a2+ b2+ (a2 - b2)= s2+ V0s(x - k|z|) - (V0 + Vў)s(k|z| - x), b2+ a2+ (a2 - b2)= s2

(2)

где a, b - скорости продольных и поперечных упругих волн.
   Из закона сохранения количества движения в предположении, что массы тел одинаковы, следует, что после слияния они имеют скорость [(Vў)/2] и все последующие выкладки имеют место в системе координат, движущейся по оси x со скоростью [(Vў)/2], в которой тела после соударения неподвижны. Далее вводится преобразование Фурье по x, z

x,z exp{-s(ax + gz)}dd   = wa,   = wg,

(3)

где s = -iw есть параметр преобразования Лапласа.
   Из (2), (3) после обращения преобразования Фурье можно получить:

x   = b2a2 + a2g2 - 1 (a2a2 + b2g2 - 1)(b2a2 + a2g2 - 1) - (a2 - b2)2a2g2 × × 1 s2(2p)2    Ґ уу хх -Ґ  es(axў+gzў){ V0s(xў- k(|zў|)) - (V0 + Vў)s(k(|zў|) - xў)} dxўdzў, z   = - (a2 - b2)ag b2a2 + a2g2 - 1 x   .

(4)

Вычисляя интегралы, получим:

Ґ у х -Ґ  esgzўdzў Ґ у х k|zў|  esgxўV0dxў- Ґ у х -Ґ  esgzў(V0 + Vў)dzў k|zў| у х -Ґ  esaxўdxў= = 2V0 + Vў -s2 k g2 - a2k2 .

(5)

Поскольку

(a2a2 + b2g2 - 1)(b2a2 + a2g2 - 1) - (a2 - b2)2a2g2 = a2b2(g2 - g12)(g2 - g22), g12 = 1 a2 - a2,       g22 = 1 b2 - a2,

из (4), (5) можно получить:

x   = b2a2 + a2g2 - 1 2D (2V0 + Vў)k, z   = -(2V0 + Vў)k(a2 - b2) ag 2D , D = (pabsw)2(g2 - a2k2)(g2 - g12)(g2 - g22).

(6)

Подставляя (6) в (3) и вычисляя при z > 0 вычеты в точках =_1,2, можно получить:

= Ґ у х -Ґ  e-s(ax+g1z)i a2 2s2(g12 - a2k2)g1 (2V0 + Vў)kda + + Ґ у х -Ґ  e-s(ax+gz)2i g2 2pa2s2(g22 - a2k2) (2V0 + Vў)kda,

(7)

= -(2V0 + Vў)k м н о - Ґ у х -Ґ  e-s(ax+g1z)i a 2ps2(g12 - a2k2) da + + Ґ у х -Ґ  e-s(ax+g2 z)i a 2ps2(g22 - a2k2) da ь э ю ,

(8)

   Переходя к оригиналам, проводя контуры по a в комплексной плоскости через точки Смирнова - Соболева

f1,2(a1,2) = t - a1,2x - g1,2(a1,2)z,       f1,2(a1,2) = 0

и вычисляя интегралы от дельта-функций, можно получить

¶2ux ¶x¶t = - (2V0 + Vў)k p Re i м н о a13 g1(g12 - a12k2)fў1(a1) + g2a2 (g22 - a22k2)fў2(a2) ь э ю , ¶2uz ¶x¶t = (2V0 + Vў)k p Re i м н о - a12 (g12 - a12k2)fў1(a1) + a22 (g22 - a22k2)fў2(a2) ь э ю .

(9)

   Определим вначале решение вне точечных волн, позади плоских продольных волн AB: x = kz -at, и поперечных плоских волн: x = kz - bt, для этого следует вычислить вычеты в (7), (8) в точках a = -[1/(a)], a = -[1/(b)]. Отсюда получим решение вне точeчных волн для x < 0:

(10)

соответствующее решению позади плоских волн для z > 0. Точнo так же получается решение позади продольных волн A₁B₁: x = kz + at, и поперечных волн: x = kz + bt. При этом, вычислив вычеты в (7),(8) в точках a = [1/(a)], a = [1/(b)], получим решение (10) позади идущих вправо плоских волн для x > 0 с соответствующей заменой единичных функций. Таким образом, между плоскими волнами AB и A₁B₁

¶ux ¶x =- 2V0 + Vў 2(1 + k2)[3/2]a ,       ¶uz ¶z = - (2V0 + Vў)k2 2(1 + k2)[3/2]a ,

а между соответствующими поперечными плоскими волнами добавится

- 2V0 + Vў 2(1 + k2)[3/2]a k2,       (2V0 + Vў)k2 2(1 + k2)[3/2]a .

   Теперь  найдем   [(¶u_x)/(¶x)],   [(¶u_z)/(¶z)]  внутри  точечных  волн.  Из  (9)  с  учетом [(¶a_1,2)/(¶t)] = -[1/(fў_1,2(a_1,2))]  получим:

¶ux ¶x = (2V0 + Vў)k p Re i м н о у х a13da1 g1(g12 - a12k2) - у х g2a2da2 g22 - a22k2 ь э ю , ¶uz ¶z = -(2V0 + Vў)k p Re i м н о - у х a1g1da1 g12 - a12k2 + у х g2a2da2 g22 - a22k2 ь э ю ,

(11)

причем

a1 =,       a2 =.

(12)

Вычисляя интегралы, вводя полярные координаты x = rcosj, z = rsinj, отделяя действительные части в (11) и записывая ветвь арктангенса, для которой arctg(-x) = p - arctg x, можно получить решение внутри точечных продольных и поперечных волн при x < 0 в виде

p (2V0 + Vў)k ¶ux ¶x = c1 - c2 - c3 - c4, p (2V0 + Vў)k ¶uz ¶z = c1 + c2 - c3k2 + c4,

(13)

где

c1 =      c2 =

(14)

где cosj₀ = [k/()].
   Очевидно, что вне поперечных волн следует полагать c₂ = 0, c₄ = 0. Постоянные интегрирования в (13) выбраны так, чтобы на волнах r = at, r = bt при sinj < cosj₀ получить нулевое решение, а при sinj > cosj₀, поскольку выбрана ветвь arctg (-0) = p, получить из (13) решение (10), что завершает аналитическое решение задачи.

   Институт механики НАН Армении
   Горисский филиал Государственного инженерного университета Армении

Литература

     1. Мартиросян А.Н.  Решение некоторых нестационарных граничных задач теории упругости. Канд. дис. Ереван. 1977. 150 с.