ФИЗИКА

УДК 467

Н. М. Испирян

Распространение электромагнитной волны в произвольной
неограниченной периодической среде

(Представлено академиком Д. М. Седракяном 18/V 2004)

   В последнее время возрос интерес к теории распространения волн в периодических слоистых средах, что в основном обусловлено новыми технологическими успехами в разработке пассивных и активных тонкопленочных волноводов, а также твердотельных, оптических и акустических решеток, получивших большое практическое применение [1-3].
   В данной работе нами рассматривается задача определения спектра собственных мод линейно поляризованной плоской электромагнитной волны, распространяющейся в произвольной одномерной неограниченной периодической среде. Для данной среды изменение диэлектрической проницаемости в пространстве в наиболее общем виде может быть представлено следующим образом:
(z) = Ґ
е
n=-Ґ 
e(z - Ln)q(nL - z)q[z - (n - 1)L],
(1)

где L - период среды, e(z) - произвольная функция, q(z) - ступенчатая функция Хевисайда.
   Для удобства при выводе уравнения, определяющего спектр собственных мод системы (1), предположим, что между двумя произвольными соседними элементами периодической среды существует бесконечно малая область, в которой диэлектрическая проницаемость равна единице:

(z) = 1,   где   nL - 0 < z < nL + 0,    (n = 0,±1, ±2,...).
(2)

   Как мы увидим ниже, данное предположение никоим образом не влияет на окончательный результат. Однородность среды в областях пространства (2) позволяет рассматривать в них волновое поле (,t) в виде суммы распространяющихся в противоположных направлениях гармонических во времени плоских линейно поляризованных мод:

®
U
 
( ®
r
 
,t) = ®
n
 
Re[y(z)exp{ik0xx}exp{-iwt}],
(3)
y(z) = An-1exp{ik0zz} + Bn-1exp{-ik0zz},
(4)
где для проекций волнового вектора на оси z и x введены обозначения
k0z = w
c
cosa,    k0x = w
c
sina.

Единичный векторопределяет направление поляризации волны. Заметим, что в (3) предполагается, что волновой вектор расположен в плоскости (z,x).
   С учетом (3), (4) волновое уравнение для s-волн удобно записать с помощью напряженности электрического поля, в то время как для p-волн - с помощью напряженности магнитного поля

®
E
 
( ®
r
 
,t) = (0,Es(z)exp{ik0xx}exp{-iwt},0],
(5.a)
®
H
 
( ®
r
 
,t) = (0,Hp(z)exp{-ik0xx}exp{-iwt},0].
(5.b)
Для полей Es(z) и Hp(z) волновые уравнения имеют следующий вид [4]:
(z)sin2a)Es = 0,
(6)

 

(7)

Из (3), (4) и (6), (7) непосредственно следует, что функция y(z), в зависимости от поляризации волны , определяет или Es(z), или Hp(z), т.е.

y(z) = м
н
о
Es(z),
Hp(z).
(8)

Согласно известной теореме Блоха, решение волнового уравнения для периодической среды должно удовлетворять следующему условию [4]:

y(z) = exp{ibz}u(z),
(9)

где u(z) периодическая с периодом L функция, а величина b называется квазиволновым числом.
   Как мы покажем ниже, условие (9), а также знание амплитуды прохождения волны для структурного элемента периодической среды позволяют полностью определить спектр собственных мод. Для этого запишем связь между коэффициентами решения (4) в точках nL и (n + 1)L через матрицу переноса одного структурного элемента периодической системы (см., например, [4]):

ж
з
и
An
Bn
ц
ч
ш
= ж
з
и

(1 /)*             (-/)*
  -/            1 /

ц
ч
ш
ж
з
и
An-1
Bn-1
ц
ч
ш
,
(10)

где tns, rns и tnp, rnp являются амплитудами прохождения и отражения для s- и p-волн для n-ого структурного элемента, граничащего с обеих сторон с вакуумом. Так как структурные элементы периодической среды идентичны, то для них амплитуды прохождения электрона совпадают, в то время как амплитуды отражения отличаются фазовым множителем [6]:

= ts,p,  = rs,pexp{i2k0zL(n - 1)},
(11)

где через ts,p и rs,p обозначены амплитуды рассеяния волны для первого (n = 1) структурного элемента среды.
   С учетом (11) матричное соотношение (10) может быть записано в следующем виде:

An =An-1 -exp{-i2k0zL(n - 1)}Bn-1,
(12)
Bn = - rs,p
ts,p
exp{i2k0zL(n - 1)}An-1 + 1
ts,p
Bn-1.
(13)
   Будем искать решение системы уравнений (12), (13) в следующем виде:
An = A0exp{i(b - k0z)nL},    Bn = B0exp{i(b + k0z)nL},
(14)

где b - квазиволновое число (см. (9)). Подставляя (14) в (12), (13) и требуя, чтобы это выполнялось для произвольного n, для величин A0, B0 получим следующую систему линейных однородных уравнений:

(1 /- exp{i(b - k0z)L})A0 - (/)B0 = 0,
(15)
(-rs,p/ts,p)A0 + (1/ts,p - exp{i(b + k0z)L})B0 = 0.
(16)

Из (15), (16) следует, что волновое поле определяется с точностью до одной произвольной постоянной. Требование нетривиальности решения системы уравнений (15), (16) дает

exp{i2bL} - exp{ibL} · 2Reлexp{-ik0z}/ts,pы + 1 = 0.
(17)
При выводе (17) мы учли
|ts,p|2 + |rs,p|2 = 1.
Из (17) непосредственно следует, что
cos(bL) = Reлexp{-ik0zL}/ts,pы.
(18)
Требование действительности квазиволнового числа b приводит к неравенству
|cos(bL)| Ј L.
(19)

Неравенство (19) с учетом (18) дает спектр собственных мод плоской электромагнитной волны для произвольной одномерной неограниченной периодической среды. Как видно из (18), знание амплитуды прохождения волны для структурного элемента среды непосредственно приводит к уравнению, определяющему спектр мод.
   Рассмотрим частный случай периодической среды, когда структурный элемент представляет собой систему из двух однородных слоев, т.е

(z) = м
н
о
e1,
nL < z < nL + d,
1,
nL+d < z < (n + 1)L,
(20)
где n = 0,±1,±2,ј. В этом случае амплитуды прохождения s- и p-волн имеют вид [7]
1
ts
= exp(ik0zd) м
н
о
cos(kzd) + i kz2 - k0z2
2kzk0z
sin(kzd) ь
э
ю
,
(21)
1
tp
= exp(ik0zd) м
н
о
cos(kzd) + i (kz2/e) - (e·k0z)
2kzk0z
sin(kzd) ь
э
ю
,
(22)
где kz = (w/c)cosg и sing = sina. Подставляя (21), (22) в (18), имеем
cos(bsL) = cos[k0z(L - d)]cos(kzd) - k0z2 + kz2
2k0zkz
sin[k0z(L - d)]sin(kzd),
(23)
cos(bpL) = cos[k0z(L - d)]cos(kzd) - ek0z2 + kz2/e
2k0zkz
sin[k0z(L - d)]sin(kzd).
(24)

Уравнения (23), (24) являются известными классическими уравнениями, определяющими квазиволновые числа bs и bp s- и p-волн для неограниченной периодической системы со структурным элементом, состоящим из двух однородных слоев [7].
   Автор выражает благодарность академику Д. М. Седракяну, а также А. Ж. Хачатряну за полезное обсуждение полученных результатов.

   Государственный инженерный университет Армении

Литература

   1. Karlsson A., Stewart R. - J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V. 12. P. 1513.
   2. Elson J. M., Tran P. - J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V. 12. P. 1766.
   3. James S. P., Tatam R. T. - Meas. Sci. Technol. 2003. V. 14. P. 49.
   4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М. Наука. 1973.
   5. Sedrakian D. M., Gevorgyan A. H., Khachatrian A. Zh. - Optics Communication. 2001. V. 192. P. 135.
   6. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М. Наука. 1973.
   7. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М. Мир. 1987.