(z) = 1,   где   nL - 0 < z < nL + 0,    (n = 0,±1, ±2,...).

(2)

   Как мы увидим ниже, данное предположение никоим образом не влияет на окончательный результат. Однородность среды в областях пространства (2) позволяет рассматривать в них волновое поле (,t) в виде суммы распространяющихся в противоположных направлениях гармонических во времени плоских линейно поляризованных мод:

Единичный векторопределяет направление поляризации волны. Заметим, что в (3) предполагается, что волновой вектор расположен в плоскости (z,x).
   С учетом (3), (4) волновое уравнение для s-волн удобно записать с помощью напряженности электрического поля, в то время как для p-волн - с помощью напряженности магнитного поля

(z)sin2a)Es = 0,

(6)

Из (3), (4) и (6), (7) непосредственно следует, что функция y(z), в зависимости от поляризации волны , определяет или E^s(z), или H^p(z), т.е.

Согласно известной теореме Блоха, решение волнового уравнения для периодической среды должно удовлетворять следующему условию [4]:

где u(z) периодическая с периодом L функция, а величина b называется квазиволновым числом.
   Как мы покажем ниже, условие (9), а также знание амплитуды прохождения волны для структурного элемента периодической среды позволяют полностью определить спектр собственных мод. Для этого запишем связь между коэффициентами решения (4) в точках nL и (n + 1)L через матрицу переноса одного структурного элемента периодической системы (см., например, [4]):

где t_n^s, r_n^s и t_n^p, r_n^p являются амплитудами прохождения и отражения для s- и p-волн для n-ого структурного элемента, граничащего с обеих сторон с вакуумом. Так как структурные элементы периодической среды идентичны, то для них амплитуды прохождения электрона совпадают, в то время как амплитуды отражения отличаются фазовым множителем [6]:

= ts,p,  = rs,pexp{i2k0zL(n - 1)},

(11)

где через t_s,p и r_s,p обозначены амплитуды рассеяния волны для первого (n = 1) структурного элемента среды.
   С учетом (11) матричное соотношение (10) может быть записано в следующем виде:

An =An-1 -exp{-i2k0zL(n - 1)}Bn-1,

(12)

Будем искать решение системы уравнений (12), (13) в следующем виде:

An = A0exp{i(b - k0z)nL},    Bn = B0exp{i(b + k0z)nL},

(14)

где b - квазиволновое число (см. (9)). Подставляя (14) в (12), (13) и требуя, чтобы это выполнялось для произвольного n, для величин A₀, B₀ получим следующую систему линейных однородных уравнений:

(1 /- exp{i(b - k0z)L})A0 - (/)B0 = 0,

(15)

(-rs,p/ts,p)A0 + (1/ts,p - exp{i(b + k0z)L})B0 = 0.

(16)

Из (15), (16) следует, что волновое поле определяется с точностью до одной произвольной постоянной. Требование нетривиальности решения системы уравнений (15), (16) дает

exp{i2bL} - exp{ibL} · 2Reлexp{-ik0z}/ts,pы + 1 = 0.

(17)

При выводе (17) мы учли

|ts,p|2 + |rs,p|2 = 1.

Из (17) непосредственно следует, что

cos(bL) = Reлexp{-ik0zL}/ts,pы.

(18)

Требование действительности квазиволнового числа b приводит к неравенству

|cos(bL)| Ј L.

(19)

Неравенство (19) с учетом (18) дает спектр собственных мод плоской электромагнитной волны для произвольной одномерной неограниченной периодической среды. Как видно из (18), знание амплитуды прохождения волны для структурного элемента среды непосредственно приводит к уравнению, определяющему спектр мод.
   Рассмотрим частный случай периодической среды, когда структурный элемент представляет собой систему из двух однородных слоев, т.е

(z) = м н о e1, nL < z < nL + d, 1, nL+d < z < (n + 1)L,

(20)

где n = 0,±1,±2,ј. В этом случае амплитуды прохождения s- и p-волн имеют вид [7]

1 ts = exp(ik0zd) м н о cos(kzd) + i kz2 - k0z2 2kzk0z sin(kzd) ь э ю ,

(21)

1 tp = exp(ik0zd) м н о cos(kzd) + i (kz2/e) - (e·k0z) 2kzk0z sin(kzd) ь э ю ,

(22)

где k_z = (w/c)cosg и sing = sina. Подставляя (21), (22) в (18), имеем

cos(bsL) = cos[k0z(L - d)]cos(kzd) - k0z2 + kz2 2k0zkz sin[k0z(L - d)]sin(kzd),

(23)

cos(bpL) = cos[k0z(L - d)]cos(kzd) - ek0z2 + kz2/e 2k0zkz sin[k0z(L - d)]sin(kzd).

(24)

Уравнения (23), (24) являются известными классическими уравнениями, определяющими квазиволновые числа b^s и b^p s- и p-волн для неограниченной периодической системы со структурным элементом, состоящим из двух однородных слоев [7].
   Автор выражает благодарность академику Д. М. Седракяну, а также А. Ж. Хачатряну за полезное обсуждение полученных результатов.

   Государственный инженерный университет Армении

Литература

   1. Karlsson A., Stewart R. - J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V. 12. P. 1513.
   2. Elson J. M., Tran P. - J. Opt. Soc. Am. A. 1995. V. 12. P. 1766.
   3. James S. P., Tatam R. T. - Meas. Sci. Technol. 2003. V. 14. P. 49.
   4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М. Наука. 1973.
   5. Sedrakian D. M., Gevorgyan A. H., Khachatrian A. Zh. - Optics Communication. 2001. V. 192. P. 135.
   6. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. М. Наука. 1973.
   7. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. М. Мир. 1987.

---