ФИЗИКА

УДК 539.016

А. М. Ишханян

Вероятность перехода Ландау - Зинера при фотоассоциации
бозе-эйнштейновского конденсата в пределе слабого взаимодействия

(Представлено академиком Р.А. Казаряном 23/X 2003)

   1. Система полуклассических нелинейных уравнений, описывающих двухмодовую фотоассоциацию [1] атомарного бозе-эйнштейновского конденсата [2], имеет вид

i= U(t)e-id(t),    i=eid(t)a1a2,
(1)

где a1 и a2 - амплитуды, соответственно, атомарного и молекулярного состояний, U = U(t) - частота Раби, а d = d(t) - функция модуляции расстройки. Это довольно общие уравнения, возникающие во всех полевых теориях, оперирующих кубической нелинейностью (см., например, [3]). Тем не менее, cистема крайне мало изучена. Точные аналитические решения известны только для простейшей задачи Раби: U = U0 = const, dt = d0 = const, и небольшого количества специфических моделей, полученных совсем недавно [4], которые, однако, имеют довольно ограниченное применение.
   Во всех же физически интересных случаях с переменными функциями модуляции расстройки и/или частотами Раби приходится обращаться к приближенным методам. Однако здесь мы наталкиваемся на трудности, связанные с расходимостью получающихся поправочных членов. Можно попытаться преодолеть эту трудность, переходя к уравнению, содержащему лишь вероятность. В случае модели Ландау - Зинера U = U0 = const; d = d0t2 [5,6] интересующее нас уравнение для молекулярного состояния имеет вид [7]

pўўў - pўў
t
 + 4[t2 + l(1 - 3p)]pў + l
2t
 (1 - 8p + 12p2) = 0,
 (2)

где l = U20/d0 - параметр Ландау - Зинера. Однако, как показывает проверка, проблема с расходимостью по-прежнему остается. Это означает, что следует, вообще говоря, обратиться к иным - нетривиальным - методам возмущений, таким, как, например, усреднение Крылова - Боголюбова - Митропольского или метод многих масштабов [8], которые зарекомендовали себя как в высшей степени успешные при решении большого числа задач во многих областях физики и математики. Подобный подход был нами применен в [7], но следует отметить, что этот способ довольно сложный из-за того, что при этом приходится привлекать высшие трансцендентные функции [9], поскольку уравнение (2) третьего порядка.
   Тем не менее, предложенные в работе [7] выражения для конечной вероятности перехода стимулируют поиск альтернативных подходов. По крайней мере, в пределе малых интенсивностей внешнего поля, l << 1, когда нелинейный член представляет собой слабое регулярное возмущение [8], подобный поиск представляется вполне обоснованным. Руководствуясь этими соображениями, в предыдущей работе [10] мы вывели некоторое нелинейное интегральное уравнение Вольтерра [11], эквивалентное уравнению (2), которое позволяет избавиться от упомянутой расходимости и построить окончательное решение в виде сходящегося ряда для случая малых l. Примечательно, что такое преобразование возможно для всех моделей с постоянной амплитудой поля. Здесь следует отметить еще и то важное обстоятельство, что решения системы (1) образуют классы [12]. Благодаря этому число принципиально различных моделей сокращается до небольшого количества базовых моделей. Рассматриваемая в настоящей работе модель Ландау - Зинера является одной из таких основных моделей.
   Следовательно, общее заключение таково, что развитый в работе [10] подход может служить общей стратегией при решении аналогичных нелинейных двухуровневых задач. В настоящей работе мы демонстрируем эффективность данного подхода выводом простой формулы для первого поправочного члена к нулевому приближению и расчетом конечной (на бесконечности) вероятности перехода в молекулярное состояние для малых значений параметра Ландау - Зинера.
   2. Нелинейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода [11], предложенное в работе [10], можно записать в виде
p(t) = l
4
 f(t) - 4l t
у
х
-Ґ 
 K(t,x) ж
з
и 		p(x) - 3
2
 p2(x) ц
ч
ш 		dx,
 (3)
где ядро K(t,x) задается формулой
K(t,x) = (Cd(t) - Cd(x))cos(d(x)) + (Sd(t) - Sd(x))sin(d(x)),
 (4)
а вынуждающая функция f(t) [11] имеет вид
f(t) = Cd2(t) + S2d(t),    Cd(t) = t
у
х
-Ґ 
 cos(d(x))dx,    Sd(t) = t
у
х
-Ґ 
 sin(d(x))dx.
 (5)
Если теперь функции f(t) и K(t,x) ограничены, то последовательные приближения Пикара

p0 = l
4
 f(t),    pn = l
4
 f(t) - 4l t
у
х
-Ґ 
 K(t,x) ж
з
и 		pn-1 - 3
2
 pn-12 ц
ч
ш 		dx
 (6)

равномерно сходятся к предельной функции p(t), которая и является единственным решением уравнения (3).
   Для модели Ландау - Зинера функции Cd(t) и Sd(t) принимают вид
Cd(t) =   ж
 ъ
Ц
p
2d0
 
 ж
з
и 		1
2
 + C ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
2d0
p
 t
 
 ц
ч
ш 		ц
ч
ш 		,    Sd(t) =   ж
 ъ
Ц
p
2d0
 
 ж
з
и 		1
2
 + S ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
2d0
p
 t
 
 ц
ч
ш 		ц
ч
ш 		,
 (7)
где C и S являются функциями Френеля [9], определяемыми как

C(x) = x
у
х
0 
 cos ж
з
и 		p
2
 x2 ц
ч
ш 		dx,    S(x) = x
у
х
0 
 sin ж
з
и 		p
2
 x2 ц
ч
ш 		dx.
 (8)

Интересно, что вынуждающая функция уравнения Вольтерра при этом превращается в знаменитую функцию из теории дифракции света:

f(t) = p
2d0
 м
н
о 		й
к
л 		1
2
 + C ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
2d0
p
 t
 
 ц
ч
ш 		щ
ъ
ы 		2


 
 + й
к
л 		1
2
 + S ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
2d0
p
 t
 
 ц
ч
ш 		щ
ъ
ы 		2


 
 ь
э
ю 		.
 (9)

Как хорошо известно, эта функция задает интенсивность света за полубесконечной непрозрачной стенкой, при этом t играет роль бокового расстояния от края стенки [13].
   Как было отмечено в работе [10], последовательные приближения Пикара (6) с вынуждающей функцией (9) представляют собой чересчур медленно сходящую процедуру. Это легко понять, заметив, что нулевой член разложения (6) p0 = lf(t)/4 ® lp/4 при t ® +Ґ, так что начиная уже с l » 0.65 p0 превышает максимальное значение 1/2, допускаемое нормировкой. Нетрудно показать, что и следующее приближение страдает подобным недостатком: оно становится отрицательным при l > 0.65.
   С целью улучшения сходимости предпочтительнее предварительно применить к интегральному уравнению (3) подстановку p = pL + u, где pL - решение линейного интегрального уравнения pL = pLZ(t)/4. Записываемое часто [6] в функциях параболического цилиндра [9] решение линейной задачи Ландау - Зинера [5] удобнее всего может быть выражено через вырожденную гипергеометрическую функцию Куммера следующим образом:

a2LZ(t) = C1F1 + C2F2,    F1 = 1F1(il/4; 1/2/id0t2),
F2 = t · 1F1(1/2 + il/4; 3/2; id0t2),
(10)
C1 =
Ц
 
le-pl/4coshpl/4
 
 i
2
 G(1/2-il/4)
G(1-il/4)
 ,
C2 =
Ц
 
le-pl/4cosh(pl/4)
 
 ·
Ц
 
id0
 
 ,
(11)
где G- гамма-функция Эйлера. При t = +Ґ мы имеем хорошо известный результат Ландау - Зинера

PLZ = 1-e-pl.
 (12)

   В результате мы приходим к новому уравнению Вольтерра хаммерштейновского типа [11]

u = 6l у
х 		t

-Ґ 
 K(t,x)pL2dx - 4l t
у
х
-Ґ 
 K(t,x)[(1 - 3pL)u - 3
2
 u2]dx
 (13)

с видоизмененной вынуждающей функцией, которая теперь порядка l3. Очевидно, что эта вынуждающая функция обеспечивает намного более быстрое схождение аппроксимаций. Таким путем удается установить, что решение нелинейной задачи Ландау - Зинера в режиме слабого взаимодействия в первом приближении записывается в виде [10]

p(t) = pLZ(t)
4
 + 6l t
у
х
-Ґ 
 K(t,x) ж
з
и 		pLZ(x)
4
 ц
ч
ш 		2

 
 dx.
 (14)

Как показывает численный расчет, это очень хорошее приближение. Вплоть до l < 0.5 при сравнении с численным решением системы (1) имеет место практическая неразличимость графиков.
   Примечательно также, что формула (14) позволяет вычислить конечную (в пределе t ® +Ґ) вероятность перехода в молекулярное состояние аналитически. Действительно, ведущий член в формуле (13) дает (далее будем полагать d0 = 1)

u(+Ґ) » 6l +Ґ
у
х
-Ґ 
 й
к
л 		ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
p
2
 
 - Cd(x) ц
ч
ш 		cosd(x) - ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
p
2
 
 - Sd(x) ц
ч
ш 		sind(x) щ
ъ
ы 		p2Ldx.
 (15)

   Поскольку поправка u(t) - порядка l3, предварительную оценку можно получить посредством замены pL на p0 = lf(t)/4. В этом случае легко получается, что на бесконечности

p(+Ґ) = pL(+Ґ) + l3 ж
з
и 		- p3
16
 + 3
8
   ж
 ъ
Ц
p
2
 
 IG ц
ч
ш 		,
IG = +Ґ
у
х
-Ґ 
 (cos(x2) + sin(x2))(Cd2(x) + Sd2(x) + Sd2(x))2dx.
(16)

Приближенное аналитическое вычисление интеграла приводит к IG » [(p2)/6](2 + 0.9190) = 6.0179, что находится в неплохом согласии с численным результатом IG = 5.8412. Таким образом, имеем оценку
p(+Ґ) = PLZ
4
 + u(+Ґ) » PLZ
4
 + 0.919p3
32
 l3.
 (17)
В качестве начального приближения это выражение хорошо подтверждает формулу
p(+Ґ) » PLZ(l)
4
 ж
з
и 		1 + l
p
 PLZ(l) ц
ч
ш 		.
 (18)
Действительно, данная формула приводит к

p(+Ґ) = PLZ
4
 + p
4
 l3 + O(l4).
 (19)

Так что разница мала уже в этом приближении: 0.919p3/32 - p/4 » 0.1.
   Однако результат можно существенно улучшить. Это можно сделать, заметив, что линейное решение pL, присутствующее в подынтегральном выражении (13), хорошо аппроксимируется формулой вида

pL(t) » PLZ
4
 fL(t),
 (20)

где функция fL(t) не зависит от l. Вид этой функции можно установить из уравнения (2) следующим образом. Подставив в уравнение p = PfinalfL(t), где Pfinal является конечной вероятностью перехода при t ® +Ґ, и далее разделив его на Pfinal, можно получить

fўўўL- fўўL
t
 + [4t2 + 4l(1 - 3PfinalfL)]fўL + l
2t
 ж
з
и 		1
Pfinal
 - 8fL + 12 Pfinal
4
 f2L ц
ч
ш 		= 0.
 (21)

Теперь для вывода уравнения для предельной функции fL(t) надо взять предел l ® 0, помня при этом, что l/Pfinal » l/(PLZ/4) = 4l/(1 - e-pl) ® 4/p:

fўўўL- fўўL
t
 + 4t2fўL + 2
pt
 = 0.
 (22)

Частным решением этого уравнения, удовлетворяющим рассматриваемым здесь начальным условиям, является
fL(t) = - 1
4
 + 4(Cd + Sd)
p2
 + t2
2p
 [2F2(1,1; 3/2,2; +it2) + 2F2(1,1; 3/2,2; -it2)].
 (23)
Подстановка этой функции в уравнение (14) теперь дает

p(+Ґ) = PLZ
4
 + l ж
з
и 		PLZ
4
 ц
ч
ш 		2

 
 I,
 (24)
где
I = 6 +Ґ
у
х
-Ґ 
 й
к
л 		ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
p
2
 
 - Cd(x) ц
ч
ш 		cosd(x) - ж
з
и 		  ж
 ъ
Ц
p
2
 
 - Sd(x) ц
ч
ш 		sind(x) щ
ъ
ы 		f2L(x)dx.
 (25)

   Изучение подынтегрального выражения (25) показывает, что оно эффективно отличается от нуля только в малом интервале в окрестности начала координат. Хотя здесь возможно прямое аналитическое рассмотрение, скажем, с помощью разложения в ряд, однако, учитывая, что этот интеграл - всего лишь число, его просто можно рассчитать численно. В результате получается значение I = 1.3317 » 4/3. Непосредственное использование самого линейного решения Ландау - Зинера улучшает результат, давая I = 1.3082, который должен заменить I в (24), тем самым подтверждая значение I = 4/p » 1.2732, даваемое формулой (18). Выведенная формула (24) с последним числом хорошо согласуется с численным решением: относительная ошибка вплоть до l » 0.4 остается меньше 10-3.
   Таким образом, мы изучили нелинейную задачу Ландау - Зинера для фотоассоциации атомарного бозе-эйнштейновского конденсата. Применив нелинейное уравнение Вольтерра, мы вывели приближенное выражение для конечной вероятности перехода в молекулярное состояние для случая слабого взаимодействия - формулу (18). Поскольку рассмотренная здесь модель нелинейной двухуровневой задачи является типовой для классических и бозонных теорий поля с кубической нелинейностью, полученная формула может служить новой парадигмой для нелинейных квантовых задач пересечения термов.
   Работа выполнена при поддержке грантов Фонда Гражданских Исследований и Разработок США (CRDF) No. NFSAT PH 100-02/12042.

     Инженерный центр НАН РА


Литература

     1. Javanainen J., Mackie J.  - Phys. Rev.A. 1999. V. 59. P. R3186; Kosatrun M., Mackie M., Cote R., Javanainen J.  - Phys. Rev.A. 2000. V. 62. P. 063616.
     2. Anderson M.H., Ensher J.R., Matthews M.R., Wieman C.E., Cornell E.A.  Science. 1995. V. 269. P.198; Anglin J.R., Ketterle W.  - Nature (London). 2002. V. 416. P. 211.
     3. Timmermans E., Tommasini P., Hussein M., Kernan A.  - Phys.Rep.C. 1999. V. 315. P. 199; Shen Y.R. The Principles of Nonlinear Optics, N. Y. Wiley. 2002.
     4. Ishkhanyan A.M., Mackie M., Gould Ph., Javanainen J.  In: Interactions in Ultracold Gases: From Atoms to Molecules (Eds. M. Weidemuller and C. Zimmerman). Berlin. Wiley. 2003.
     5. Landau L.D.  - Phys. Z. Sowjetunion. 1932. V. 2. P. 46; Zener C.  - Proc. R. Soc. London A.1932. V. 137. P. 696.
     6. B.W. Shore. The Theory of Coherent Atomic Excitation. N. Y. Wiley. 1990.
     7. Ishkhanyan A.M., Mackie M., Carmichael A., Gould Ph., Javanainen J.  - Phys. Rev. A. 2004. V. 69.
     8. Nayfeh A.H. Perturbation Methods. N. Y. Wiley-Interscience. 1985.
     9. Abramowitz M., Stegun I.A.  Handbook of Mathematical Functions. N. Y. Dover. 1965.
     10. Ishkhanyan A.M., Chernikov G.P.  - J. Contemp. Physics (Armenian Nat’l Ac. Sci.). 2004. V. 39(1). P.1.
     11. Tricomi F.G.  Integral Equations. N. Y. Dover Publications. 1985; Miller R.K. Nonlinear Volterra Integral Equations. N. Y. Benjamin. 1971.
     12. Ishkhanyan A.M.  - J. Phys. A. 2000. V. 33. P. 5539; Ishkhanyan A.M. - Opt. Commun. 2000.V. 176. P. 155.
     13. Sommerfeld A.  - Math. Ann. 1896. V. 47. P. 317; Born M., Wolf E. Principles of Optics. Cambridge. Cambridge University Press. 1999.