где удержаны члены с второй гармоникой, звездочкой отмечено комплексно-сопряженное значение. Члены с дают после учета (6)

, , jk = sk(t1) + 1 2Rk(t1) r2, k = 1,2,

(9)

где a_k - действительные амплитуды гармоник, r₀ - постоянный начальный радиус пучков, можно получить обыкновенные уравнения по переменной t₁ от параметров пучка. Отделяя в этих уравнениях члены с r⁰ и r², затем разделяя действительные и мнимые части, получим обыкновенные дифференциальные уравнения.
   Вводя безразмерные переменные, обозначенные штрихами

   Уравнения (11)-(18) решаются при начальных условиях, следующих из значения решения для падающей волны в форме

t1 = 0   u1 = K

   При этом уравнения (15), (17), (18) при t₁=0, если считать Aў₂(0)=0, дают следующие граничные условия:

C(0) = 0, Kў2(0) - 2Kў1(0) = 0, F2(0) = 2F1(0), s2(0) = 2s1(0) + p 2 , tў = 0,  Aў1 = 0.1,  Aў2 = 0.01,  Kў1 = 1 R0 ж з и Cn a ц ч ш 2   ,  Kў2 = 2 1 R0 ж з и Cn a ц ч ш 2   , F1 = 1,  F2 = 2,  s1 = 0,  s2 = p 2 .

(19)

   Полученное по (6) значение w или wў, т.е. дисперсии за счет теплопроводности, весьма мало. Чтобы получить конечную дисперсию, можно использовать уточненное дисперсионное уравнение для плазмы [5], которое приводится к виду

W2 = - k2c2 w02 CA2 CS2 + CA2 ,  w0 = kCn,  W = w0 + w,

где w₀ - плазменная частота [5], k - волновое число,

w = - 2Cn2 C2 w02 CA2 CS2 + CA2 .

   Для случая большой дисперсии |wt₁| >> 1 можно в (8) отбросить дифференцируемые члены с U₂, при этом имеет место |u₂| << |u₁|, |u_k| << |u_k-1| и получится

u2 = Gau12 4Cn(-3w + ni) .

(20)

Уравнение (1) приводится к нелинейному уравнению Шредингера

ia ¶u1 ¶t1 + 1 2 Cn2 ж з и ¶2u1 ¶r2 + 1 2 ¶u1 ¶r ц ч ш = (æ1 + æ2i)|u1|2u1,

(21)

где

æ1 = -3wz,   æ2 = -nz,

(22)

z = G2a3 8Cn2 9w2 + n2 .

(23)

Отыскивая решение (21) в виде (9), можно получить соотношения

A1 = b1 f1 ,

(24)

ds1 dt1 = - 2Cn2 ar02f12 - æ b12 af12 ,

(25)

1 R1 = a Cn2f1 df1 dt1 + æ2b12 Cn2f12 ,

(26)

d2f1 dt12 = x f13 + 2æn b12 af1 ,

(27)

где

x = a-2(4Cn4r0-4 + 4æ1b12Cn2r0-2 - æ22b14).

(28)

Таким образом в случае большой дисперсии получается уравнение (27), которое нужно решать при граничном условии, следующем из (26):

f1(0) = 1,   df1(0) dt1 = F,  F = Cn2 a ж з и R0-1 - æ2 Cn2 b12 ц ч ш .

(29)

   При этом æ_1,2 является функцией от t₁. В случае малых nt₁ следует в правой части (27) отбросить второе слагаемое и считать e^-nt₁=1, тогда (27), (28) интегрируется и дает формулу (2.15) из [6].
   В переменных (10)

F1-1 = (Fў 2 + xў) ж з и tў + Fў Fў 2 + xў ц ч ш 2   + xў Fў 2 + xў ,

(30)

где Fў = kў₁(0) - æў₂, xў = [4/()] + æў₁[4/()] - æ₂^ў 2,

æў1 = - 3wў 8 Gў 2Eў 9wў 2 + (nў + 6)2 , æў2 = -(nў + 6) Gў 2 8 Eў 9wў 2 + (nў + 6)2 .

(31)

Уравнения коротких волн для произвольной однородной среды получены в [7].
   Рассмотрим расчет типичных задач для пульсаров [1], электролитов и термоядерных реакторов [2].
   1. Для задачи о действии магнитного поля на пучок, распространяющийся от внутренней поверхности звезды, представляющей сферу радиуса R₀[(a)/(C_n)] = 10⁶ см при начальном радиусе пучка r₀ = 10⁴ см, причем C_n = 10¹⁰ см/с, a = 10⁶ 1/с [1], на основании (10) можно полагать rў₀ = 2, Kў₁ = [2/100], Kў₂ = [4/100], w = [1/2] · 10^-3 1/с. Кроме значения nў = 0 для звезды рассмотрены значения nў = 0.03 для электролитов, для которых s = 1.3·10⁷ 1/с, [(C_A)/(C_n)] = 1, C² = 10²¹ см²/с². Используя граничные условия (19), можно рассчитать (11)-(18) начиная от x = 0 до x = l или, поскольку на внешней границе l = 10⁵ см, tў = a[l/(C_n)], интегрировать от tў = 0 до tў = 20. Значения F₁, Aў₁ Aў₂ приведены в таблице.
   Для вычисления F₁ = [1/(f₁²)] по приближенной формуле (30) следует рассчитать w = [1/2]·10^-9, nў = [1/2]10^-12, и поскольку дисперсия и диссипация весьма малы, полученная в предположении | w[l/(C_n)]| >> 1 формула (30) в нелинейном варианте не пригодна, в линейном же случае при предположении æ_1,2 = 0 она пригодна и при tў = 20 дает f₁ = 10, при этом из-за малой нелинейности (30) использована при æ_1,2 = 0. Это значение совпадает с приведенным в таблице.
   2. C_n=10¹⁰ см/с, a = 10⁸ 1/с. Тогда rў₀ = 10², Kў₁ = 10^-4, Kў₂ = 2·10^-4. Кроме того nў = 0, w = 0, поэтому нелинейная формула (30) не применима. В линейном случае (30) дает f₁ » 1.2, что качественно согласуется с таблицей.
   3. C_n = 10¹⁰ см/с,  a = 10⁷ 1/с.  Расчеты  по формулам  (11)-(18)  приведены  в таблице. Нелинейная формула (30) снова не применима. Линейная формула (30)  (æ_1,2 = 0)   дает  при   a[l/(C_n)] = 10^-2,    f₁² = 5,   что  согласуется  с таблицей.
 

		20	0	2	0	0.12	0.089	0.97×10-2	1.03×102	-0.13×10-2
		103	0	102	0		0.9	0.81	1.3	-0.71×10-2
		103	0	102	0		0.83	0.68	1.47	0.11×10-1
		103	0	102	0		0.89	0.80	1.25	-0.13×10-2
		102	0,03	10	0	0.12	0,43	0.19	5.26	0.27×10-1
		102	0,03	10	0		0,44	0.19	5.26	0.28×10-3
		20	0	2		0.12	0.98	0.96×10-2	1.05	0.63×10-3
		102	0	10		0.12	0.28	0.76×10-2	17.6	-0.12×10-1
		102	0	10			0.35	0.12	8.3	0.19×10-2
		102	0	10			0.35	0.12	8.3	0.22×10-3

Расчеты для термоядерной плазмы можно проводить по типичным значениям параметров, взятых из [2].
   4. C_n = 10⁷ см/с, a = 2 · 10⁶ 1/с. l = 10² см, r₀ = 10 см, rў₀ = 2, s = 3 · 10¹⁷ 1/с, nў = [5/3]10^-6, n = [5/3]. Кроме того начальная кривизна волны [1/(R₀)][(C_n)/(a)] = [1/(10²)] 1/см. Тогда Fў = [1/10] 1/с, w = -[1/4]10³ 1/с, wў = -[1/4000]. В формуле (30) æў₁ = 2, æў₂ = 0, f₁( a[l/(C_n)]) = 34. По линейному варианту формулы (30), где æў_1,2 = 0, f₁( a[l/(C_n)]) = 10, что близко к таблице. Последние три строки таблицы соответствуют значениям, приведенным в п.5.
   5. C_n = 10⁷ см/с, a = 10⁷ 1/с, при этом w = -[1/4]10⁶ 1/с, wў = -[1/40], rў₀ = 10, [1/(R₀)][(C_n)/(a)] = [1/(10²)], Fў = [1/(10²)]. Поскольку | [(wl)/(C_n)]| >> 1, формула (30) применима и расчеты по (30) дают xў = 5·10^-4, f₁²([(al)/(C_n)]) = 7. Линейный подход, при котором æў_1,2 = 0, дает f₁²([(al)/(C_n)]) = 6.
   Таблица согласуется также с расчетами звуковых пучков [8], проведенными для (1) при E = 0.
   Граничные значения в формуле (19) для вариантов 1-3 дают kў₁=10^-6[(C_n)/(a)], kў₂ = 2·10⁶[(C_n)/(a)], а для вариантов 4, 5 kў₁ = 10^-2[(C_n)/(a)], kў₂ = 2·10^-2[(C_n)/(a)].
     Горисский филиал Государственного
     инженерного университета Армении

 

Литература

     1. Багдоев А.Г., Седракян Д.М.  - Астрoфизика. 2001. Т. 44. С. 139.
     2. Голант В.Е. Жилинский Я.М., Сахаров И.Е.  Основы физики плазмы. М. Атомиздат. 1977. 384 с.
     3. Багдоев А.Г., Шекоян А.В.  - Акустический журнал. 1999. Т. 45. С. 149.
     4. Багдоев А.Г., Петросян Л.Г.  - Изв. АН АрмССР. Механика. 1983. Т. 36. С.3.
     5. Франк-Каменецкий Д.А.  Лекции по физике плазмы. М. Атомиздат. 1964. 283 с.
     6. Багдоев А.Г., Гургенян А.А.  - Изв. АН АрмССР. Механика. 1986. Т. 39. С. 16.
     7. Минасян М.М.  - ДАН АрмССР. 1972. Т. 55. С. 123.
     8. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А.  Нелинейная теория звуковых пучков. М. Наука. 1982. 176с.

---