справедливо для всех x і 0 и y і 0 (и a і 1).
     2. Ограниченные множества в пространствах N log^a N, a і 1. По определению подмножество E линейно-топологического пространства T называют ограниченным, если для любой окрестности V нуля пространства T существует такое число l₀ > 0 (зависящее от V, т.е. l₀=l₀(V)), что множество lE={lx;  x О E} содержится в V для всех l О C, |l| < l₀ (см., например, [6], гл. III, § 5, п.1).
   Теорема 1. Множество A в (F)-пространстве Nlog^a N, a і 1, ограничено тогда и только тогда, когда
   a) A ограничено по метрике r_a, т.е. существует такая конечная постоянная K і 0, что |f|_a Ј K для всех f О A, и
   б) семейство функций {j_a(log(1+|f^*(g)|));  gОG}_fОA имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы, т.е. для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, d = d(e), что

для всех измеримых множеств Y на G с мерой sY < d и всех функций f из множества A.
   Доказательство. Необходимость. Пусть множество A ограничено в линейно-топологическом пространстве Nlog^a N, a і 1.
   Чтобы доказать выполнение условия а) теоремы, рассмотрим в качестве окружности  нуля  в  определении   ограниченности   открытый  шар  V={f О Nlog^a N;  |f|_a < 1}  единичного  радиуса  с  центром  в  нуле. В силу ограниченности множества A для этой окружности найдется такое положительное число l₀, что для всех l О C, |l| Ј l₀ справедливо вложение lA М V, т.е. |lf|_a < 1 для всех f О A. Воспользовавшись неравенствами (4) при l = l₀ > 0, имеем min(1,l₀)|f_a| Ј |l₀ f|_a < 1 для всех f О A, откуда |f|_a < max(1,l₀^-1) = K для всех f О A.
   Для проверки справедливости условия б) теоремы рассмотрим в качестве окрестностей  нуля  в  пространстве  Nlog^a N,  a і 1,  открытые  шары V_e={f О Nlog^a N;  |f|_a < e/2^a+2} радиуса e/2^a+2 с центром в нуле, где число e > 0 произвольное. В силу ограниченности множества A существует такое число l₀ > 0 (зависящее от e, l₀ = l₀(e)), что для всех l О C, |l| Ј l₀ выполнено вложение lA М V_e, т.е. |lf|_a < e/2^a+2 для всех f О A. Рассмотрим произвольное измеримое множество Y на G. Воспользовавшись указанным выше неравенством (5) и формулой (3), получим оценки

то т_Yj_a( log(1+|f^*(g)|))s(dg) < [(e)/2]+[(e)/2] = e для всех f О A, т.е. выполнено условие б) теоремы.
   Достаточность. Пусть теперь для множества A (F)-пространства Nlog^a N, a і 1, выполнены условия а) и б) теоремы. Так как любая окружность V нуля метрического пространства Nlog^a N, a і 1, содержит некоторый открытый шар V₀ положительного радиуса e₀ > 0 с центром в нуле, т.е. V Й V₀={f О Nlog^a N; |f|_a < e₀}, то достаточно проверить определение ограниченности множества A для окружности V₀ нуля в Nlog^a N, a і 1.
   Согласно условию б) теоремы для e₀ > 0 существует такое d₀ > 0, что

для любого измеримого на G множества Y с мерой sY < d₀ и произвольной функции f О A. Согласно условию а) теоремы существует такая конечная постоянная K і 0, что |f|_a Ј K для всех f О A, так что, по неравенству Чебышева, для множеств Y_n (f) = {g О G; |f^*(g) і n}, n О N, f О A, справедлива оценка

в которой использована также формула (3). Следовательно, найдется такое натуральное число n₀, что все множества Y_n0(f), f О A, имеют меру меньшую d₀, и поэтому в неравенстве (6) можно положить Y=Y_n0(f). Тогда для произвольного l О C, |l| Ј 1 и любой функции f О A получим

   Выбирая l₀ = l₀(e₀) > 0 таким образом, чтобы были выполнены неравенства l₀ Ј 1 и j_a(log(1+l₀n₀)) Ј e₀/2, заключаем, что для любой функции f О A и любого l О C, |l| Ј l₀, выполнено неравенство |lf|_a < [(e₀)/2]+[(e₀)/2]=e₀, т.е. lA М V₀ М V и множество A ограничено в линейно-топологическом пространстве Nlog^a N, a Ј 1.
   Укажем стандартный пример ограниченного множества в Nlog^a N, a Ј 1. Рассмотрим произвольную функцию f О Nlog^a N и функцию f_r, 0 Ј r < 1, определяемые формулой f_r(z) = f(rz), z О G. Тогда множество { f}_{0 Ј r < 1} ограничено в Nlog^a N, поскольку условие а) теоремы 1 выполнено в силу принадлежности функции f классу Nlog^a N (см. формулу (1)), а условие б) есть не что иное, как пункт 6) утверждения 1 статьи [1].

     3. Вполне ограниченные множества в пространствах N log^a N, a і 1. Понятие полной ограниченности множества можно трактовать разными способами (см. [2-7]). Однако в полных метрических пространствах (а пространство Nlog^a N, a Ј 1, таковым в метрике r_a является на основании результатов статьи [1]) свойство полной ограниченности множества равносильно свойству его относительной компактности, т.е. тому, что из любой последовательности элементов множества можно выделить сходящуюся подпоследовательность (см. например [6], гл. II, §7, теорема 3).
   Теорема 2. Множество B М Nlog^a N, a і 1, вполне ограничено в пространстве Nlog^a N тогда и только тогда, когда
   а) B ограничено в Nlog^a N (как в линейно-топологическом пространстве), и
   б) семейство функции { f^*(g);g О G}_{f О B} относительно компактно в топологии сходимости по мере s на G.
   Доказательство. Необходимость. Пусть множество B вполне ограничено в линейно-топологическом пространстве Nlog^a N, a і 1. Поскольку утверждение об ограниченности вполне ограниченных множеств является общим результатом теории линейно-топологических пространств (см. например [8], гл. 2, § 7, п. 5), то условие а) теоремы выполнено.
   Для проверки выполнения условия б) теоремы рассмотрим произвольную последовательность (g_n) функции семейства { f^*(g);g О G}_{f О B}. Тогда, по определению этого семейства, существует такая последовательность функций (f_n) в множестве B, что = g_n почти всюду на G для каждого n О N. Вполне ограниченное множество B относительно компактно в Nlog^a N, и, следовательно, из последовательности (f_n) можно выделить подпоследовательность (f_nk), n_k+1 > n_k, k О N, сходящуюся к некоторой функции f О Nlog^a N по метрике r_a. Согласно неравенству Чебышева и формуле для |f|_a в свойстве 1)

s{ g О G;  |(g) - (g)| і e} Ј |fnk-fnl| ja(log(1 + e)) ® 0 при  k,l ® Ґ

при каждом фиксированном e > 0, т.е. подпоследовательность (g_nk) = () фундаментальна по мере s. Таким образом, из любой последовательности функций семейства { f^*(g);  g О G}_{f О B} мoжно выделить фундаментальную по мере s подпоследовательность, и, так как метрика сходимости по мере s полна, то семейство { f^*(g);  g О G}_{f О B} относительно компактно и свойство б) установлено.
   Достаточность.  Пусть множество B пространства Nlog^a N удовлетворяет условиям а) и б) теоремы; рассмотрим произвольную последовательность (f_n) функции f_n О B, n О N. Так как измеримые на G функции f_n, n О N, содержатся в семействе { f^*(g);  g О G}_{f О B}, то согласно условию б) существует подпоследовательность , сходящаяся по мере s к некоторой измеримой на G функции g. По теореме Ф. Рисса, в () существует подпоследовательность (), сходящаяся к g почти всюду на G. Обозначим _l=, l О N; m О N. Согласно условию а) доказываемой теоремы и условию а) теоремы 1 существует такая конечная постоянная K і 0, что

т.е. функция j_a(log(1+|g|)) интегрируема по s на G. В силу условия б) теоремы 1 последовательность {j_a(log(1+||))} имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы, что вместе с уже доказанным свойством интегрируемости функции j_a(log(1+|g|)) влечет равностепенную абсолютную непрерывность интегралов последовательности {j_a(log(1+|-g|))}, поскольку согласно элементарному неравенству

ja(log(1 + | - g|)) Ј ja(log(1 + ||)) + ja(log(1 + |g|)).

   Поэтому для последовательности {j_a(log(1 + - g|))} выполнены все условия общей предельной теоремы (см. [6], с. 28), на основании которой заключаем, что

у х G  ja(log(1 + |fm*(g) - g(g)|))s(dg) ® 0  при  m ® +Ґ,

и, применяя неравенство (7), получим, что

|fm - fp|a = у х G  ja(log(1 +  |fm*(g) - fp*|))s(dg) ® 0

при m,p ® +Ґ, т.е. что подпоследовательность (f_m) = (f_Vkl) фундаментальна. Итак, любая последовательность функций множества B содержит фундаментальную подпоследовательность и множество B вполне ограничено в пространстве Nlog^a N, a і 1.
   Рассмотренное в предыдущем пункте ограниченное в пространстве Nlog^a N, a і 1,  множество  {f_r}_{0 Ј r < 1},  порожденное  произвольной  функцией f О Nlog^a N, a і 1, по формуле f_r(z) = f(rz), z О G, 0 Ј r < 1, предоставляет также пример вполне ограниченного множества в Nlog^a N, a і 1. Действительно, справедливость условия а) теоремы 2 для множества { f_r}_{0 Ј r < 1} доказана в предыдущем пункте. Чтобы проверить выполнение условия б) теоремы 2, рассмотрим произвольную последовательность {}, 0 Ј r_k < 1, k О N и заметим, что (g) = f(r_kg), g О G, k О N. Если последовательность r_k имеет предельную точку внутри промежутка [0,1), скажем r₀, 0 Ј r₀ < 1, то в силу равномерной непрерывности функции f на компактах внутри G последовательность (f_rk) сходится на G к функции f_r0 равномерно, и следовательно, и по мере s. Если же r_k ® 1 при k ® Ґ, то (f_rk) сходится к f^* почти всюду на G, а значит, и по мере s. Таким образом, в обоих случаях множество {f_r}_{0 Ј r < 1} удовлетворяет условию б) теоремы 2 и поэтому вполне ограниченно в Nlog^a N, a і 1.

     Государственный инженерный университет Армении