Reports-2004-Vol104-N2-Poghosyan

МАТЕМАТИКА

УДК 519.65

А. В. Погосян

L₂-сходимость некоторых
полиномиально-периодических интерполяций

(Представлено академиком А.Б. Нерсесяном 8/II 2004)

   1. Введение. В работах [1,2] рассмотрен обширный класс ортогональных разложений и интерполяций, основанных на некоторой последовательности . Разложение по вейвлетам (в частности, сплайн-аппроксимации) соответствует определенному выбору этой последовательности. В работе [3,4] изучена полиномиально-периодическая аппроксимация и исследована L₂-сходимость для различных классов функции q(x) при выборе q_n= q([n/N]). В данной работе изучаются интерполяции, соответствующие функциям q(x) из других классов.
   Ниже используются следующие обозначения: штрих над знаком суммирования (еў) означает, что нулевой член отсутствует; [x] - целая часть x; Z -множество целых чисел. Положим также

е
n
^N· = -[N/2]+N-1
е
n=-[N/2]
·,
е
n № 0
^N· = -[N/2]+N-1
е
n=-[N/2]
^ў·,

где N і 1 - целое.
Если f О C[a,b], -Ґ < a < b < +Ґ, то через w(e, f) обозначим модуль непрерывности функции f

w(e, f) = sup|f(x₁) - f(x₂)|, x₁,x₂ О [a,b], |x₁ - x₂| Ј e.

Рассмотрим параметрическую интерполяцию [2,3] для f О C[-1,1]

I_N(f, d) =

(1)
где кусочно-непрерывная функция q такая, что е_{s О Z}|q(x + s)| < Ґ, d(x) = е_{s О Z}q(x + s) № 0 и

= 1
N

е
k
^N f(x_k)e^{-ipn
x_k}, x_k= 2 k + d
N
.

Здесь 0 Ј d Ј 2, если N четное и -1 Ј d Ј 1, если N-нечетное.
   Если аппроксимируемая функция f О C^q[-1,1]  (q і 0) не имеет достаточно гладкого 2-периодического продолжения на всю ось (-Ґ,Ґ), то (см. [7]) возникает проблема ускорения сходимости интерполяции (1). Один из возможных путей решения этой проблемы - использование полиномов Бернулли по следующей схеме [5,6].
   Обозначим

A_k(f) = f^(k)(1) - f^(k)(-1),  k = 0,ј, q
(2)
и назовем полиномиально-периодической интерполяцию

I_q,N(f,d) = I_N ж
и f(x) - q
е
k=0
A_k(f) B_k(x),d ц
ш + q
е
k=0
A_k(f) B_k(x),
(3)
где полиномы Бернулли B_k определяются рекуррентными соотношениями

B₀(x) = x/2,  B_k(x) = у
х B_k-1(x)dx, у
х 1

-1
B_k(x)dx = 0,  x О [-1,1].

   Наша цель - получение точных асимптотических L₂-констант для интерполяции I_q,N(f,d).
   2. Асимптотические L₂-константы. Пусть {f_n}, n = 0,±1,±2,ј - коэффициенты Фурье функции f

f_n= 1
2
у
х 1

-1
f(x)e^{-i pn
x}dx.
   Через || · || обозначим норму в пространстве L₂(-1,1), и пусть

, g(x) = |a(x)|²+ b(x).

   Доказательство следующих двух лемм можно найти в [2]. Отметим только, что оно основано на очевидном асимптотическом разложении

f_n= (-1)ⁿ⁺¹
2
q
е
k=0
A_k(f)
(ipn)^k+1
+ e_n
2(ipn )^q+2
,  e_n= у
х 1

-1
f^(q+2)(x)e^{-ipn
x}dx,  n № 0.
(4)
   Лемма 1. Пусть f О C^q+1[-1,1],  f^(q+2) О L₂(-1,1), A_s(f) = 0, s = 0,ј,q + 1, q і 0. Тогда

е
r О Z
^ўf_n+rNe^iprd= o(N^-q-2),  N ® Ґ,  -[N/2] Ј n Ј -[N/2] + N - 1.
(5)

Определение 1. Скажем, что q = q(x) О T_q(m), если выполнены следующие условия:
(i) q - кусочно непрерывная функция на R, для определенности нормированная условием q(x) = 1/2 (q(x + 0) + q(x - 0));
(ii) ряд е_{s О
Z}q(x + s) абсолютно сходится на [-1/2,1/2];
(iii) g(x) ограничена на [-1/2,1/2];
(iv) существует монотонная на (-1/2,0), а также на (0,1/2), интегрируемая неотрицательная функция m такая, что

|a(x)|²x^-2q-4 Ј m(x), b(x)x^-2q-4 Ј m(x).

Лемма 2. Пусть q О T_q(m) и верны условия леммы 1. Тогда

||f - I_N(f,d)|| = o(N^-q-1.5), N ® Ґ.

На основе этих лемм в [2] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть q О T_q(m), f О C^q+1[-1,1], f^(q+2) О L₂(-1,1), q і 0, тогда

N^2q+3||f - I_q,N(f,d)||² ®

|A_q+1(f)|²

2p^2q+4

у
х

1/2

-1/2

е
r О Z

к
к
к

(-1)^rse^iprd

(x + r)^q+2

q(x + r)

d(x)

е
s О Z

(-1)^sse^ipsd

(x + s)^q+2

к
к
к

dx,

(6)

если N ® Ґ, оставаясь четной (s = 0) или нечетной (s = 1).
Изучим теперь интерполяцию I_q,N(f, d) для двух других классов q(x).
Определение 2. Мы скажем, что q О U_q(B,m), если выполнены условия (i)-(iii) определения 1 и
(iv) существует константа 0 < B < Ґ и монотонная на (-1/2,0), а также на (0,1/2) и интегрируемая на (-1/2,1/2) неотрицательная функция m такая, что

к
к
к

g(x)x^-2q-3 - B

к
к
к

Ј m(x),

lim
e® +0

ln e

Определение 3. Мы скажем, что q О V_q,p (C), если выполнены условия (i)-(iii) определения 1 и, кроме того, для некоторого p < q+1.5 существует конечный предел

(iv)

lim
x® 0

g(x)x^-2p= C, 0 < C < Ґ.

Лемма 3. Пусть q О U_q(B,m), q і 0. Тогда (t_n= n/N)

lim
N®Ґ

2lnN

е
n № 0

g(t_n)t_n^-2q-3

= B.

Доказательство. Положим h(x) = g(x) x^-2q-3. Имеем

lim
N®Ґ

ж
з
и

2lnN

е
n № 0

h(t_n)

- B

ц
ч
ш

lim
N®Ґ

ж
з
и

2lnN

N
е
n=1

h(t_n) - h(-t_n) - 2B

ц
ч
ш

const

lim
N®Ґ

ж
з
и

[

]

ц
ч
ш

2NlnN

е
[

] < n

m(t_n)

ц
ч
ш

const

lim
N®Ґ

ж
з
и

[

]

ц
ч
ш

lnN

у
х

[

]/N < x < 1/2

m(x)dx

ц
ч
ш

= 0.

Теорема 2. Пусть q О U_q(B,m), q і 0, f О C^q+1[-1,1], f^(q+2) О L₂(-1,1). Тогда

lim
N®Ґ

N^2q+3

lnN

||f - I_q,N(f,d)||²=

|A_q+1(f)|²

p^2q+4

(7)

Доказательство. Имеем

||f - I_q,N(f,d)|| = ||F - I_N(F,d)||,

где (согласно разложению (4))

F = F₁+ F₂,

(8)

F₁(x) =

е
n О Z

^ў F_1,ne^{ipn
x}, F_1,n=

(-1)ⁿ⁺¹

A_q+1(f)

(ipn)^q+2

, n № 0,

F₂(x) =

е
n О Z

^ў F_2,ne^{ipn
x}, F_2,n=

2(ipn)^q+2

у
х

1

-1

f^(q+2)(x)e^{-ipn
x}dx, n № 0.

Воспользовавшись неравенством треугольника, из леммы 2 получим

lim
N®Ґ

N^2q+3

lnN

||F₂ - I_N(F₂,d)||²= 0.

Легко проверить следующую формулу:

||f - I_N(f,d)||² = 2

е
n

е
r О Z

к
к
к
к
к
к

f_n+rNe^iprd -

ж
з
и

+ r

ц
ч
ш

)

е
s О Z

f_n+sNe^{ips d}

к
к
к
к
к
к

(9)

Отсюда, с помощью леммы 1, получим

lim
N®Ґ

N^2q+3

lnN

||F₁ - I_N(F₁,d)||² =

|A_q+1(f)|²

p^2q+4

lim
N®Ґ

2lnN

е
n

^N^ў

g(t_n)

t_n^2q+3

Для завершения доказательства достаточно воспользоваться леммой 3.
   Заметим, что, в отличие от теоремы 1, в теореме 2 возникает величина ln N, что приводит к меньшей точности, по сравнению с теоремой 1. Кроме того, L₂-константа в теореме 2 уже не зависит от четности N и значения параметра сдвига d.
   Лемма 4. Пусть функция l определена и ограничена на отрезке [-1/2,1/2] и, кроме того, существует конечный предел . Если ряд абсолютно сходится, то

lim
N®Ґ

е
n
^Nu_nl ж
з
и n
N
ц
ч
ш = C
е
n О Z
u_n.
   Доказательство. Имеем

к
к
к C
е
n О Z
u_n-
е
n
^Nu_nl ж
з
и n
N
ц
ч
ш к
к
к Ј
е
|n| Ј []
к
к
к C - l ж
з
и n
N
ц
ч
ш к
к
к |u_n| + const

е
[] < |n|
|u_n| Ј

w([]/N,l)
е
n О Z
|u_n| + const

е
|n| > []
|u_n| = o(1),  N ® Ґ.
   Теорема 3. Пусть f О C^q+1[-1,1], f^(q+2) О L₁[-1,1], q і 0 и q О V_q,p(C). Тогда

lim
N®Ґ
N^2p||f - I_q,N(f,d)||²= C
2p^2q+2

е
n О Z
^ў 1
|n|^{2q+2-2 p}
к
к у
х 1

-1
f^(q+1)(x)e^{-ipn x}dx к
к 2

.
(10)
   Доказательство. Имеем

||f(x) - I_q,N(f,d)|| = ||F(x) - I_N(F,d)||,
(11)
где, согласно разложению (4),

F(x) =
е
n О Z
^ў F_n e^{ipn
x},  F_n= e_n
2(ipn)^q+1
,  e_n= у
х 1

-1
f^(q+1)(x)e^{-ipn
x}dx.
Воспользовавшись теперь формулой (9), после несложных оценок, получим (t_n= n/N)

lim
N®Ґ
N^2p||f - I_q,N(f,d)||²= 2
lim
N®Ґ
N^2p
е
n № 0
^N|F_n|² g(t_n) =

1
2p^2q+2

lim
N®Ґ

е
n № 0
^N g(t_n)
|t_n|^2p
|e_n|²
|n|^2q+2-2p
.

Доказательство завершается применением леммы 4 с l(t) = g(t)/|t|^2p.
   Здесь также, как и в теореме 2, не имеет значения четность N и значение параметра сдвига d. Качественное отличие этого результата от предыдущих состоит в использовании глобальных свойств функции f (интегралы справа в (10 )).
   Для того, чтобы разъяснить характер приведенных результатов, рассмотрим следующий простой пример:

q(x) = м
н
о

cos^s p
2
x,

|x| Ј 1,

0,

|x| > 1,
             s > 0.
(12)
и вычислим функции d,a,b и g (x О [-1/2,1/2])

d(x) = cos^s p
2
x + sin^s p
2
|x|,

a(x) =

sin^s p
2
|x|

cos^s p
2
x + sin^s p
2
|x|
,   b(x) =

sin^2s p
2
|x|

(cos^s p
2
x + sin^s p
2
|x|)²
,    g(x) = 2a²(x).
Таким образом, если s > q + 1.5 то q О T_q(m), где m(x) = [const/(|x|^2q+4-2s)]. Поэтому можно применить теорему 1, откуда

N^q+1.5||f - I_q,N(f,d)|| ® |A_q+1(f)| b(q,s,d,s), N ® Ґ,
где

b(q,s,d,s) = 1
p^q+2
й
к
л у
х 1

0
к
к
к a(x)
x^q+2
- (1 - a(x))
е
r О Z
^ў (-1)^rse^{ipr d}
(x + r)^q+2
к
к
к 2

dx + 1
2q + 3
щ
ъ
ы 1/2

.

Этот случай детально рассмотрен в [4], где показано, что надлежащим выбором параметра s можно получить более эффективную интерполяцию по сравнению с классической, при которой, как известно,

q(x) =

м
п
н
п
о

|x| < 1/2,

1/2,

x = ±1/2,

|x| > 1/2.

Например, в случае q = 7 и s = 11.397712, d = 1 интерполяция I_q,N(f,d) при нечетных N дает в 85 раз более точную интерполяцию.
Заметим, что при s Ј q + 1.5 функция (12) уже не принадлежит классу T_q(m), так как при x ® 0, |a(x)|² x^-2q-4 ~ x^-2q-4+2s и условие (iv) определения 1 не выполняется. В частности, если s = q + 1.5, то q О U_q(B,m), где B = 2 (p/2)^2q+3, m(x) = const |x|. Тогда, согласно теореме 2,

lim
N®Ґ
N^q+1.5
(lnN)^[1/2]
||f - I_q,N(f,d)|| = |A_q+1|
.

В случае же s < q + 1.5 невозможно применить и теорему 2, из-за условия (iv) определения 2, но выполнены условия теоремы 3 с p = s и

lim
N®Ґ

N^s||f - I_q,N(f,d)|| =

2^sp^q+1-s

ж
з
и

е
n О Z

^ў

|n|^2q+2-2s

к
к

у
х

1

-1

f^(q+1)(x)e^{-ipn x}dx

к
к

ц
ч
ш

1/2

   В общем же случае нетрудно убедиться, что классы T_q(m), q О U_q(B,m),q О V_q,p (C) не пересекаются из-за условий (iv).
   В заключение заметим, что для определения скачков A_k(f) (см. (2)), в практическом плане, необязательно вычислять непосредственно производные f(x) при x = ±1. Из известного асимптотического разложения (4) следует (см. [5,6]), что скачки A_k(f) можно восстановить с точностью O(N^-q+k-2), k = 0, ..., q + 1, N ® Ґ, решив систему уравнений с матрицей Вандермонда

f_{n_s}= (-1)^n_s+1
2
q
е
k=0
A_k(f)
(ipn_s)^k+1
,     s = 0, 1, ..., q,
для (q + 1) различных значений {n_s}, при const N Ј |n_s| Ј N, N ® Ґ.
   Работа выполнена в рамках проекта ISTC A-823.

Институт математики НАН РА

Литература

     1. Нерсесян А.Б. - ДНАН Армении. 1998. Т. 98. N 1. С. 23-30.
     2. Nersessian A.B. - Numer. Functional Anal. and Optimization. 2000. V. 21. N. 1-2.
     3. Нерсесян А.Б., Погосян А.В. - Изв. НАН Армении. Математика. 2001. Т. 36. N 3. С. 59-77.
     4. Nersessian A.B., Poghosyan A.V. To be published in Proceedings of ISAAC IV Conference of Complex Analysis, Differential Equations and Related Topics. September 17-21. 2002. Yerevan Armenia.
     5. Eckhoff K.S. - Math. Comp. 1995. V. 64. N 210. P. 671 - 690.
     6. Eckhoff K.S., Wasberg C.E. Thesis of Carl Erik Wasberg, Department of Mathematics, University of Bergen, Norway, 1996.
     7. Крылов А. Лекции по приближенным вычислениям. Л. Изд. АН СССР. 1933.