УДК 517.518.8, 517.538.3, 517.982

1. Схема для бесконечных рядов
   1.1. Рассмотрим Банахово пространство B над полем комплексных чисел и некоторый базис {a_n}  (n = 0, 1, 2, ...) в нем.
   Пусть задан степенной ряд (производящая функция системы {a_n})

g(w) = Ґ е n=0  gn wnan,     {gn} М C,     w О C,

(1)

сходящийся при |w| < R_g  (0 < R_g Ј Ґ) и g_n № 0 при n і N_g.
   Для произвольного f О B,  f =a_n, и целого N і 0 обозначим

SN(f) = N-1 е n=0  anan,     RN(f) = Ґ е n=N  anan.

(2)

  Таким образом, f = S_N(f) + R_N(f). Согласно формуле суммирования по частям Абеля имеем

RN(f) = Ґ е n=N  bnbn = bNw-N Ґ е k=N  wkbk + Ґ е n=N  (bn+1 - bnw)w-n-1 Ґ е k=n+1  wkbk,

(3)

где b_n = a_n/g_n, b_n = g_na_n, n і N_g и w О C, w № 0, |w| < R_g.
Для заданного конечного множества комплексных чисел {w_k},  w_k № 0,  |w_k| < R_g,  k = 1, 2, ..., m, введем в рассмотрение следующие рекуррентно определяемые последовательности:

Dn0 = bn,  Dnk =- wkDnk-1,     n і N,   1 Ј k Ј m

(4)

U1(n,k) = w11,  Up(n,k) = k-p+1 е s=n+1  ж з и wp wp-1 ц ч ш s   Up-1(s,k)

2 Ј p Ј m,  n і N - 1,  k і N + p.

(5)

   Теорема 1. При N і N_g справедлива следующая формула

(6)

   Наметим схему доказательства. Пусть m = 2 и в формуле (3) w = w₁. Применив снова формулу Абеля соответствeнно выбору w = w₂, (выбрав D_n¹ вместо b_n) и изменив порядок суммирования в последней двойной сумме, без труда придем к формуле (6) при m = 2. Повторив этот процесс по индукции, добавляя значения w_k (k = 3, 4, ..., m) и учитывая соотношения (4) и (5) придем к формуле (6).
   В случаe m = 2 и w₂ № w₁ имеем

RN(f) = bNrN(w1) + DN1 rN(w1) - rN(w2) w1 - w2 + Ґ е n=N  Dn2 rn+1(w1) - rn+1(w2) w1 - w2 ,

(7)

где обозначено

rn(w) = w-n Ґ е k=n  wkbk = w-n(g(w) - n-1 е k=0  wk gkak),  n і Ng,  |w| < Rg.

(8)

   Если же w₂ = w₁, то выражение (r_n(w₁) - r_n(w₂))(w₁ - w₂)^-1 надо заменить производной r_n^ў(w₁). Добавляя последовательно значения w₃, w₄, ..., w_m, мы придем к видоизмененной формуле (6), содержащей значения функции r_n(w) и (если встречаются величины w_k = w_p,  k № p) ее производных в точках {w_k}. Можно показать, что результат не зависит от нумерации множества {w_k}. Эти рассуждения одновременно доказывают сходимость всех рядов, фигурирующих в формуле (7).
   1.2. Поясним метод аппроксимации, основанный на теореме 1, в простейшем случае m = 1 . Из (2), (3), (8) легко получить следующую формулу

f = N-1 е n=0  (an - bNw1n-Ngn)an + bNw1-Ng(w1) + Ґ е n=N  Dn1rn(w1).

(9)

Пусть b_N № 0 и b_N+1 № 0. Выберем w₁ так, чтобы величина |D_N¹| = |b_N+1 - wb_N| была возможно малой (если |b_N+1/b_N| < R_g, то D_N¹ = 0, т.е. w₁ = b_N+1/b_N). Естественно ожидать, что при таком выборе бесконечный ряд в конце формулы (9) будет стремиться к нулю при N ® Ґ быстрее, чем R_N(f) и, отбросив его и учитывая оставшуюся часть, можно рассчитывать получить лучшее приближение к f, чем S_N+1(f), использовав при этом тот же набор коэффициентов {a_k}, k = 0, 1, ..., N.
   Повторив подобные рассуждения на основе формул (4) и (6), придем к аппроксимационной схеме, основанной на решении линейной алгебраической системы (если оно существует)

Dpm = 0,     p = N + 1, N + 2, ..., N + m,

(10)

относительно величин

е n1 < n2 < ... < nk  k Х i=1  wni,     k = 1, 2, ..., m.

(11)

Нетрудно видеть, что система определяется отсюда как множество корней (с учетом их кратности) полинома с коэффициентами (11).
   Соответственно измененная формула (9) уже будет содержать под знаком бесконечной суммы только сомножители D_n^m  (n = N + m + 1, N + m + 2, ...), и, отбросив эту сумму, получим приближенное представление функции f с использованием коэффициентов {a₀, a₁, ..., a_N+2m-1}, {g₀, g₁, ..., g_N+2m-1} и линейной комбинации значений производящей функции g(w) на множестве {w_k},  k = 1, 2, ..., m (и ее производных, если некоторые точки этого множества совпадают).
   Ограничения можно несколько ослабить, потребовав, чтобы система (10) имела вид D_p^m = 0,  p = N + 1, ..., N + p,  p і m , а задача состояла в минимизации взвешенной среднеквадратичной ошибки на основе псевдообратной матрицы.
   На основе ряда в конце формулы (6) можно, поменяв порядок суммирования, использовать ту же схему, но уже для новой производящей функции и нового числа m.
  Замечание 1. Приведенная схема применима и в случае "двухстороннего" базиса {a_n},  n = 0, ±1, ±2, ... в B. Именно, в этом случае любой элемент f =a_n можно представить в виде f =a_n + R_N⁺ + R_N^-, где R_N⁺ =a_n, R_N^- =a_n. Следовательно, по предлагаемой схеме можно использовать две производящие функции g^±(w).
    Теорема 1 легко обобщается и в случае, когда в (1) и (2) фигурируют операторные (например, матричные) коэффициенты.
2. Схема для интегральных преобразований
   2.1. Континуальный аналог вышеприведенного метода также можно рассматривать в банаховом пространстве, но мы остановимся лишь на интегральных преобразованиях функций на полуоси (0, Ґ), наметив схему эвристически. Примеры таких преобразований общего вида можно найти, например, в [5,6].
   Рассмотрим следующее формальное интегральное преобразование:

f(x) = у х Ґ 0  K(x, l) a(l) dl,

(12)

определенное для x і 0. Заданное ядро K(x, l) и функция a(l) комплекснозначные и достаточно гладкие по l при l > A₀ > 0 .
   Пусть нам известно некоторое преобразованиe вида (аналогично (1) назовем его производящей функцией)

G(x, w) = у х Ґ 0  K(x, l)e-wlg(l) dl,

(13)

заданного для Re(w) > R_g = const і -Ґ и удовлетворяющего условию g(l) № 0 при l і A₀ = const. Задавшись положительным A і A₀ и обозначив, аналогично (2), f = S_N(f) + R_N(f), где