МАТЕМАТИКА

УДК 517.547

А. О. Карапетян

Весовые - интегральные представления в матричном круге

(Представлено академиком Н. У. Аракеляном 3/VII 2002 )

   Пусть m,n і 1 - произвольные натуральные числа. Обозначим через Mmn пространство всех комплексных m×n - матриц. Для произвольной матрицы z О Mnm через z* О Mmn обозначается эрмитово сопряженная к z матрица. Далее, Im(m і 1) - единичная m×m - матрица из Mmm. Лебегова мера в Mmn вводится естественным образом:
dmmn(z) = m
Х
k=1 
 n
Х
j=1 
 dm(zkj),   z = (zkj)1 Ј k Ј m, 1 Ј j Ј n.

   Мaтричным единичным кругом называется область Rmn = {z О Mmn : Im - z · z*   положительно определена}.
   При 1 Ј p < Ґ, a > -1 пространство (Rmn) определяется как множество всех голоморфных функций f(z), z О Rmn, удовлетворяющих условию


у
х
Rmn 
 |f(z)|p · [det(Im) - z · z*)]admmn(z) < +Ґ.

Заметим, что при m = 1, n і 1 Rmn есть единичный шар Bn М Cn, а пространство(Rmn) є (Bn) задается условием |f(z)|p · (1-|z|2)adm1n(z) < +Ґ. При m = n = 1, т.е. в случае единичного круга
 

D М C, эти пространства были введены в [1,2], где была установлена формула

f(z) = a+1
p
 · у
х
у
х
D 
 f(z)(1 - |z|2)a
(1 - z ·)2+a
 dm(z),   z О D,   "f О (D).
 (1)

   Это представление нашло многочисленные применения в теории факторизации мероморфмых функций и других вопросах комплексного анализа. Позднее аналогичные весовые формулы начали представлять интерес и в случае различных многомерных областей.
   Так, в [3] был установлен следующий аналог формулы (1) для функций f О (Rmn) при a = 0:

f(z) = const ·  у
хRmn 		f(z)dmmn(z)
[det(Im - z · z*)]m+n
 ,  z О Rmn.
 (2)
   Позже, в случае шара Bn, было установлено интегральное представление
f(z) = const ·  у
хBn 		f(z) · (1-|z|2)b
[1- < z, z > )]n+1+b
 dm1n(z),  z О Bn,
 (3)
для функций f О (Bn) (см. [4] при a = 0, [5,6] при a > -1) и при условии
Re b і a, если  p = 1, Re b > a+1
p
 - 1,  если 1 < p < Ґ.
 (4)

   В [7,8] эти результаты были обобщены (формула (2) - в смысле веса, а формула (3) - в смысле области). Точнее, если f О (Rmn), то

f(z) = cmn(b) ·  у
хRmn  		  f(z) · [det(Im - z · z*)]b
[det(Im - z · z*)]m+n+b
 dmmn(z),  z О Rmn
 (5)

где b удовлетворяет условию (4) и

cmn(b) = 1
pmn
 ·
m+n
Х
l=1 
 G(b + l)
m
Х
k=1 
 G(b + k) · n
Х
j=1 
 G(b + j)
 .

   Постепенно начало выясняться, что подобные интегральные представле -ния являются полезным инструментом в вопросах весовых решений - уравнения. В этой связи возникла необходимость установления аналогов вышеприведенных формул уже для гладких (скажем, класса C1), а не только голоморфных функций. В [9] для функций f О C1  была установлена следующая формула (Reb > -1):

f(z) = c1n(β) · у
хBn

 
 f(z) · (1 - |z|2)b
1 - < z, z > )]n+1+b
 dm1n(z) - c1n(b) · у
хBn

 
 <f(z),z - z >
[D(z, z)]n
 ·
· (1 - < z, z > )n-1 · ж
з
и 		1 - |z|2
1 - < z, z >
ц
ч
ш 		b+1

 
 · n-1
е
p=0 
 (-1)p · Cpn-1
p + b + 1
 ·
· й
к
л 		(1 - |z|2)(1 - |z|2)
|1 - < z, z > |2
 щ
ъ
ы 		p

 
 dm1n(z),  z О Bn,
 (6)
где

 

D(z, z) = |1 - < z, z > |2 - (1 - |z|2)(1 - |z|2).

   В настоящей заметке приводится аналог формулы (6) для области Rmn и, тем самым, одновременно обобщается (5) на случай гладких функций.
   Прежде чем сформулировать основной результат, введем некоторые обозначения.
   При z О Rmn

jz(z) =
Ц
 
Im - zz*
 
 · (Im - zz*)-1 · (z - z) ·
Ц
 
In - z*z
 
 -1
 
 ,   z Оmn ,

обозначает дробно-рациональный автоморфизм области Rmn.
     Для произвольной матрицы A О Mmn ||A|| обозначает "матричную норму", т.е. ||A||2 есть максимальное собственное значение матрицы A · A*.
     Теорема. Пусть m,n і 1 и Re b > -[1/m], тогда каждая функция f О C1 допускает представление вида

f(z) = cmn(b) ·
у
х
Rmn 
 f(z) · [det(Im - zz*)]b
[det(Im - zz*)]m+n+b
 dmmn(z) -
-cmn(b) ·
у
х
Rmn 
 <f(z),(Im - zz*)(Im - zz*)-1(z - z) > ·F(z,z)dmmn(z), z О Rmn,
 (7)
где
F(z,z) = й
к
л 		det(Im - zz*)
det(Im - zz*)
 щ
ъ
ы 		b

 
 · 1
[det(Im - zz*)]m+n
 ·
· 1/||jz(z)||2
у
х
1 
 tmn-1 · й
к
л 		det(Im - t · jz(z) · jz(z))* щ
ъ
ы 		b

 
 dt,   z № z,  z, z О Rmn.
При этом справедлива оценка вида
|F(z, z)| Ј const · ||z - z||-2mn
равномерно по z О Rmn, z О K М М Rmn

   Институт математики НАН РА

Литература

1. Джрбашян М. М. -ДАН АрмССР. 1945. Т. 3. N I. C. 3-9.
2. Джрбашян М. М. - Сообщ. Ин-та матем. и мех. АН АрмССР. 1948. Вып. 2. С. 3-40.
3. Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях. М. ИЛ. 1959.
4. Forelli F., Rudin W. - Ind. Univ. Math. J. 1974. V. 24. N6. P. 593-602.
5. Джрбашян М. М. - Изв. АН АрмССР. Математика. 1988. Т. 23. N 6. С. 517-545.
6. Dzhrbashian M. M. - Математически Вестник. 1987. V. 39. P. 263-282.
7. Джрбашян М. М., Карапетян А. О.- Изв. АН АрмССР. Математика. 1989. Т.24. N6. С. 523-546.
8. Джрбашян М. М., Карапетян А. О.- ДАН СССР. 1990. Т. 312. N 1. C. 24-27.
9. Charpentier Ph. - Ann. Inst. Fourier. 1980. V. 30. N4. P. 121.-154.