МАТЕМАТИКА

УДК 517.55

А. И. Петросян

О весовых классах голоморфных функций в единичном шаре в Cn

(Представлено академиком В. С. Захаряном 22/IV 2003)

    1. В работе анонсируются основные результаты общей теории пространств   в единичном шаре из Cn. Рассматриваемые весовые пространства   голоморфных в единичном шаре функций сколь угодно широки, ибо зависят от функции-параметра w(x) (0 Ј x < 1) со сколь угодно быстрым убыванием при x ® 1 - 0.
   Приводимые теоремы являются многомерными w-аналогами результатов М.М. Джрбашяна 1945-1948гг., положивших начало теории пространств (изначальное обозначение Hp(a)) в единичном круге [1], [2].
   Примененный аналитический аппарат позволяет распространить на случай единичного шара одномерную общую теорию, построенную в [3] (см. также [4]). В работе приведены первые, основные результы, полученные этим путем.
   Следует отметить, что сама теория пространств Hp(a) М.М. Джрбашяна, относящаяся к частному случаю w(x) = (1 - x)1+a (a > -1), на случай единичного шара была распространена ранее (см. [5]). Подробнее о недоразумениях, приведших в [5] и других публикациях западных авторов к отсутствию надлежащих ссылок на основополагающие работы М.М. Джрбашяна [1,2] см. в [3].
   2. Ниже будем пользоваться следующими обозначениями:
   Bn = {z О Cn : |z| < 1} - открытый единичный шар в Cn;
   Sn = {z О Cn : |z| = 1} - его граница, являющаяся единичной сферой в Cn;
   Всюду ниже число n фиксировано, поэтому мы будем писать просто B и S вместо Bn и Sn.
   n - мера Лебега в Cn, нормированная условием n(B) = 1;
   s - борелевская мера на S, инвариантная относительно унитарных преобразований пространства Cn и удовлетворяющая условию s(S) = 1.
   Через бz,wс = будем обозначать скалярное произведение для точек z,w О Cn, а через |z| = - соответствующую норму.
   С каждым мультииндексом s = (s1,...,sn) О Z+n, где
Z+n = {s О Zn :  sk і 0},
будем связывать: два числа  s! =   и   |s| =

оператор дифференцирования  Ds = [(|s|)/()],
и голоморфный моном   zs =

   Далее, через W будем обозначать множество параметр-функций w(t), определенных на интервале [0,1) и удовлетворяющих там условиям
(i)  0 < w < Ґ для любого  d О [0,1);

(ii)   Dm є Dm(w) = -т01tmdw(t) № 0,  Ґ,       m = 0,1,ј;
(iii)    і 1.

Для удобства всюду ниже будем полагать, что w(1) = w(1 - 0).
   3. Для заданного w О W введем в рассмотрение ядро-функцию
Cw,n(z,w) = Cw(z,w) =
е
s О Z+n 
 (n-1+|s|)!
(n-1)!s!
D|s|
 .
 (1)

  Предложение 1. При фиксированной точке w О функция Cw(z,w) голоморфна в шаре B.
  Предложение 2. Имеет место равенство
Cw(z,w) = Ґ
е
m=0 
 1
Dm
 (n-1+m)!
(n-1)!m!
 бz,wсm,    z О B,    w О.
Тем самым, ядро Cw зависит лишь от скалярного произведения бz,wс.
   4. Для каждой функции w О W определим ассоциированную с ней меру
dmw(w) = -dw(r2) ds(z),
где w = rz - полярная форма точки w О B, (т. е. z О S, 0 Ј r Ј 1).
   Обозначим через = (B) класс функций, измеримых по мере dmw в шаре B, для которых
||f||p,w = м
н
о
у
х
B 
 |f(w)|p |dmw(w)| ь
э
ю 		1/p
 
 < +Ґ,      0 < p < Ґ,
 (2)

а через = (B) - подмножество , состоящее из функций, голоморфных в B. Как известно, при 1 Ј p < Ґ величина ||f||p,w определяет норму в , в которой является банаховым пространством, а при 0 < p < 1 является полным метрическим пространством в метрике r(f,g) = ||f - g||
   Имеет место следующее
   Предложение 3. Пусть 0 < p < Ґ, K - компакт, лежащий внутри B. Тогда существует константа C є C(K,s,p,w) такая, что


max
z О K 
 |Dsf(z)| Ј C||f||p,w
 (3)

для всех f О и всех s О Z+n.
   Пусть ||fn - f||p,w ® 0 при n ® Ґ для некоторых fn О ,  f О . Из (3) следует, что существует голоморфная в B функция h(z), такая, что fn(z) ® h(z) равномерно внутри B. Нетрудно показать, что f = h. Тем самым справедливо
   Предложение 4. Для каждого 0 < p < Ґ подпространство замкнуто в (B).
   Следствие. При 1 Ј p < Ґ класс  является банаховым пространством, а при 0 < p < 1 - полным метрическим пространством.
   Для произвольной функции f, определенной в B и 0 < ρ < 1, обозначим через fρ ее -растяжение, т. е. функцию, определенную при |z| < 1/ρ следующим образом: fρ(z) = fρ(z). В следующем предложении утверждается непрерывность ρ-растяжения в пространстве .
   Предложение 5. Если f О , то ||fρ - f||p,w ® 0 при ρ ® 1 - 0.
   Следствие. Голоморфные полиномы плотны в .
       Имеет место основная
   Теорема 1. Пусть f О . Тогда

f(z) =
у
х
B 
 f(w)Cw (z,w)dmw (w),        z О B
 (4)
f(z) = -+2
у
х
B 
 {Re f(w)}Cw (z,w)dmw (w),       z О B.
 (5)
   Отметим один частный случай формулы (4). Пусть
w(x) = n 1
у
х
x 
 tn-1(1-t)a  dt,       (a > -1).
Тогда
Dm = -n 1
у
х
0 
 xmdw(x) = n 1
у
х
0 
 xn+m-1(1-x)adx = nG(n+m)G(1+a)
G(n+m+1+a)
 .
Тем самым ввиду предложения 2 и формулы биномиального разложения
Cw(z,w) = Ґ
е
m=0 
 (n+m-1)!
(n-1)!m!
 бz,wсm
Dm
 =
= Ґ
е
m=0 
 G(n+m)
G(n)G(m+1)
 G(n+m+1+a)
nG(n+m)G(1+a)
 бz,wсm =
= G(n+1+a)
G(n+1)G(1+a)
 Ґ
е
m=0 
 G(n+m+1+a)
G(n+1+a)G(m+1)
 бz,wсm =
= G(n+1+a)
G(n+1)G(1+a)
 1
(1-бz,wс)n+1+a
 .
Далее, если w = rz, где |z| = 1, то, используя выражение для элемента нормированного объема dn в полярных координатах [5], получим
dmw(w) = -dw(r2) ds(z) = 2nr2n-1(1-r2)adr ds(z) = (1-r2)a dn(w).
 (6)
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае формула (4) принимает вид
f(z) = G(n+1+a)
G(n+1)G(1+a)
у
х
B 
 f(w) (1-|w|2)a
(1-бz,wс)n+1+a
  dn(w).

Эту формулу можно найти в [5]. В одномерном же случае n = 1 она впервые была получена в работе М. М. Джрбашяна [1].
   Ядро Cw(z,w) порождает оператор ортогонального проектирования из на подпространство . А именно, имеет место следующая
   Теорeма 2. Пусть

Pw f(z) =
у
х
B 
 f(w)Cw (z,w)  dmw (w),    z О B,

где f О. Тогда Pw является ортогональным проектором из на .
   5. Ниже приведено интегральное представление функций из по границе B, в случае, когда w является квадратом Вольтерра от другой функции О W. Затем найден некий изометрический оператор, переводящий   в обычное пространство Харди в B, который вместе со своим обратным оператором записывается в явном, интегральном виде. Однако сначала следует отметить, что верно
   Предложение 6. Пусть непрерывно дифференцируемая на [0,1) функция О W такова, что (t), (1) = 0, (0) = 1. Далее, пусть w является квадратом в смысле Вольтерра, т. е.

Тогда w О W и, кроме того,
Dm(w) = й
л 		Dm( ) щ
ы 		2
 
 ,   m і 0.
 (7)
   Теорема 3. Если функция f принадлежит , то функция
j0(z) = Lf(z) = - 1
у
х
0 
 f(tz) d(t)
принадлежит пространству Харди H2 в единичном шаре. При этом
f(z) =
у
х
S 
 j0(z)C(z,z) ds(z).
Кроме того,
||j0||H2 = ||f||2,w.
 (8)

   Отметим, что в случае, когда w(x) = nтx1 tn-1(1-t)a  dt (a > -1), соответствующее пространство , следуя [2], будем обозначать через Hp(a). Ввиду (6) условие (2) записывается в виде
||f||Hp(a) = м
н
о
у
х
B 
 (1-|w|2)a|f(w)|p dn(w) ь
э
ю 		1/p
 
 < +Ґ.
Если в теореме 3 взять
(x) =
G(n + a+1
2
 )
G(n)G( a+1
2
 )
 1
у
х
x 
 tn-1(1-t)[(a-1)/2]dt,
то = H2(a). Поэтому из теоремы 3 вытекает
    Теорема 4. Пусть функция f(z) принадлежит классу H2(a), (a > -1). Тогда функция
j0(z) =
G(n + a+1
2
 )
G(n)G( a+1
2
 )
 1
у
х
0 
 f(tz)tn-1(1-t)[(a-1)/2]dt
принадлежит H2(B) и имеет место интегральное представление
f(z) =
у
х
S 
 j0(z) ds(z)
(1-бz,zс)n+[(a+1)/2]
 .

   Теорема 4 является многомерным аналогом теоремы V из [2], при a = 0 установленной М. В. Келдышем.
   Введем в рассмотрение оператор

Kj(z)=
у
х
S 
 j(z)C(z,z) ds(z).
   Теорема 5. Функции класса   представимы в виде
f(z) = Kj(z),

где j - произвольная функция из L2(S).
   Следующая теорема, относящаяся к свойствам оператора K, дополняет утверждения теорем 3 и 5.
   Теорема 6. Оператор K  обладает следующими свойствами:
   1° K  является линейным ограниченным оператором с областью определения L2(S) и областью значений (B).
   2° Сужение K  на H2(S) является изометрией между H2(S) и
(B), при этом обратным оператором этой изометрии является L.
   3° Ядром K служит ортогональное дополнение к H2(S), т. е.

Ker K {j О L2(S):  Kj = 0} = H^2(S),

где H2^(S) Е H2(S) = L2(S).
   4° ||K|| = 1, a точнее ||Kj||(B) Ј ||j||L2(S), где знак равенства имеет место в том и только в том случае, если j О H2(S).
   5° j0 минимизирует ||j||L2(S) на множестве всех функций j, для которых Kj = Kj0. Иными словами

||j0||L2(S) =
min
j1 О H^2 
 ||j0+j1||L2(S).

   Ереванский государственный университет

Литература

1. Джрбашян М. М. -ДАН АрмССР. 1945. Т. 3. N I. C. 3-9.
2. Джрбашян М. М. -Сообщ. Ин-та матем. и мех. АН АрмССР. 1948. Т. 2. C. 3-40.
3. Jerbashian A.M. - Preprint 2002-01. December 12. 2002. Institute of Mathematics. NAS of Armenia.
4. Джрбашян А. М., Аветисян К. Л. ДНАН Армении. 2002. T. 102. N 2. C. 105-112.
5. W. Rudin Function theory in the Unit Ball of Cn. Springer-Verlag. N. Y. 1980. Рус. пер: У. Рудин. Теория функций в единичном шаре из Cn. M. Мир. 1984. 445 c.