характерная длина l зависит от формы и размеров микроэлемента; l, m, a, B^* = g + e - упругие константы материала балки. К этим уравнениям следует присоединить граничные условия шарнирного опирания, которые в данном случае запишутся следующим образом [4-6]:

которая удовлетворяет условиям шарнирного опирания по торцам стержня (A,B - неопределенные постоянные, n - целое число).
   Подставляя значения W, O₂ из (1.4) в (1.1), получим систему алгебраических однородных уравнений относительно неизвестных A,B. Для существования нетривиальных решений системы (1.1) необходимо, чтобы определитель ее был равен нулю. Приравнивая нулю определитель полученной однородной алгебраической системы, для определения частот собственных колебаний микрополярных балок получим следующее биквадратное уравнение:

   Здесь легко заметить, что рассматривая задачу по микрополярной теории пластин со свободным вращением, имеем определенные динамические эффекты, по сравнению с классической теорией. Один из таких эффектов - появление двух групп частот вместо одной, появляющейся в соответствующей задаче по классической теории упругости.
   Рассмотрим задачу об определении частот и собственных форм изгибных колебаний шарнирно-опертых балок на основе теории, когда вращения точек стеснены. Уравнение поперечных свободных колебаний и граничные условия микрополярной балки в этом случае будут выражатся следующим образом [5]:

= 3(3l + 2m)(l + 2m) 16(l + m)2 a4 p4h2l2n4 м н о й к л 2a m + a + n2 a2 l2p2 + 2a m + a 4(l + m) 3l + 2m n2 a2 l2p2 щ ъ ы ±

где - частоты, полученные по моментной теории упругости с НППВ; - частоты, полученные по моментной теории упругости с СВ; - частоты, полученные по классической теории упругости. В (1.11) и (1.12) a - длина стержня. В табл. 2-5 приведены численные данные, полученные на основе значений модулей упругости, приведенных в табл. 1, и формул (1.11) и (1.12).

   Исходя из приведенных численных данных можно прийти к следующим выводам.
   Если расчеты вести на основе прикладной теории микрополярных балок с СВ, то частота колебаний окажется выше частоты классической теории. Этот вывод соответствует другим исследованиям в этой области [10]. Для более массивной микрополярной балки частоты, вычисляемые по теории НТУ с СВ, уже приближаются к частотам по классической теории. Если основываться на прикладной теории микрополярных балок по НТУ с НППВ, в отличие от теории с СВ (где имеем одну группу частот), получим две группы частот. В численных выражениях по теории со свободным вращением получаем сразу высшую частоту и одну низкую частоту.
   2. Рассмотрим теперь свободные изгибные колебания шарнирно-опертых микрополярных упругих прямоугольных пластин. Задачу будем изучать как исходя из общей прикладной-двумерной динамической теории тонких пластин, когда в ее основе имеем НТУ с НППВ [4,5], так и исходя из общей прикладной динамической двумерной теории тонких пластин, когда в ее основе лежит трехмерная НТУ с СВ [5].
   Разрешающая система уравнений поперечных (изгибных) колебаний (в условиях отсутствия внешних воздействий как моментных, так и силовых) микрополярных прямоугольных пластин в перемещениях и вращениях имеет вид [4,5]:

м п п п п п п п п п н п п п п п п п п п о 4ma m + a ж з и ¶2W ¶x12 + ¶2W ¶x22 + ¶O2 ¶x1 - ¶O1 ¶x2 ц ч ш = r ¶2W ¶t2 , 4g(g + b) 2g + b ж з и ¶2O1 ¶x12 + ¶2O2 ¶x1¶x2 ц ч ш + (g + e) ж з и ¶2O1 ¶x22 - ¶2 O2 ¶x1¶x2 ц ч ш + + 4ma m + a ж з и ¶W ¶x2 - O1 ц ч ш = J ¶2O1 ¶t2 , 4g(g + b) 2g + b ж з и ¶2O2 ¶x22 + ¶2O1 ¶x1¶x2 ц ч ш + (g + e) ж з и ¶2O2 ¶x12 - ¶2 O1 ¶x1¶x2 ц ч ш - - 4ma m+a ж з и ¶W ¶x1 + O2 ц ч ш = J ¶2O2 ¶t2 .

(2.1)

   К этим уравнениям следует присоединить граничные условия шарнирного опирания, которые в данном случае запишутся следующим образом [5]: