Reports-2004-Vol104-N2-Gabrielyan

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЙ

УДК 62.50

М.С. Габриелян, В.Р. Барсегян

О приоритете выбора сигналов в задаче оптимального наблюдения

(Представлено академиком Ю.Г. Шукуряном 11/XII 2003)

Рассматривается задача оптимального наблюдения линейных систем при наличии нескольких различных сигналов.
1. Пусть имеется система

= A(t)x,
(1.1)

где x О Rⁿ, A(t) - (n × n) матрицы с измеримыми и ограниченными элементами на промежутке t О [t₀, T].
Пусть имеется возможность на промежутке времени [t - J,t], где J > 0, измерять величины

(t) =(t)x(t) (i = 1,ј,k),
(1.2)

где (t) - (m_i× 1)-мерная, а (t) - (m_i× n)-мерная матрица, элементы которых кусочно-непрерывные функции при t О [t - J,t]. Обозначим через m = max{m₁,ј,m_k}.
Сигналы (t) и матрицы (t) (i = 1,ј,k) дополним на отрезке t О [t - J,t] нулями до размерности (m × n) [1] и обозначим их соответственно через y⁽ⁱ⁾(t) и G_i(t).
Пусть a_i О [0,1] (i = 1,ј,k) независимые параметры. Рассмотрим процесс наблюдения системы (1.1) при сигнале

y(t, a₁,ј,a_k) = k
е
i=1
a_iy⁽ⁱ⁾(t) = k
е
i=1
a_iG_i(t)x(t)
или

y(t, a₁,ј,a_k) = G(t, a₁,ј,a_k)x(t), где G(t, a₁,ј,a_k) = k
е
i=1
a_iG_i(t).
(1.3)

Требуется определить оптимальные линейные операции, удовлетворяющие следующим условиям:

j_j[t, y(t, a₁,ј,a_k)] = x_j(t) (j = 1,ј,n).

Целесообразно указанные линейные операции искать в следующей матричной форме:

t
у
х
t-J
V(t, t; ·)y(t, a₁,ј,a_k)dt = x(t).

Здесь матрица V(t, t; ·) имеет размерность (n × m). Формула Коши для решения системы (1.1) будет

x(t) = X[t,t]x(t),
(1.4)

где X[t,t] - нормированная фундаментальная матрица системы (1.1). Подставляя значение x(t) из (1.4) в (1.3), получим

t
у
х
t-J

V(t, t; ·)G(t, a₁,ј,a_k)X[t,t]x(t)dt = x(t).

(1.5)

Так как вектор x(t) может принимать любое значение из Rⁿ, то из (1.5) следует, что

t
у
х
t-J
V(t, t; ·)G(t, a₁,ј,a_k)X[t,t]dt = E,
(1.6)

где E единичная матрица.
Матричную функцию V(t, t; ·), удовлетворяющую условию (1.6), можно определить при помощи проблемы моментов при минимизации соответствующего функционала:
а) при минимизации функционала

ж
и t
у
х
t-J
V²(t, t; ·)dt ц
ш [1/2]

(1.7)

с условиями (1.6) определение оптимального фильтра можно привести к изопериметрической задаче [2];
б) при минимизации функционала

sup
t-J Ј t Ј t

n
е
i=1

m
е
j=1

|V_ij(t, t; ·)|

с условиями (1.6) оптимальный фильтр можно определить при помощи проблемы моментов [2] и т.д.
Таким образом, когда минимизируемый функционал удовлетворяет условиям нормы, решение первого этапа поставленной задачи приводится к проблеме моментов.
Решая сформулированные задачи при различных критериях, получаем минимальную величину нормы фильтра

r^*[j(·; a₁,ј,a_k)] = f(a₁,ј,a_k),

зависимую от параметров a₁,ј,a_k.
   Эта величина непрерывно зависит от указанных параметров. Так как a_i О [0,1], то минимум нормы r^*[j(·;a₁,ј,a_k)] по a₁,ј,a_k достижим.
   При норме (1.7) r₀² является квадратичной формой, зависимой от a₁,ј,a_k. Следует заметить, что если r₀ > 0, а система (1.1) и сигналы (1.2) стационарные, то получим условие вполне наблюдаемости [2,3].
   Замечание. Те значения параметров системы a_i (i = 1,ј,k), при которых норма указанного фильтра неограниченна (норма сопряженного пространства r₀= 0), не рассматриваются, так как в этих случаях система не является вполне наблюдаемой.
   2. Рассмотрим систему

= x₂, = -x₁.
(2.1)
Пусть поступают сигналы

(t) = g₁x₁(t), (t) = g₂x₂(t), (t) = g₁₁x₁(t) + g₂₂x₂(t),
где g_i= const, g_ii= const, (i = 1,2).
Нормированная фундаментальная матрица системы (2.1) имеет вид

X[t,t] = ж
з
и

cos(t - t)

sin(t - t)

-sin(t - t)

cos(t - t)
ц
ч
ш .
Интегральные условия (1.6) для данной задачи будут:

0
у
х
-J
(a₁cosz - a₂sinz)V₁(z, ·)dz = 1,

0
у
х
-J
(a₂cosz + a₁sinz)V₁(z, ·)dz = 0,

0
у
х
-J
(a₁cosz - a₂sinz)V₂(z, ·)dz = 0,

0
у
х
-J
(a₂cosz + a₁sinz)V₂(z, ·)dz = 1,

(2.2)
где приняты следующие обозначения:

a₁= a₁g₁+ a₃g₁₁, a₂= a₂g₂+ a₃g₂₂, a_i О [0,1] (i = 1,2,3),

t - t = z, (t, t + z, ·) = V_j(z, ·) (j = 1,2).

Найдем функции V₁(z,·) и V₂(z,·), удовлетворяющие интегральным условиям (2.2) и являющиеся оптимальными в смысле

0
у
х
-J
[V₁²(z, ·) + V₂²(z, ·)]dz ® min
.
(2.3)
Следуя [2], нужно найти числа l₁,l₂,l₃,l₄, связанные условием

l₁+ l₄= 1,
(2.4)
которые минимизируют квадрат нормы основного пространства

r₀²=
min
l₁+l₄=1
0
у
х
-J
[h₁²(z) + h₂²(z)]dz,
(2.5)
где

h₁(z) = l₁(a₁cosz - a₂sinz) + l₂(a₂cosz + a₁sinz),

h₂(z) = l₃(a₁cosz - a₂sinz) + l₄(a₂cosz + a₁sinz).

(2.6)

Подставляя (2.6) в (2.5), проведя некоторые вычисления и применяя метод неопределенных множителей Лагранжа для нахождения l₁⁰, l₂⁰, l₃⁰ и l₄⁰, получим следующую систему алгебраических уравнений:

(a₁²s₁+ a₂²s₂- 2a₁a₂s₃)l₁+ [a₁a₂(s₁ - s₂) + (a₁² - a₂²)s₃]l₂= -l,

[a₁a₂(s₁ - s₂) + (a₁² - a₂²)s₃]l₁+ (a₂²s₁+ a₁²s₂+ 2a₁a₂s₃)l₂= 0,

(a₁²s₁+ a₂²s₂ - 2a₁a₂s₃)l₃+ [a₁a₂(s₁ - s₂) + (a₁²- a₂²)s₃]l₄= 0,

[a₁a₂(s₁ - s₂) + (a₁² - a₂²)s₃]l₃+ (a₂²s₁+ a₁²s₂+ 2a₁a₂s₃)l₄= -l,

(2.7)
где s₁= J + [(sin2J)/2], s₂= J - [(sin2J)/2], s₃= -sin²J, l неопределенный множитель.
Решая полученную замкнутую систему (2.7), (2.4), получим

l₁⁰= a₂²s₁+ a₁²s₂+ 2a₁a₂s₃
(s₁+ s₂)(a₁²+ a₂²)
, l₂⁰= l₃⁰=- a₁a₂(s₁ - s₂) + (a₁² - a₂²)s₃
(s₁+ s₂)(a₁²+ a₂²)
,

l₄⁰= a₂²s₁+ a₁²s₂ - 2a₁a₂s₃
(s₁+ s₂)(a₁²+ a₂²)
.

(2.8)
Подставляя (2.8) в (2.6), а затем в (2.5), получим

r₀²(·) = 1
4
(J² - sin²J)(a₁²+ a₂²).
Искомые функции V_i⁰(z,·) будут:

V_i⁰(z, ·) = 1
r₀²(·)
h_i⁰(z) (i = 1,2),
где h_i⁰(z) имеют вид (2.6).
Для нормы (2.3) получим

||V⁰(·)||²= 1
r₀²(·)
= 4
(J² - sin²J)(a₁²+ a₂²)
.
Учитывая обозначения для a₁ и a₂, получаем

||V⁰(·)||²= 1
r₀²(·)
= 4
(J² - sin²J)[(a₁g₁+ a₃g₁₁)²+ (a₂g₂+ a₃g₂₂)²]
.
Следовательно, минимум ||V⁰(a₁,a₂,a₃,a₄)|| будет при максимуме выражения

F(·) = (a₁g₁+ a₃g₁₁)²+ (a₂g₂+ a₃g₂₂)².

Максимизируя функцию F(a₁,a₂,a₃) при a_i О [0,1] (i = 1,2,3), получим тот сигнал, который в вышеуказанном смысле является оптимальным.
Для определенности предполагая, что g₁= g₂= 1, g₁₁ < 0, g₂₂ < 0, F получит максимальное значение при a₁= a₂= 1.

Ереванский государственный университет

Литература

     1. Габриелян М.С., Барсегян В.Р. - ДНАН Армении. 2002. Т. 102. N3. С. 219-222.
     2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. Наука. 1968. 476 с.
     3. Калман Р.Е. - Труды I конгресса ИФАК. М. АН СССР. 1961. Т. 1. С. 521-547.