УДК 517.9

   Непрерывные многозначные отображения естественным образом возникают при изучении вопросов корректности и стабильности в параметризованных задачах оптимизации [1-4]. Известно[1,5], что такие отображения с выпуклыми замкнутыми значениями имеют непрерывные однозначные сечения.
   В   настоящей   работе   (при   довольно   естественных   предположениях) показано, что при e > 0 многозначное отображение a_e(q) = { x О a(q)/f(x,q) Ј+ e} множества e-оптимальных решений [3 ,4] является непрерывным многозначным отображением с выпуклыми образами и поэтому имеет непрерывные сечения. Этот результат является основным инструментом в наших исследованиях.
   В работе установлены следующие результаты:
   а) Методом проекции градиентов строится функциональная последовательность и при некоторых условиях доказывается, что расстояние этой последовательности до множества a_e(q) равномерно по q стремится к нулю.
   б) Вводится понятие интеграла Римана для многозначного отображения и показывается, что замыкание интеграла Римана совпадает с интегралом Лебега [6]. Этот результат используется при вычислении e-субдифференциала целевой функции в стохастическом программировании.
   в) В теории непрерывых игр показано, что если множества стратегий игроков являются непрерывными многозначными отображения с выпуклыми образами, то игроки могут использовать только непрерывные решающие правила, которые описывают устойчивое поведение игроков [7].
   г) Рассматривается задача Коши для дифференциального включения, зависящего от параметров. При некоторых условиях доказано, что множество решений этой задачи непрерывно зависит от параметров.
   д) Показано, что оператор проецирования на выпуклый компакт в банаховом пространстве есть непрерывное многозначное отображение.

   1. Введение. Пусть X,Y - метрические пространства. Под многозначным отображением (м.о.) X в Y понимается отображение a : X ® 2^Y пространства X в совокупность всех подмножеств 2^Y пространства Y. Напомним некоторые определения из [8].
   Определение 1. М.о. a : X ® 2^Y называется полунепрерывным сверху (п.н.св.) в точке x₀ О X, если из того, что x_j ® x₀, y_j О a(x_j) и y_j ® y₀, следует, что y₀ О a(x₀).
   Определение 2. М.о. a : X ® 2^Y называется полунепрерывным снизу (п.н.сн.) в точке x₀ О X, если для любого y₀ О a(x₀) и любой последовательности {x_j}, x_j ® x₀, найдутся такие y_j О a(x_j), что y_j ® y₀.
   Определение 3. Отображение a : X ® 2^Y называется непрерывным, если оно одновременно полунепрерывно и сверху и снизу в любой точке x О X.
   Определение 4. Сечение для a : X ® 2^Y определяется как однозначное отображение y(·) : X ® Y такое, что y(x) О a(x) для всех x О X.
   Теорема 1. Пусть a(q) непрерывное м.о. с выпуклыми компактными значениями на компактном множестве E М R^p. Пусть функция f(x, q) непрерывна по q и выпукла по x О Rⁿ. Положим V_a(q) =; a_e(q) = {x О a(q)  /  f(x,q) Ј V_a(q) + e}. Тогда м.о. a_e(q) непрерывно.

   2. Интегралы многозначного отображения. Пусть (E,S, P) - вероятностное пространство, где E М R^p - компакт.
   Определение 5. Интегралом Римана м.о. G : E ® 2^Rm называется множество интегралов от всевозможных непрерывных сечений отображения G:

(R) у х E  G(q)P(dq) ={ у х E  g(q)P(dq)/g(q) О G(q)} є IR.

   Определение 6[6]. Интегралом Лебега м.о. G : E ® 2^Rm называется множество интегралов от всевозможных интегрируемых сечений отображения G. Обозначим это множество через I_L.
   Теорема 2. Пусть м.о. G(x,q) : Rⁿ × E ® 2^Rm непрерывно; множества G(x,q) - непустые выпуклые компакты. Пусть a(x) є (R). Тогда м.о. a(x) непрерывно.

   Теорема 3. Пусть м.о. G : E ® 2^Rm непрерывно и для любого q О E множество G(q) выпукло, замкнуто и компактно. Тогда имеет место равенство _R = I_L, где _R - замыкание множества I_R.
   Пусть функция f(x,q) определена на Rⁿ × E. При e > 0 определим e - субдифференциальное отображение по x для функции f(x,q) следующим образом:

¶xef(x,q) є { n О Rn/f(y,q) - f(x,q) і < n, y - x > -e,"x О Rn}.

Рассмотрим теперь задачу стохастического программирования:

F(x) є у х E  f(x,q)P(dq) ® min ,

где f(x,q) сильно выпукла по x равномерно относительно q О E и непрерывна по q при фиксированом x О Rⁿ. Имеет место следующий результат:
   Теорема 4. Пусть x₀ О Rⁿ. Тогда для любого e > 0 существует d > 0 такое, что ¶F(x₀) + B_d(0) Н I_L Н ¶_e F(x₀), где I_L интеграл Лебега от многозначного отображения ¶^e_xf(x₀,·) : E ® 2^Rn; B_e(0) - замкнутый шар радиуса e с центром в точке нуль.

   3. e - оптимальные решения в параметрических задачах оптимизации. Пусть f(x,q) удовлетворяет всем условиям теоремы 1 и существует производная fў_x(x,q), непрерывная относительно x и q. Рассмотрим теперь м.о. a_e^M(q) = {x О M/f(x,q) Ј V(q) + e}, где V(q) = .
   Теорема 5. Пусть M М Rⁿ - выпуклый компакт и функцинаольная последовательность {x_j(q)} строится следующими рекуррентными соотношениями:

x1(q) є x0 О M;       xj+1(q) = PM ж и xj(q) - ljfўx(xj(q),q) ц ш (j = 1,2,ј).

где = +Ґ, l_j > 0, l_jЇ 0 и P_M(x) - проекция точки x на множество M.

Тогда для любого e > 0, r(x_j(q),a^M_e(q)) ® 0 при j ® Ґ равномерно по q О E.