)G-(a) = E+(a) - 2,
(8)
f(a) = 1
C0
 ж
з
и 		1- b1
b2
 e2
e1
 ц
ч
ш 		,    C0 = 1 + e2
e1
 .
Так как f(a) ® 1 при a ® Ґ, то согласно теореме C [2] можно написать
f(a) = f+(a)f-(a),
 (9)
где f+(a) и f-(a) aналитично соответственно в верхней и нижней полуплоскостях плоскости a
ln f-(a) = - 1
2pr
 Ґ
у
х
-Ґ 
 ln f(z) dz
z - a
 .
 (10)

   Здесь путь интегрирования совпадает с вещественной осью и обходит точки ветвления z = -[1/(c1)], -[1/(c2)] сверху, точки ветвления z = [1/(c1)], [1/(c2)] снизу и точку z = a сверху. В формуле (9) путь интегрирования деформируем так, что он проходит по обоим берегам рaзреза вдоль вещественной оси от [1/(c1)] до +Ґ. После выбора ветвей функций b1, b2 легко вычислить ln f-(a) в виде
ln f-(a) =є j-(a),

 
(11)

f±(a) = exp(j±(a)),   f+(a) = f-(-a).
   Из уравнений (8), (9), (11) получим
C0
iw
 f-(a)
b1-(a)
 G-(a) = b1+(a)
f+(a)
 E+(a) - 2b1+(a)
f+(a)
 ,
 (12)
b1(a) = b1+(a)b1-(a),    b1±(a) =
Обозначим g(a) = -[(ilI0)/(2pb1-(a)f+(a))]eiwb1(a)y0.
   Так как g(a) ~ [const /] при a ® Ґ, то можно функцию g(a) представить в виде [2]
g(a) = g+(a) + g-(a),
 (13)
где g-(a) = -[(ilI0)/(4p2)][(eiwb1(z)y0dz) /f+(z)(z - a)],    g+(a) = g(a) - g-(a).
Из формулы (12), (13) получим
C0
iw
 f-(a)
b1-(a)
 G-(a) - g-(a) = b1+(a)E+(a)
f+(a)
 + g+(a) є I(a).
 (14)

   Фyнкция I(a) определена лишь на вещественной оси. Однако функция I(a) в формуле (14), написанной c индексом (-), определена и аналитична в нижней полуплоскости, а функция с индексом (+) аналитична в верхней полуплоскости a. Таким образом аналитическим продолжением функцию I(a) можно определить на всей плоскости a.
   Из граничных условий (3) видно, что I(a) ® 0 при a ® Ґ. Тогда по теореме Лиувилля функция I(a) є 0, т.е.

C0
iw
 f-(a)
b1-(a)
 G-(a) - g-(a) = 0,
b1+(a)E+(a)
f+(a)
 + g+(a) = 0.
 (15)
   Переходя к обратным преобразованиям Лапласа и Фурье, получим [3]
Pў1
y
 = 1
2pi
 s+iw
у
х
s-iҐ 
 ds Ґ
у
х
-Ґ 
 es(t-ax-b1y)G-(a)da.
 (16)

   Вычисляя интегралы в формуле (16) по s и затем по a, можно получить решения в форме Смирнова - Соболева

 

 (17)

 

   Определим поведения решений при y = 0, x ~ 0, a ® Ґ, g-(a) ~ [1/(a)], (a) ~ i, d = [t/x]
.
 (18)
или

 

   Институт меxаники НАН РА
   Гориcский филиал ГИУА

Литература

   1. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М. Высшая школа. 1970. 710 с.
   2. Нобл В. Применение метода Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений с частными производными. М. ИЛ. 1962. 279 с.
   3. Багдоев А. Г. - Изв. АН АрмССР. Механика. 1974. Т. 27. N 2. С. 13-23.