УДК 539.3

   Рассматривается плоская контактная задача термоупругости для ортотропной полуплоскости (z і 0, |x| < Ґ) с вертикальным конечным разрезом (0 < z < b) начиная с горизонтальной границы (z = 0). Главное направление ортотропии полуплоскости совпадает с направлением координатной оси.
   На конечном участке границы (|x| Ј a) полуплоскости приложен горячий жесткий штамп с основанием произвольной гладкой формы, расположенный симметрично относительно оси разреза (x = 0). Предполагается, что трение между штампом и полуплоскостью отсутствует, а граница вне штампа и разрез теплоизолированы. Также для простоты принимается, что граница полуплоскости вне штампа свободна от внешних напряжений, а в разрезе действует только нормальное давление.
   Рассматривается плоское деформированное состояние (U_y = 0, /(¶y)] = 0, [(¶T)/(¶y)] = 0), и задача решается методом Фурье, когда в качестве основных неизвестных принимаются перемещения (U_x(x,z),U_z(x,z)) и температурная функция (T(x,z)). Решение задачи ищется в виде суммы интегралов Фурье. Поиск произвольных функций интегрирования в конечном счете сводится к решению системы из трех "парных" интегральных уравнений. Эта система, в свою очередь, сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Показано, что решение последнего уравнения может быть найдено методом последовательных приближений. Выведены все расчетные формулы для определения напряженно-деформированного состояния в любой точке полуплоскости.
   В частных случаях, когда длина разреза стремится к нулю или к бесконечности, показано, что получается контактная задача плоской теории термоупругости для полуплоскости без разреза и для четвертьплоскости (квадранта) соответственно.
   Так как задача симметрична относительно оси разреза (x = 0), то можно ограничиться   рассмотрением   только   четверти   плоскости  (0 < x < Ґ,  0 < z < Ґ), соответствующей граничным условиям:

qx(0,z) = 0, (0 < z < Ґ),

(1)

T(x,0) = f1(x), (0 < x Ј a), qz(x,0) = 0, (a < x < Ґ),

(2)

tzx(x,0) = 0, (0 < x < Ґ), txz(0,z) = 0, (0 < z < Ґ),

(3)

uz(x,0) = f2(x), (0 < x Ј a), sz(x,0) = 0, (a < x < Ґ),

(4)

sx(0,z) = f3(z), (0 < z < b), ux(0,z) = 0, (b Ј z < Ґ).

(5)

   Решение задачи ищем в виде сумм интегралов Фурье:

ux(x,z) = Ґ у х 0  a U   (a,z)sinaxda + Ґ у х 0  b U   *   (b,x)cosbzdb, uz(x,z) = Ґ у х 0  a W   (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b W   *   (b,x)sinbzdb, T(x,z) = Ґ у х 0  a2 T   (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b2 T   *   (b,x)cosbzdb, (0 < x < Ґ,  0 < z < Ґ).

(6)

   Затухающие в бесконечности неизвестные плотности интегралов Фурье (6) представляются в виде:

U   (a, z) = 1 c11 2 е j=1  D1(tj)Aj(a)e-atjz - 1 c11 C(a)e-[(a)/(l)]z, U   *   (b,x) = 1 c11 2 е k=1  D1(tk) tk2 Bk(b)e -[(b)/(tk)]x - l c11 D(b)e-lbx, W   (a, z) = 1 c44 2 е j=1  D2(tj)Aj(a)e-atjz - 1 l k* c11 C(a)e -[(a)/(l)]z, W   *   (b,x) = 1 c11 2 е k=1  D2(tk)Bk(b)e -[(b)/(tk)]x - k* c44 D(b)e-lbx, T   (a, z) = 1 l2 · d T0g11 C(a)e-[(a)/(l)]z,    T   *   (b, x) = - d g11T0 D(b)e-lbx.

(7)

   Здесь A_j(a), B_k(b), C(a), D(b) - неизвестные функции интегрирования, которые можно определить из условий (1)-(5), а плотности и коэффициенты, входящие в (7) определяются по формулам:

D1(tk) = ж з и c13 c44 + 1 ц ч ш tk,    D2(tk) = 1 - c44 c11 tk2, k* = l33 l11 - c44 c11 - g33 g11 ж з и l33 l11 - c44 c11 ц ч ш c33 c44 - l33 l11 - g33 g11 · c13 + c44 c44 , d = l33 l11 ж з и 1 + c13 + c44 c44 · c13 + c44 c11 ц ч ш - c44 c11 T0 ж з и c33 c44 - l33 l11 - g33 g11 · c13 + c44 c44 ц ч ш .

(8)

   Из решения биквадратного уравнения

c33 c11 t4 + ж з и c13c13 c44c11 + 2 c13 c11 - c33 c44 ц ч ш t2 + 1 = 0

(9)

определяется t_k ( Re t_k > 0).
   В формулах (6)-(9) имеем: c₁₁, c₁₃, c₃₃ и c₄₄ - модули упругости материала, l² = [(l₃₃)/(l₁₁)] - отношение коэффициентов теплопроводности тела в направлении оси 0z и перпендикулярном к ней, g₁₁, g₃₃ - температурные коэффициенты механических напряжений, соответственно по направлению оси 0x и 0z, T =- T₀ - относительная, абсолютная и начальная температура.
   Используя основные соотношения теории термоупругости [1,2] для исследуемой среды и (6), (7), можно все компоненты термоупругого поля выразить через A_j(a), B_k(b), C(a) и D(b):

sx(x,z) = Ґ у х 0  a2 s   x  (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b2 s   * z  (b,x)cosbzdb,

sz(x,z) = Ґ у х 0  a2 s   z  (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b2 s   * x  (b,x)cosbzdb,

tzx(x,z) = Ґ у х 0  a2 t   zx  (a,z)sinaxda + Ґ у х 0  b2 t   * zx  (b,x)sinbzdb, qx(x,z) = Ґ у х 0  a3 q   x  (a,z)sinaxda + Ґ у х 0  b3 q   * x  (b,x)cosbzdb, qz(x,z) = Ґ у х 0  a3 q   z  (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b3 q   * z  (b,x)sinbzdb.

(10)

Здесь:

(a,z) = 2 е j=1  й к л D1(tj) - c13 c44 D2(tj)tj щ ъ ы Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z, (b,x) = 2 е k=1  й к л - D1(tk) tk3 + c13 c44 D2(tk) щ ъ ы Bk(b)e-[(b)/(tk)]x -D(b)e-lbx, (a,z) = 2 е j=1  й к л c13 c11 D1(tj) - c33 c44 D2(tj)tj щ ъ ы Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z, (b,x) = 2 е k=1  й к л - c13 c11 · D1(tj) tk3 + c33 c44 D2(tj) щ ъ ы Bk(b)e-[(b)/(tk)]x -C(b)e-lbx, (a,z) = 2 е j=1  й к л c44 c11 D1(tj)tj + D2(tj) щ ъ ы Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z,

(b,x) = - 2 е k=1  й к л c44 c11 · D1(tj) tk2 - D2(tk) tk щ ъ ы Bk(b)e-[(b)/(tk)]x +D(b)e-lbx, (a,z) = qx(0)C(a)e-[(a)/(l)]z,     (b,x) = D(a)e-lbx, (a,z) = qz(0)C(a)e-[(a)/(l)]z,     (b,x) = D(a)e-lbx,

(11)

где

sx(0) = c13 c44 · k* l2 - d T0l2 -1,    = l2 - c13 c44 k* + d T0 , sz(0) = c33 c44 · k* l2 - c13 c11 - d T0l2 ,       = c13 c11 l2 - c33 c44 k* + d T0 · g33 g11 , = ж з и c44 c11 + k* ц ч ш 1 l ,       = ж з и c44 c11 + k* ц ч ш l, qx(0) = d g11 · l11 T0l2 ,       = - d g11 · l11l T0 , qz(0) = d g11 · l33 T0l3 ,       = - d T0 · l33 g11 .

(12)

   Удовлетворяя граничным условиям (1) и (3), получаем:

D(b) = 0,

(13)

Aj(a) = ajAj(a) + bjC(a),

(14)

Bk(b) = bk*B1(b),

(15)

где

a1 = 1, b1 = 0, a2 = - a11 a12 , b2 = tzx(0) a12 , b1* = 1, b2* = - b11 b12 , a1j = c44 c11 D1(tj)tj + D2(tj), j = 1,2,    b1k = c44 c11 · D1(tk) tk2 - D2(tk) tk , k = 1,2.

(16)

Имея в виду (13), (14), (15) и удовлетворяя смешанным граничным условиям (2), (4), (5), решение задачи сведено к решению следующих систем из трех парных интегральных уравнений [3]:

м п п н п п о Ґ у х 0  a2C(a)cosaxda = l2T0g11 d f1(x)    (0 < x Ј a), Ґ у х 0  a3C(a)cosaxda = 0    (0 < x < Ґ)

(17)

м п п н п п о Ґ у х 0  aA1(a)cosaxda = f2*(x)    (0 < x Ј a), Ґ у х 0  a2a1(a)cosaxda = f4(x) - 1 m21 2 е k=1  b1k* Ґ у х 0  b2e-[(b)/( tk)]xB1(b)db    (a < x < Ґ),

(18)

м п п н п п о Ґ у х 0  b2B1(b)cosbzdb = f3*(z) - 1 n11 2 е j=1  a2jaj Ґ у х 0  a2e-atjzA1(a)da    (0 < z < b) Ґ у х 0  bB1(b)cosbzdb = 0    (b Ј z < Ґ),

(19)

где

f2*(x) = 1 m11 f2(x) - m12 m11 Ґ у х 0  aC(a)cosaxda, f4(x) = - m22 m21 Ґ у х 0  a2C(a)cosaxda, f3*(z) = 1 n11 f3(z) - 1 n11 2 е j=1  a2jbj Ґ у х 0  a2e-atjzC(a)da - 1 n11 sx(0) Ґ у х 0  a2e-[(a)/(l)]z C(a)da, m11 = 1 c44 2 е j=1  D2(tj)aj,       m12 = 1 c44 й к л 2 е j=1  D2(tj)bj - k* l щ ъ ы , m21 = 2 е j=1  й к л c13 c11 D1(tj) - c33 c44 D2(tj)tj щ ъ ы aj, m22 = 2 е j=1  й к л c13 c11 D1(tj) - c33 c44 D2(tj)tj щ ъ ы bj + sz(0), n11 = 2 е k=1  й к л - D1(tk) tk3 + c13 c44 D2(tk) щ ъ ы bk*,       a2j = D1(tj) - c13 c44 D2(tj)tj,

(20)

решения, подобные (17), (18), (19) - парные интегральные уравнения рассматривались в работах [4-7] и др.
   Решая эти уравнения методом преобразующих операторов, получаем:

C(a) = -  2 p · 1 a2 a у х 0  tj1(t)J1(at)dt

(21)

A1(a) = -  2 p · 1 a a у х 0  hj2(h)J1(ah)dh - 2 p · 1 a Ґ у х a  j4(h)J1(ah)dh +        + 2 p · 1 a · 1 m21 2 е k=1  b1k* Ґ у х 0  b2B1(b)db Ґ у х a  hK1 ж з и b tk h ц ч ш J1(ah)dh,

(22)

B1(b) = 2 p · 1 b b у х 0  rj3(r)J0(br)dr - 1 n11 2 е j=1  a2jaj b у х 0  r[ I0(atjr) - L0(atjr)] J0(br)dr,

(23)

где

j1(t) = l2T0g11 d · d dt t у х 0  f1(x) dx,   j2(h) = d dh h у х 0  f2*(x) dx,

j4(h) = Ґ у х h  xf4(x) dx,   j3(r) = r у х 0  f3*(z) dz,

J_i(x) - функция Бесселя первого рода от действительного аргумента, K_i(x) - функция Макдональда, I_i(x) - функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента, L_i(x) - функция Струве от мнимого аргумента.
   Исключая A₁(a) из (22) и (23), для определения B(b) получаем следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

B(b) = W(b) + Ґ у х 0  B(g)K(g,b)dg,

(24)

где

B(b) = bB1(b),

(25)

W(b)  = 2 p у х b 0  rj3(r)J0(br)dr + 2 p · 1 n11 2 е j=1  a2jaj й л a у х 0  hj2(h)dh+        + Ґ у х a  j4(h)dh щ ы Ґ у х 0  aJ1(ah)da b у х 0  rJ0(br) й л I0(atjr) - L0(atjr) щ ы dr,

(26)

K(g,b) = 2 p · 1 n11 · g m21 2 е j=1  a2jaj 2 е k=1  b1k* Ґ у х a  hK1 ж з и g tk h ц ч ш dh ·        · Ґ у х 0  aJ1(ah)da b у х 0  rJ0(br) й л L0(atjr) - I0(atjr) щ ы dr.

(27)

   Исходя из результатов [4], доказана разрешимость уравнения (24). Решая (24) методом последовательных приближений, определяем B(b) = bB₁(b), далее по формулам (22), (15) и (14) определяем все искомые функции.
   Используя формулы (12), (11), (10), (8), (7) и (6), можно определить все компоненты термоупругого поля в любой точке полуплоскости.
   В частности, температурный поток и напряжения под штампом, а также напряжения вне разреза определяются по формулам:

qz(x,0) = 2 p qz(0) aj1(a) - 2 p qz(0) a у х x  j1(t) - tj1ў(t) dt    (0 < x < a),

sz(x,0) = 2 p · m22aj1(a) + m21[aj1(a) - j4(a) + F(a)] -

- 2 p a у х x  m21[j2(h) + hj2ў(h)] + m22[j1(h) + hj1ў(h)] dh +

+ 2 p m21 Ґ у х a  j4ў(h) - Fў(h) dh + 2 е k=1  bk* infty у х 0  b2e-btk-1xB1(b)db    (0 < x < a),

sx(0,z) = - 2 p n11z j3(b) + F1(b) + + 2 p n11z b у х 0  jў3(r) + Fў1(r) dr + 2 е j=1  a2jaj Ґ у х 0  a2e-atjzA1(a)da + + 2 е j=1  a2jbj Ґ у х 0  a2e-atjzC(a)da + sx(0) Ґ у х 0  a2e-[(a)/(l)]zC(a)da    (b < z < Ґ),

(28)

где

F(h) = h m21 2 е k=1  b1k* Ґ у х 0  b2K1 ж з и b tk h ц ч ш B1(b)db, F1(r) = - p 2 · 1 n11 2 е j=1  a2jaj Ґ у х 0  a2 й л I0(atjr) - L0(atjr) щ ы A1(a)da.

(29)

   Институт механики НАН РА
   ЕрГУАС

Литература

     1. Новацкий В.  Вопросы термоупругости. М. 1962. 364 с.
     2. Уздалев А.И.  Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. Изд. Сарат. ун-та. 1967. 167 с.
     3. Градштейн И.С., Рыжик И.М.  Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Наука. 1971. 1108 с.
     4. Тоноян В.С., Мелкумян С.А.  - ДАН Арм. 1991. Т. 92. N 3. С. 133-137.
     5. Мелкумян С.А.  - ДАН АрмССР. 1972. N 2. С. 82-93.
     6. Тоноян В.С., Мелкумян С.А.  - ДАН АрмССР. 1970. Т. 1. N 3. С. 144-149.
     7. Уфлянд Я.С.  Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л. Наука. 1977. 220 с.

---