МЕХАНИКА

УДК 539.3

С. А. Мелкумян, В. С. Тоноян

Контактная задача термоупругости для ортотропной полуплоскости с вертикальным конечным разрезом

(Представлено академиком Б.Л. Абрамяном 21/V 2003)

   Рассматривается плоская контактная задача термоупругости для ортотропной полуплоскости (z і 0, |x| < Ґ) с вертикальным конечным разрезом (0 < z < b) начиная с горизонтальной границы (z = 0). Главное направление ортотропии полуплоскости совпадает с направлением координатной оси.
   На конечном участке границы (|x| Ј a) полуплоскости приложен горячий жесткий штамп с основанием произвольной гладкой формы, расположенный симметрично относительно оси разреза (x = 0). Предполагается, что трение между штампом и полуплоскостью отсутствует, а граница вне штампа и разрез теплоизолированы. Также для простоты принимается, что граница полуплоскости вне штампа свободна от внешних напряжений, а в разрезе действует только нормальное давление.
   Рассматривается плоское деформированное состояние (Uy = 0,
/(y)] = 0, [(T)/(y)] = 0), и задача решается методом Фурье, когда в качестве основных неизвестных принимаются перемещения (Ux(x,z),Uz(x,z)) и температурная функция (T(x,z)). Решение задачи ищется в виде суммы интегралов Фурье. Поиск произвольных функций интегрирования в конечном счете сводится к решению системы из трех "парных" интегральных уравнений. Эта система, в свою очередь, сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Показано, что решение последнего уравнения может быть найдено методом последовательных приближений. Выведены все расчетные формулы для определения напряженно-деформированного состояния в любой точке полуплоскости.
   В частных случаях, когда длина разреза стремится к нулю или к бесконечности, показано, что получается контактная задача плоской теории термоупругости для полуплоскости без разреза и для четвертьплоскости (квадранта) соответственно.
   Так как задача симметрична относительно оси разреза (x = 0), то можно ограничиться   рассмотрением   только   четверти   плоскости  (0 < x < Ґ,  0 < z < Ґ), соответствующей граничным условиям:
qx(0,z) = 0, (0 < z < Ґ),
(1)
T(x,0) = f1(x), (0 < x Ј a), qz(x,0) = 0, (a < x < Ґ),
(2)
tzx(x,0) = 0, (0 < x < Ґ), txz(0,z) = 0, (0 < z < Ґ),
(3)
uz(x,0) = f2(x), (0 < x Ј a), sz(x,0) = 0, (a < x < Ґ),
(4)
sx(0,z) = f3(z), (0 < z < b), ux(0,z) = 0, (b Ј z < Ґ).
(5)

   Решение задачи ищем в виде сумм интегралов Фурье:
ux(x,z) = Ґ
у
х
0 
a
U
 
(a,z)sinaxda + Ґ
у
х
0 
b
U
 
*
 
(b,x)cosbzdb,
uz(x,z) = Ґ
у
х
0 
a
W
 
(a,z)cosaxda + Ґ
у
х
0 
b
W
 
*
 
(b,x)sinbzdb,
T(x,z) = Ґ
у
х
0 
a2
T
 
(a,z)cosaxda + Ґ
у
х
0 
b2
T
 
*
 
(b,x)cosbzdb,
(0 < x < Ґ,  0 < z < Ґ).
(6)

   Затухающие в бесконечности неизвестные плотности интегралов Фурье (6) представляются в виде:

U
 
(a, z) = 1
c11
2
е
j=1 
D1(tj)Aj(a)e-atjz - 1
c11
C(a)e-[(a)/(l)]z,

U
 
*
 
(b,x) = 1
c11
2
е
k=1 
D1(tk)
tk2
Bk(b)e -[(b)/(tk)]x - l
c11
D(b)e-lbx,

W
 
(a, z) = 1
c44
2
е
j=1 
D2(tj)Aj(a)e-atjz - 1
l
k*
c11
C(a)e -[(a)/(l)]z,

W
 
*
 
(b,x) = 1
c11
2
е
k=1 
D2(tk)Bk(b)e -[(b)/(tk)]x - k*
c44
D(b)e-lbx,

T
 
(a, z) = 1
l2
· d
T0g11
C(a)e-[(a)/(l)]z,   
T
 
*
 
(b, x) = - d
g11T0
D(b)e-lbx.
(7)

   Здесь Aj(a), Bk(b), C(a), D(b) - неизвестные функции интегрирования, которые можно определить из условий (1)-(5), а плотности и коэффициенты, входящие в (7) определяются по формулам:
D1(tk) = ж
з
и
c13
c44
+ 1 ц
ч
ш
tk,    D2(tk) = 1 - c44
c11
tk2,
k* =
l33
l11
- c44
c11
- g33
g11
ж
з
и
l33
l11
- c44
c11
ц
ч
ш

c33
c44
- l33
l11
- g33
g11
· c13 + c44
c44
,
d =
l33
l11
ж
з
и
1 + c13 + c44
c44
· c13 + c44
c11
ц
ч
ш
- c44
c11

T0 ж
з
и
c33
c44
- l33
l11
- g33
g11
· c13 + c44
c44
ц
ч
ш
.
(8)

   Из решения биквадратного уравнения
c33
c11
t4 + ж
з
и
c13c13
c44c11
+ 2 c13
c11
- c33
c44
ц
ч
ш
t2 + 1 = 0
(9)

определяется tk ( Re tk > 0).
   В формулах (6)-(9) имеем: c11, c13, c33 и c44 - модули упругости материала, l2 = [(l33)/(l11)] - отношение коэффициентов теплопроводности тела в направлении оси 0z и перпендикулярном к ней, g11g33 - температурные коэффициенты механических напряжений, соответственно по направлению оси 0x и 0z, T =- T0 - относительная, абсолютная и начальная температура.
   Используя основные соотношения теории термоупругости [1,2] для исследуемой среды и (6), (7), можно все компоненты термоупругого поля выразить через Aj(a), Bk(b), C(a) и D(b):

sx(x,z) = Ґ
у
х
0 
a2
s
 

x 
(a,z)cosaxda + Ґ
у
х
0 
b2
s
 
*
z 
(b,x)cosbzdb,
sz(x,z) = Ґ
у
х
0 
a2
s
 

z 
(a,z)cosaxda + Ґ
у
х
0 
b2
s
 
*
x 
(b,x)cosbzdb,
tzx(x,z) = Ґ
у
х
0 
a2
t
 

zx 
(a,z)sinaxda + Ґ
у
х
0 
b2
t
 
*
zx 
(b,x)sinbzdb,
qx(x,z) = Ґ
у
х
0 
a3
q
 

x 
(a,z)sinaxda + Ґ
у
х
0 
b3
q
 
*
x 
(b,x)cosbzdb,
qz(x,z) = Ґ
у
х
0 
a3
q
 

z 
(a,z)cosaxda + Ґ
у
х
0 
b3
q
 
*
z 
(b,x)sinbzdb.
(10)
Здесь:
(a,z) = 2
е
j=1 
й
к
л
D1(tj) - c13
c44
D2(tj)tj щ
ъ
ы
Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z,
(b,x) = 2
е
k=1 
й
к
л
- D1(tk)
tk3
+ c13
c44
D2(tk) щ
ъ
ы
Bk(b)e-[(b)/(tk)]x -D(b)e-lbx,
(a,z) = 2
е
j=1 
й
к
л
c13
c11
D1(tj) - c33
c44
D2(tj)tj щ
ъ
ы
Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z,
(b,x) = 2
е
k=1 
й
к
л
- c13
c11
· D1(tj)
tk3
+ c33
c44
D2(tj) щ
ъ
ы
Bk(b)e-[(b)/(tk)]x -C(b)e-lbx,
(a,z) = 2
е
j=1 
й
к
л
c44
c11
D1(tj)tj + D2(tj) щ
ъ
ы
Aj(a)e-atjz + C(a)e-[(a)/(l)]z,

(b,x) = - 2
е
k=1 
й
к
л
c44
c11
· D1(tj)
tk2
- D2(tk)
tk
щ
ъ
ы
Bk(b)e-[(b)/(tk)]x +D(b)e-lbx,
(a,z) = qx(0)C(a)e-[(a)/(l)]z,     (b,x) = D(a)e-lbx,
(a,z) = qz(0)C(a)e-[(a)/(l)]z,     (b,x) = D(a)e-lbx,
(11)
где
sx(0) = c13
c44
· k*
l2
- d
T0l2
-1,    = l2 - c13
c44
k* + d
T0
,
sz(0) = c33
c44
· k*
l2
- c13
c11
- d
T0l2
,       = c13
c11
l2 - c33
c44
k* + d
T0
· g33
g11
,
= ж
з
и
c44
c11
+ k* ц
ч
ш
1
l
,       = ж
з
и
c44
c11
+ k* ц
ч
ш
l,
qx(0) = d
g11
· l11
T0l2
,       = - d
g11
· l11l
T0
,
qz(0) = d
g11
· l33
T0l3
,       = - d
T0
· l33
g11
.
(12)
   Удовлетворяя граничным условиям (1) и (3), получаем:
D(b) = 0,
(13)
Aj(a) = ajAj(a) + bjC(a),
(14)
Bk(b) = bk*B1(b),
(15)
где
a1 = 1, b1 = 0, a2 = - a11
a12
, b2 = tzx(0)
a12
, b1* = 1, b2* = - b11
b12
,
a1j = c44
c11
D1(tj)tj + D2(tj), j = 1,2,    b1k = c44
c11
· D1(tk)
tk2
- D2(tk)
tk
, k = 1,2.
(16)

Имея в виду (13), (14), (15) и удовлетворяя смешанным граничным условиям (2), (4), (5), решение задачи сведено к решению следующих систем из трех парных интегральных уравнений [3]:

м
п
п
н
п
п
о
Ґ
у
х
0 
a2C(a)cosaxda = l2T0g11
d
f1(x)    (0 < x Ј a),
Ґ
у
х
0 
a3C(a)cosaxda = 0    (0 < x < Ґ)
(17)

м
п
п
н
п
п
о
Ґ
у
х
0 
aA1(a)cosaxda = f2*(x)    (0 < x Ј a),
Ґ
у
х
0 
a2a1(a)cosaxda = f4(x) - 1
m21
2
е
k=1 
b1k* Ґ
у
х
0 
b2e-[(b)/( tk)]xB1(b)db    (a < x < Ґ),
(18)
м
п
п
н
п
п
о
Ґ
у
х
0 
b2B1(b)cosbzdb = f3*(z) - 1
n11
2
е
j=1 
a2jaj Ґ
у
х
0 
a2e-atjzA1(a)da    (0 < z < b)
Ґ
у
х
0 
bB1(b)cosbzdb = 0    (b Ј z < Ґ),
(19)
где
f2*(x) = 1
m11
f2(x) - m12
m11
Ґ
у
х
0 
aC(a)cosaxda,
f4(x) = - m22
m21
Ґ
у
х
0 
a2C(a)cosaxda,
f3*(z) = 1
n11
f3(z) - 1
n11
2
е
j=1 
a2jbj Ґ
у
х
0 
a2e-atjzC(a)da - 1
n11
sx(0) Ґ
у
х
0 
a2e-[(a)/(l)]z C(a)da,
m11 = 1
c44
2
е
j=1 
D2(tj)aj,       m12 = 1
c44
й
к
л
2
е
j=1 
D2(tj)bj - k*
l
щ
ъ
ы
,
m21 = 2
е
j=1 
й
к
л
c13
c11
D1(tj) - c33
c44
D2(tj)tj щ
ъ
ы
aj, m22 = 2
е
j=1 
й
к
л
c13
c11
D1(tj) - c33
c44
D2(tj)tj щ
ъ
ы
bj + sz(0),
n11 = 2
е
k=1 
й
к
л
- D1(tk)
tk3
+ c13
c44
D2(tk) щ
ъ
ы
bk*,       a2j = D1(tj) - c13
c44
D2(tj)tj,
(20)

решения, подобные (17), (18), (19) - парные интегральные уравнения рассматривались в работах [4-7] и др.
   Решая эти уравнения методом преобразующих операторов, получаем:

C(a) = -  2
p
· 1
a2
a
у
х
0 
tj1(t)J1(at)dt
(21)

A1(a) = -  2
p
· 1
a
a
у
х
0 
hj2(h)J1(ah)dh - 2
p
· 1
a
Ґ
у
х
a 
j4(h)J1(ah)dh +
       + 2
p
· 1
a
· 1
m21
2
е
k=1 
b1k* Ґ
у
х
0 
b2B1(b)db Ґ
у
х
a 
hK1 ж
з
и
b
tk
h ц
ч
ш
J1(ah)dh,
(22)

B1(b) = 2
p
· 1
b
b
у
х
0 
rj3(r)J0(br)dr - 1
n11
2
е
j=1 
a2jaj b
у
х
0 
r[ I0(atjr) - L0(atjr)] J0(br)dr,
(23)
где
j1(t) = l2T0g11
d
· d
dt
t
у
х
0 
f1(x)
dx,   j2(h) = d
dh
h
у
х
0 
f2*(x)
dx,
j4(h) = Ґ
у
х
h 
xf4(x)
dx,   j3(r) = r
у
х
0 
f3*(z)
dz,

Ji(x) - функция Бесселя первого рода от действительного аргумента, Ki(x) - функция Макдональда, Ii(x) - функция Бесселя первого рода от мнимого аргумента, Li(x) - функция Струве от мнимого аргумента.
   Исключая A1(a) из (22) и (23), для определения B(b) получаем следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
B(b) = W(b) + Ґ
у
х
0 
B(g)K(g,b)dg,
(24)
где
B(b) = bB1(b),
(25)

W(b)  = 2
p
у
х
b

0 
rj3(r)J0(br)dr + 2
p
· 1
n11
2
е
j=1 
a2jaj й
л
a
у
х
0 
hj2(h)dh+
       + Ґ
у
х
a 
j4(h)dh щ
ы
Ґ
у
х
0 
aJ1(ah)da b
у
х
0 
rJ0(br) й
л
I0(atjr) - L0(atjr) щ
ы
dr,
(26)

K(g,b) = 2
p
· 1
n11
· g
m21
2
е
j=1 
a2jaj 2
е
k=1 
b1k* Ґ
у
х
a 
hK1 ж
з
и
g
tk
h ц
ч
ш
dh ·
       · Ґ
у
х
0 
aJ1(ah)da b
у
х
0 
rJ0(br) й
л
L0(atjr) - I0(atjr) щ
ы
dr.
(27)

   Исходя из результатов [4], доказана разрешимость уравнения (24). Решая (24) методом последовательных приближений, определяем B(b) = bB1(b), далее по формулам (22), (15) и (14) определяем все искомые функции.
   Используя формулы (12), (11), (10), (8), (7) и (6), можно определить все компоненты термоупругого поля в любой точке полуплоскости.
   В частности, температурный поток и напряжения под штампом, а также напряжения вне разреза определяются по формулам:
qz(x,0) = 2
p
qz(0) aj1(a)
- 2
p
qz(0) a
у
х
x 
j1(t) - tj1ў(t)
dt    (0 < x < a),
sz(x,0) = 2
p
· m22aj1(a) + m21[aj1(a) - j4(a) + F(a)]
-
- 2
p
a
у
х
x 
m21[j2(h) + hj2ў(h)] + m22[j1(h) + hj1ў(h)]
dh +
+ 2
p
m21 Ґ
у
х
a 
j4ў(h) - Fў(h)
dh + 2
е
k=1 
bk* infty
у
х
0 
b2e-btk-1xB1(b)db    (0 < x < a),

sx(0,z) = - 2
p
n11z j3(b) + F1(b)
+
+ 2
p
n11z b
у
х
0 
jў3(r) + Fў1(r)
dr + 2
е
j=1 
a2jaj Ґ
у
х
0 
a2e-atjzA1(a)da +
+ 2
е
j=1 
a2jbj Ґ
у
х
0 
a2e-atjzC(a)da + sx(0) Ґ
у
х
0 
a2e-[(a)/(l)]zC(a)da    (b < z < Ґ),
(28)
где
F(h) = h
m21
2
е
k=1 
b1k* Ґ
у
х
0 
b2K1 ж
з
и
b
tk
h ц
ч
ш
B1(b)db,
F1(r) = - p
2
· 1
n11
2
е
j=1 
a2jaj Ґ
у
х
0 
a2 й
л
I0(atjr) - L0(atjr) щ
ы
A1(a)da.
(29)

   Институт механики НАН РА
   ЕрГУАС


Литература

     1. Новацкий В.  Вопросы термоупругости. М. 1962. 364 с.
     2. Уздалев А.И.  Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. Изд. Сарат. ун-та. 1967. 167 с.
     3. Градштейн И.С., Рыжик И.М.  Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. Наука. 1971. 1108 с.
     4. Тоноян В.С., Мелкумян С.А.  - ДАН Арм. 1991. Т. 92. N 3. С. 133-137.
     5. Мелкумян С.А.  - ДАН АрмССР. 1972. N 2. С. 82-93.
     6. Тоноян В.С., Мелкумян С.А.  - ДАН АрмССР. 1970. Т. 1. N 3. С. 144-149.
     7. Уфлянд Я.С.  Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л. Наука. 1977. 220 с.