где m₂ = (0.067 + 0.083x)m_e - эффективная масса электрона в среде из Ga_1-xAl_xAs, a = [(e²)/(e)], e - заряд электрона, Y₁- волновая функция электрона в КТ, Y₂- волновая функция электрона в окружающей среде, e є e₁ = e₂ - диэлектрическая проницаемость КТ и окружающей среды (для GaAs e = 13.18). При этом мы пренебрегли разницей между e₁ и e₂, так как обусловленный этой разницей эффект мал. Как видно из гамильтониана, электрон находится в сферической яме с эффективной потенциальной энергией U_eff(r) = U(r) - a/r (см. рис. 1). Так как данная задача не является точно решаемой, мы будем рассматривать ее в рамках вариационного метода. Для этого на первой стадии обсудим задачу о поведении электрона внутри ямы с потенциалом (1) в отсутствие примесного центра. Тогда задача о нахождении волновых функций в двух областях r і r₀ и r < r₀ становится точно решаемой, и соответствующие решения будут иметь вид

где a₁ = [(m₁w)/((ħ)], n_l = -[1/2]([E/(ħw)] - l - [3/2]), k_l = , C_l² = [1/(I_1l + A_l²I_2l)], A_l = [(e^{-[(a₁r2)/2]} r^l ₁F₁[n_l,l + [3/2]; a₁r²])/(h_l⁺(ik_lr))], I_1l = ^-a₁r2 r^2l+2{ ₁F₁[n_l,l + [3/2]; a₁r²]}²dr,
I_2l = ²{h_l⁽⁺⁾(ik_lr)}²dr, 

l,m - соответственно орбитальное и магнитное квантовые числа, ₁F₁ - вырожденная гипергеометрическая функция первого рода, h_l⁽⁺⁾- функция Ганкеля мнимого аргумента, Y_lm- шаровые функции. Постоянные C_l и A_l определяются из условий нормировки и непрерывности логарифмических производных функций Y₁ и Y₂ в точке r = r₀. Соответствующий E_nl энергетический спектр беспримесной задачи можно определить из условия [1/(m₁)][(Y^ў₁)/(Y₁)]| = [1/(m₂)][(Y^ў₁)/(Y₂)]|.

   Далее, для обсуждаемой задачи пробные вариационные волновые функции основного состояния будем рассматривать в виде

Yv(r) = м п п н п п о Yv1(r) = Cv e-[(a1r2)/2] 1F1 й к л n0, 3 2 ; a1r2 щ ъ ы e-l[r/(aB1)],    r < r0 Yv2(r) = CvAvA0 e-k0r k0r e-l[r/(aB1)],    r і r0,

(5)

где мы учли, что h₀⁽⁺⁾(r) = [(e^ir)/(r)], a A₀ = e^{-[(a₁)/2]r₀2} k₀r₀[(₁F₁[n₀,[3/2];a₁r₀²])/(e^-k₀r₀)], l - вариационный параметр, A_v = exp(-l[(r₀)/(a_B1)](1-a_B1/a_B2)), a_B2 = [(m₁)/(m₂)]a_B1- эффективный боровский радиус в среде из Ga_1-xAl_xAs. Постоянная нормировки C_v выражается через вариационный параметр l посредством соотношения

где -гамильтониан беспримесной задачи в области r < r₀ (r і r₀), и подставляя выражения для волновых функций (5) в (8), после преобразований для E_v получим

   3. На рис. 2 представлен график зависимости энергии основного состояния примеси от радиуса КТ, ограничивающий потенциал которой имеет вид (1) (кривая 1). Для сравнения на том же рисунке представлена аналогичная зависимость для примеси, находящейся в КТ с прямоугольным ограничивающим потенциалом конечной высоты [8-10]. Из рисунка следует, что основной уровень данной задачи лежит выше соответствующего уровня примеси в КТ с прямоугольным ограничивающим потенциалом. С ростом r₀ энергия примеси уменьшается, стремясь к значению -E_R1 при r₀ ® Ґ [8]. При этом разность энергий, соответствующих случаям m₁ = m₂ и m₁ № m₂ (учет разности эффективных масс приводит к опусканию уровня) стремится к нулю. Это обусловлено ослаблением влияния окружающей среды на состояния примесного электрона, локализованного в области центра КТ. Отметим, что для нашей модели эта разница исчезает быстрее, так как при фиксированном радиусе КТ область локализации электрона меньше, чем в случае прямоугольной ямы. Важно учесть также, что возникновение примесных уровней носит пороговый характер, так как о них имеет смысл говорить начиная со значений радиусов КТ, когда в ней имеется связанное состояние при отсутствии примеси. Определив энергию связи примеси E_b как разность между основной энергией беспримесной задачи E₀ и E_v, т.е. E_b = E₀ - E_v, можно построить зависимость E_b от r₀. На рис.3 даны графики этих зависимостей для нашего (кривая 1) и прямоугольного (кривая 2) потенциалов. Из них следует, что с уменьшением r₀ энергия связи увеличивается, достигая максимального значения. E_b, соответствующая нашему случаю, достигает максимального значения при большем радиусе r₀, так как из-за формы потенциала электрон раньше "вылетает" из КТ [10]. В то же время для

прямоугольной ямы этот радиус меньше, а максимум E_b больше, так как в этом случае электрон прежде чем «вылететь» из ямы успевает ближе подойти к примесному центру. Аналогичным образом интерпретируется и причина достижения максимума E_b при больших r₀ для случая m₁ = m₂ по сравнению со случаем m₁ № m₂.
   ^а) Ереванский государственный университет
   ^б) Российско-Армянский (Славянский) государственный университет