УДК 519.65

   1. Пусть f = f(x) - кусочно-гладкая на отрезке [-1,1] функция, с точками "склеивания" {a_k},  -1 Ј a₁ < ј < a_\l < 1, 1 Ј l < Ґ, и f О C^Q+1,  Q > 1 на каждом из отрезков [a_k,a_k+1] . Обозначим через A_sk = f^(k)(a_s - 0) - f^(k)(a_s + 0),  (k = 0,1,ј,Q, s = 1, ј, l) скачки f и ее производных в точках {a_s}. Удобно считать f 2-периодической (т.е. заданной на окружности) и, таким образом, a_l+1 = a₁ и если a₁ = -1, то a₁ - 0 = 1 - 0, a₁ + 0 = -1 + 0.    Для коэффициентов Фурье функции f,

fn = 1 2 у х 1 -1  f(t)e-ipn tdt,  n = 0, ± 1, ± 2,ј

(1)

нетрудно получить (интегрироваием по частям) следующую формулу (n № 0):

fn = (-1)n+1 2 l е s=1  exp(ipnas) Q е k=0  Ask (ipn)k+1 + 1 2 (ipn)Q+1 l е s=1  у х as+1 as  f(Q+1)(t)e-ipn tdt.

(2)

   Рассмотрим многочлены Бернулли, определяемые рекурентной формулой

B0(x) = x 2 ,  Bk(x) = у х Bk-1(x)dx,  x О [-1,1],  k = 1,2, ј,

где константа интегрирования вычисляется из условия B_k(t)dt = 0,  k = 1,2,ј. На всю действительную ось многочлены {B_k(x)} продолжаются периодически, с периодом 2, и являются кусочно-полиномиальными функциями с коэффициентами Фурье B_k,n = (-1)ⁿ⁺¹/ (2(ipn)^k+1), n = 0, ± 1, ± 2, ј.
   Формула (2) позволяет представить функцию f в виде f(x) = W_Q(x) + w(x) где W_Q(x) - кусочно-полиномиальная функция, состоящая из линейной комбинации сдвигов многочленов Бернулли, а w(x) - некоторая, Q раза непрерывно дифференцируемая на действительной оси и 2-периодическая, функция. Коэффициенты Фурье {w_n} функции w(x) имеют порядок убывания, равный, по меньшей мере, o(n^-Q-1), n ® Ґ. Поэтому аппроксимационная формула f(x) = W_Q(x) +_=-Nw_ne^{ipn x} сходится к f со скоростью порядка o(N^-Q), N ® Ґ.
   Проблема вычисления скачков {A_sk} посредством конечного количества коэффициентов Фурье {f_n}, |n| Ј N,  сводится к решению системы уравнений, возникающей из (2) отбрасыванием интегральных членов. Важно отметить, что такой подход применим и в случае , когда, вместо коэффициентов Фурье, известно дискретное преобразование Фурье значений функции f на равномерной сети (cм. [4]).
   Вышеизложенный метод ускорения сходимости отрезка ряда Фурье предварительным вычитанием из f кусочно-полиномиальной функции восходит к работам А. Крылова (см. [1], 1933 г.). В последнее десятилетие интерес к нему особенно усилился, и он был развит и усовершенствован, в разных направлениях, главным образом, усилиями К. Эркгофа и Д. Готтлиба (см., например, [2,4-6]). Поэтому такой подход будем называть КЭГ-методом (см. также работы [3,7,8]).
   2. Пусть {a_s } ,s = 1, ..., l, 1 Ј l < Ґ - некоторое конечное множество комплексных чисел и ¡ Н {a_s } - его подмножество целых чисел (возможно, пустое).
   Лемма. Справедлива формула

(3)

где {b_s},(s = 1, ..., l) - множество положительных целых чисел, p(z) - многочлен степени, не выше и принято обозначение = (x + 1) (mod 2) - 1, -1 < < 1.

   Доказательство основано нa рассмотрении интеграла от функции под знаком вычетов в (3) по контуру прямоугольника с центром в точке z = 0 и со сторонами Re(z) = ±(N + 1/2), Im(z) = ±(N + 1/2), где N - достаточно большое целое. При N ® Ґ этот интеграл стремится к нулю, откуда, как нетрудно убедиться, следует формула (3) (подробности см. в [8], где приведено доказательство несколько более простой формулы).
   Правая часть (3) есть 2-периодичная функция, являющаяся на сегменте x О (-1,1) квазиполиномом, т.е. линейной комбинацией функций вида {P_k(x) exp(ipa_kx)}, где {P_k(x)}  - многочлены, отвечающие множеству ¡ и кратным степеням {b_s}, b_s і 2. В случае {a_s } = {0}, p(x) = 1, это - многочлен Бернулли B_b0(x) (см. [2,4,8]).
   3. В данной работе выдвигается идея реализации аналогичной КЭГ-методу схемы, с предварительным применением классической аппроксимации Паде к формуле (2).
   Действительно, при каждом зафиксированном s слагаемые первой суммы в (2) являются, - с точностью до множителя (-1)ⁿ⁺¹exp(ipna_s)/(ipn), - отрезком степенного асимптотического ряда относительно переменной z = 1/( ipn) и , следовательно , они могут быть заменены аппроксимантом Паде порядка [m/N], m + N = Q (см. [9]), что и приводит к формуле

(4)

где и- многочлены (от z и n соответствено) степени, не выше m, {a_sk} - нули знаменателя аппроксиманта Паде (предполагается,что они отличны от нуля ), {a_sk} - возникающие после указанного преобразования постоянные и s = 1, ј , l.
   Остальные построения вполне аналогичны КЭГ - методу. Именно, применив выше-приведенную лемму для каждого s  (= 1, ј , l), можно представить функцию f в виде f(x) = U_Q(x) + w(x), где U_Q(x) - соответствующая кусочно-гладкая функция, состоящая из сдвигов квазиполиномов (и полиномов Бернулли, если в (4) N < m), а w(x) Q раза непрерывно дифференцируема на действительной оси и 2-периодична.
   Естественно ожидать, что предлагаемая адаптивная аппроксимация таким гибким инструментом, каким является система квазиполиномов, должна привести к новым алгоритмам повышенной точности.
   Назовем предлагаемый метод квазиполиномиальным (QP-методом).
   4. Численные эксперименты, проведенные применением компьютерной системы MATHEMATICA 4.1 ([13]), полностью подтвердили эффективнисть QP - метода. Для иллюстрации его свойств рассмотрим следующие две функции: