Заметим, что при r = 2, g = 0, p=2  H^p_r,s,g(Cⁿ) превращается в известное пространство Фока целых функций, а (1) принимает вид

f(z)= sn pn · у х Cn  f(w)e-s|w|2·es < z,w > dm(w), z О Cn.

(2)

   При n=1 и g = r-2 представление (1) впервые было установлено в работах [2,3].

   В[4] было получено следующее обобщение формулы (2) для функций f О C¹(Cⁿ) (но, естественно, подчиненных определенным условиям роста):

f(z)= sn pn · у х Cn  f(w)·e-s|w|2·es < z,w > dm(w)-       - G(n) pn · у х Cn  < ¶   f(w),w-z > e-s|w|2·es < z,w > · n-1 е p=0  sp p ! · |w - z|2n-2p , z О Cn,

(3)

где

   Возникает естественный вопрос: подобно тому, как (3) обобщает формулу (2) на случай уже гладких (а не голоморфных) функций, можно ли в таком же духе обобщить представление (1)? При n=1 это было сделано в работе [5]. Целью настоящей заметки является получение весового [`(¶)]-интегрального представления в Cⁿ при n > 1.

   Предварительно введем некоторые обозначения. Для произвольных z,w О Cⁿ (z № w) положим

a= < z, w - z > |w - z| ,  c= < w, w - z > |w - z| ,  d = |z|2 · |w - z|2 - | < z, w - z > |2 |w - z|2 .

При z № 0 через [z] обозначим комплексную прямую, порожденную вектором z. Пусть r, s > 0, g і 0 и m = (g + 2n)/r. Рассмотрим функции

y(w)=(w - _ a   )n-1·E(n)r/2(s2/r·(wa + d);m),  w О C,

y(n)(w) є dny(w) dwn ,  n = 0,1,2,ј.

Кроме того, положим (x і 0):

j(x) = e-s(x+d)r/2 · (x + d)g/2,

Fk(x) = 1 G(k) · +Ґ у х x  j(t) · (t - x)k-1dt,  k = 1,2,ј.

Наконец, определим ядро

F(z,w)= rsm 2G(n) · м н о    n-1 е n = 0  Fn+1(0) · y(n)(0) ·          · n-1-n е m=0  Cnm+1+n · (-a)n-1-n-m · cm -  1  c (c - a)n· |c|2 у х 0  j(x) · y(  x  c )dx ь э ю .

(4)

Некоторые из свойств ядра F(z,w) описывает следующая

   Теорема 1. а) При фиксированном z О Cⁿ ядро F(z,w) непрерывно по w О Cⁿ\{z} и остается ограниченным при w® z (w № z).

    б) При фиксированном (сколь угодно малом) e > 0

|F(0,w)| < const  · e-(s-e)|w|r,  |w|® +Ґ.

    в) При z № 0 и фиксированном (сколь угодно малом) e > 0

|F(z,z + w)| < const  · |w|n-1,  w О [z],  |w|® +Ґ,

|F(z,z + w)| < const  · e-(s-e)|w|r,  w^[z],  |w|® +Ґ.

    г) Если g і 2, r > 0 или g = 0, r і 2, то при фиксированном z О Cⁿ F(z,w) является функцией класса C¹ от w О Cⁿ\{z} и при этом

< ¶   w  F(z,w),w - z > є - rsm 2G(n) · E(n)r/2(s2/r · < z,w > ;m)e-s|w|r · |w|g · |w - z|2n,  w О Cn\{z}.

   Теорема 2. Пусть n і 1, 1 < p < +Ґ, s > 0 и m = (g + 2n)/r, где либо g і 2, r > 0, либо g = 0, r і 2. Тогда справедливо интегральное представление вида

f(z)= rsm 2pn · у х Cn  f(w)e-s|w|r · |w|g · E(n)r/2(s2/r < z,w > ;m)dm(w)-

(5)

для каждой функции f О C¹(Cⁿ), такой что:

   а) f О L^p_r,s,g(Cⁿ);

   б) при фиксированном z О Cⁿ функции

где

    Замечание. Если , (5) переходит в (1). При n і 1, g = 0 и r = 2 (5) совпадает с (3).