Через (C) будем обозначать соответствующие лебеговы пространства.
   Лемма 1.1. При любом p О [1,+Ґ) сумма (C) совпадает со множеством всех целых функций.
   1.2. Заметив, что при вышеприведенных условиях lim_n®Ґ= R² при D_n^R(w) = -т₀^R2tⁿ|dw(t)| и любом R О (0,+Ґ], приведем сначала следующую теорему о представлениях.
   Теорема 1.1. Пусть F(z) О A_w²(C) (w О W_A^Ґ). Тогда в любой точке z О C

F(z) = 1 2p уу ххC F(z)CwҐ(z)dmw(z) = -+   1 p уу ххC {Re F(z)} CwҐ(z)dmw(z),

en(z) =         n = 0,1,2,...

Pwf(z) = 1 2p уу ххC f(z) CwҐ(z)dmw(z),      z О C,   f О Lw2(C).

   1.3. При параметр-функциях w(x) определенного типа следующая теорема устанавливает явные предствления для действующего между пространством H² Харди и A_w²(C) изометрического оператора и его обратного.
   Теорема 1.3. Пусть функция w О W_A^Ґ непрерывно дифференцируема в [0,+Ґ) и такова, что w(+Ґ) = 0, производная wў(x) < 0 и ограничена в [0,+Ґ), а также

Тогда функция

(x) = - у х +Ґ 0  w ж и x t ц ш dw(t),      0 < x < +Ґ,

принадлежит , и (C) совпадает со множеством всех функций, представимых в виде

F(z) = 1 2p у х 2p 0  j(eiJ) CwҐ(ze-iJ) dJ,      z О C,   j(eiJ) О L2[0,2p].

(1.1)

   Для любого F(z) О (C) существует единственная функция j₀(z) О H² такая, что (1.1) верно с j₀(e^iJ). Эта функция задается формулой

j0(z) = LwҐ F(z) = - у х +Ґ 0  F(tz)dw(t),      |z| < 1.

   Кроме того, ||j₀||_H² = ||F||_2,, и j-j₀ ^ H² для любого j(e^iJ) О L²[0,2p], с которым верно (1.1). Оператор L_w является изометрией (C) ® H², и интеграл (1.1) задает (L_w)^-1 на H².
   Замечание 1.2. Пространства (C), рассматриваемые в теореме 1.3, исчерпывают все целые функции.
   1.4. В общем случае 1 Ј p < +Ґ верна следующая теорема о представлении функций из (C) интегралом по окружности |z|=1.
   Теорема 1.4. Пусть 1 Ј p < +Ґ, w(x) О  и w = 1. Тогда любая функция F(z) О (C) представима в виде

где w₁(x) = w(x²), а j(z) = L_w1F(z) О H^p. При этом ||L_w1|| Ј 1 в , и (1.2) задает L_w1^-1 на множестве L_w1 (C).
   1.4. Особо отметим, что утверждения теоремы 1.3 верны, когда

wў(x) = -C0 xmr-1   (0 < x < +Ґ,   g,r,m > 0),      C0= й л у х +Ґ 0  xmr-1dx щ ы -1   ,

несмотря на то, что в этом случае не выполнены условия на ў(x), обеспечивающие включение w(x) О теоремы 1.3. А именно, имеет место следующее усиление теоремы XIV₁ из [1].
   Теорема 1.5. Гильбертово пространство целых функций, определенных условием

   Кроме того, ||j₀||_H² = ||F||, и j - j₀ ^ H² для любого j(e^-iJ) О L²[0,2p], с которым верно (1.4).
   2. Биортогональные системы функций в A²_w.
   Установленные в теоремах 1.3 и 1.5 формулы для изометрий между H² (|z| < 1) и пространствами (C) предоставляют возможность легко переводить известные в пространстве Харди H² факты в аналогичные предложения в (C). ¹ В частности, результаты М. М. Джрбашяна и Г. М. Айрапетяна [4-6] о биортогональных системах функций в H² переводятся в аналогичные утверждения для (C).
   Мы будем рассматривать случай простых узлов интерполяции, т.е. будем полагать, что {a_j}₁^Ґ - последовательность попарно различных чисел в |z| < 1, подчиненная условию Бляшке

Далее, будем полагать, что {a_j}₁^Ґ О D, если последовательность {a_j}₁^Ґ равномерно отделена, т.е.
   Введем также произведение Бляшке с нулями в {a_j}₁^Ґ:
   Полагая, что всюду ниже функции (x) и w(x) таковы, как в теореме 1.3 либо в теореме 1.5, для изометрий H² ® (C) этих теорем введем обозначение

TwҐ(f(z)) = 1 2p у х 2p 0  f(eiJ)CwҐ(zeiJ)dJ,   |z| < 1,   (Tw = (LwҐ)-1).

   Тогда хорошо известное неравенство Шапиро - Шилдса [7] запишется в нижеприводимом виде.
   Предложение 2.1. Если {a_k}₁^Ґ О D, то для любого F(z) О (C)

Ґ е j=1  (1-|aj|2)|LwҐF(aj)|2 Ј C||F||, 2,

где C - постоянная.
   Ниже приведем ряд предложений, в основном следуя порядку изложения [6]. Однако сначала обозначим

Wk(z) =   B(z) z-ak .

Далее, отметим следующие формулы для систем целых функций T_w^Ґ(r_k(z)) = (z) и T_w^Ґ(W_k(z)) = (z) (k = 1,2,ј):

(z) = (z)   и   (z) = lim r®1-0  Ґ е n=0  znrn Dn(w) Ґ е m=0  akmrm+1bn+m+1,

(2.2)

где b_n - коэффициенты разложения B(z) = (|z| < 1).
   Предложение 2.2. Если последовательность {a_k}₁^Ґ не подчинена условию Бляшке, т.е. ряд (2.1) расходится, то обе системы (2.2) полны в (C).
   Теперь через {a_k} обозначим множество всех функций F(z) О (C), для которых граничные значения L_w^Ґ F(z) почти всюду на |z|=1 совпадают с граничными значениями y(z)/ B(1/z) для некоторых y(z) О H², y(0) = 0.
   Предложение 2.3. Функции систем (2.2) принадлежат {a_k}, и системы (2.2) биортогональны в (C), т.е.

= м н о 1 при    n = k, 0 при    n № k.

   Предложение 2.4. Пусть F(z) О (C). Тогда F(z) О {a_k} в том и только том случае, когда

у х |z|=1  LwҐ F(z) B(z) dz z-z є 0,   z О C.

   Предложение 2.5. Любая функция f(z) О (C) представима в виде

f(z) = f1(z) + f2(z),       ||f||2 = ||f1||2 + ||f2||2,

где f₁(z) О {a_k} и

f2(z) = Tw(B(z)g(z)) О (C),   g(z) = 1 2p у х |z|=1  LwҐf(z) B(z) dz z-z О H2.

   Предложение 2.6. Если {a_k}₁^Ґ О D, а последовательность {w_k}₁^Ґ подчинена условию

Ґ е k=1  (1-|ak|)|wk|2 < +Ґ,

то существует единственная функция F(z) О {a_k} такая, что

LwҐF(ak)n = wk,      k = 1,2,ј

(2.3)

Эта функция представима в виде

F(z) = Ґ е k=1  wk(z),   z О C,

где ряд сходится по норме A_w². Функция же F(z) - решение интерполяционной задачи (2.3) с минимальной нормой.
   Предложение 2.7. Множества {(1-|a_k|²)^1/2 (z)}₁^Ґ и
{(1-|a_k|²)^-1/2 (z)}₁^Ґ являются безусловными базисами в {a_k} в том и только том случае, когда {a_k}₁^Ґ О D.
   Предложение 2.8. Если {a_k}₁^Ґ О D, то любая функция F(z) О {a_k} допускает разложения

F(z) = Ґ е k=1  ck(F)(z) = Ґ е k=1  LwҐ F(ak)(z),   z О C,   ck(F) =

сходящиеся по норме в (C).
   Замечание. Рассмотренные выше биортогональные системы качественно разнятся от тех, которые были рассмотрены А. Ф. Леонтьевым [8].

   Институт математики НАН РА

Литература

   1. Джрбашян М. М.- Сообщ. Ин-та матем. и мех. АН АрмССР. 1948. Т. 2. С. 3 - 40.
   2. Джрбашян А. М., Аветисян К. Л.- ДНАН Армении. 2002. Т. 102. № 2. С. 105 - 112.
   3. Джрбашян М. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1970. Т. 5. № 6. С. 453 - 485.
   4. Джрбашян М. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1973. Т. 8. № 5. С. 384 - 409.
   5. Джрбашян М. М.- Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1974. Т. 9. № 5. С. 339 - 373.
   6. Айрапетян Г. М.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1975. Т. 10. № 2. С. 133 - 152.
   7. Shapiro H., Shields A.- Amer. J. Math. 1961. V. 83. P. 513 - 532.
   8. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент. М. Наука. 1981.

Footnotes:

¹Следует отметить, что то же самое верно в отношении рассмотренных в теореме 1.2 из [2] изометрий между H² и пространствами A_w² в |z| < 1.

 

---