ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

УДК 615.47

А.А.Аракелян, А.Г. Кардашян

Сплайн обработка двумерных медико-биологических сигналов

(Представлено академиком А.А.Терзяном 26/VIII 2002)

   В работах [1-5] предложены методы спектрального анализа сигналов, основанные на применении итеративных сплайнов. В [3-5] рассматриваются численные методы спектрального анализа одномерных сигналов. Однако известно, что анализ электроретинограммы (ЭРГ) или реогепатограммы (РГГ) [6] необходимо осуществлять одновременно с использованием электрокардиограммы (ЭКГ). Следовательно, результаты [1-2] невозможно применять для реализации спектрального анализа ЭРГ и РГГ. Необходимость создания методов спектрального анализа двумерных сигналов определяет задачу, решению которой посвящена данная работа.
   Изучены методы численного решения задач спектрального анализа, а также их алгоритмическая и программная реализация. Техническая реализация осуществлена на базе сигнального процессора DSP56F803 фирмы Motorola [7].
   Определения и обозначения. Пусть в прямоугольной области W = [a,b]×[c,d] [8] введена сетка D = Dx × Dy, где
Dx : a = x0 < x1 < ј < xN = b,
Dy : c = y0 < y1 < ј < yM = d,
(1)

делящая область на прямоугольные ячейки, и известны значения функции fi,j = f(xi,yj). Через Ck,l[W] обозначим множество непрерывных на W функций f(x,y), имеющих непрерывные частные производные порядка не выше k по x и l по y.
   Для каждой элементарной ячейки Wi,j = [xi,xi+1] × [yj,yj+1] определим функцию Si,j(x,y) двумерного кубического сплайна

Si,j(x,y) = 3
е
a = 0 
 3
е
b = 0 
 cabi,j(x - xi)a(y - yj)b.
 (2)

   Далее для той же ячейки Wi,j = [xi,xi+1] × [yj,yj+1] определим сплайн преобразование Фурье
Hi,j(w1w2) = xi+1
у
х
xi 
 yj+1
у
х
yj 
 Si,j(x,y)e-jw1xe-jw2y,
 (3)

позволяющее вычислить значения Hi,j(w1w2), i = 0,1,јN; j = 0,1,јM. Отсюда преобразование Фурье во всей области W = [a,b] × [c,d] будет иметь вид

H(w1w2) = N
е
i=0 
 M
е
j=0 
 Hi,j(w1w2).
 (4)

   Оценка точности аппроксимации. Положим
E = B0[w1(f(x,y),Dn) + w2(f(x,y),Dm)],
где B0 абсолютная величина, не зависящая от функции f(x,y) и сетки Dn,m,
(5)

   Пусть Hf(w), Hs(w) - преобразования Фурье соответственно исходной и сплайн аппроксимации изучаемой функции.
   Имеет место
   Теорема. Если функция f(x,y) О Ck,i[W] определена на сетке (1) и удовлетворяет периодическим краевым условиям (т.е является (b-a) периодической по x и (d-c) периодической по y), то
|Hf(w) - Hs(w)| Ј E(b - a)(d - c).
 (6)

   Доказательство. Так как S2(x,y) интерполирует функцию f(x,y) О Ck,l[W] на сетке Dn,m и удовлетворяет краевым периодическим условиям, то
||f(x,y) - S3(x,y)|| Ј B0[w1(f(x,y),Dn) + w2(f(x,y),Dm)],
 (7)
где
||Dn|| =

 

 max
0 Ј i Ј n+1
 |xi+1 - xi|,  ||Dm|| =

 

 max
0 Ј i Ј n+1
 |yi+1 - yi|

 

 (8)

   Из (6) следует, что правая часть неравенства (7) не зависит от функции f(x,y) [8].
   Так как ||f(x,y) - S3(x,y)||C(В) =  max     |f(x,y) - S3(x,y)|, то неравенство (7) можно записать как |f(x,y) - S3(x,y)| Ј E.
                                                     a Ј x Ј b
                                                                     c Ј y Ј d
Следовательно,
b
у
х
a 
 d
у
х
c 
 |f(x,y) - S3(x,y)|e-jw1xe-jw2ydxdy Ј b
у
х
a 
 d
у
х
c 
 |Ee-jw1xe-jw2y|dxdy,

к
к 		b
у
х
a 
 d
у
х
c 
 f(x,y)e-jw1xe-jw2ydxdy - b
у
х
a 
 d
у
х
c 
 S3(x,y)e-jw1xe-jw2ydxdy к
к 		Ј E(b - a)(d - c).

   Отсюда |Hf(w) - HS(w)| Ј E(b - a)(d - c), что и требовалось доказать.
   Численный пример. В качестве примера рассмотрим функцию F(x,y) (рис.2), полученную линейной комбинацией ЭРГ и ЭКГ, приведенных на рис.1.
 


а) электроретинограмма                 б) электрокардиограмма
Рис.1

   На рис. 3 приведено сплайн преобразование Фурье (4) во всей области [a,b] × [c,d].
   Для сравнения на рис.4 приведено преобразование Фурье функции, аппроксимированной при помощи интерполяционных формул Лагранжа, вычисленное с помощью программного пакета MathCad Professional 2001.
 


Рис.2                                         Рис.3                                         Рис.4

   Результаты численных экспериментов, показывают, что погрешность численного метода не превышает 1-2%.

     Государственный инженерный университет Армении

 

Литература

     1. Ларсен Р.Д., Крофорд Е.Ф., Смит Р.У.  - ТИИЭР. 1977. Т.65 N5. С.247-250.
     2. Малинин Л.А.  - Новости медицинской техники. 1980. вып 2. С. 25.
     3. Arakelian A., Agaian S.  - Cybernetics and system research. 1984. N2. North Holland.
     4. Slonim M.A.  - Proc. of the IEEE. 1979. V. 67. N6. P.953-954.
     5. Usmani R.A., Winnipeg and Sakai M., Kagoshima,  - Computing. 1996. V. 56. P.87-93.
     6. Шамшинова А.М., Волков В.В. Функциональные методы исследования в офтальмологии. М. Медицина. 1998. 416с.
     7. Personal ECG monitor using DSP56F803/5. Application Brief. http://e-www.motorola.com/brdata/PDFDB/docs/BR1560.pdf
     8. Стечкин C.Б., Субботин Ю.Н.  Сплайны в вычислительной математике. М. Наука. 1976. 248с.