УДК 539.3

   В работе рассматривается плоская контактная задача для упругой ортотропной полуплоскости (x і 0, |z| < Ґ) с вертикальными соосными конечным (0 < x < b) и полубесконечным (c < x < Ґ) разрезами. На конечном участке границы (|z| Ј a) полуплоскости приложен жесткий штамп с основанием произвольной гладкой формы, симметрично расположенный относительно оси разрезов (z = 0). Предполагается, что трение между штампом и полуплоскостью отсутствует. Для простоты принимается также, что на границе полуплоскости вне штампа (|z| > a) и конечном разрезе (0 < x < b) действует только нормальное давление.
   Рассматривается плоское деформированное состояние ( = 0, [(¶[])/(¶y)] = 0), и задача решается в перемещениях методом Фурье. Решение представлено в виде суперпозиции решений а) симметричной и б) кососимметричной задачи относительно оси разрезов (z = 0). Решение каждой из этих задач представлено в виде сумм интегралов Фурье. Поиск произвольных функций интегрирования в каждой задаче в конечном счете сводится к решению системы из парных и тройных интегральных уравнений, которое в свою очередь сводится к решению интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода. Показана разрешимость последних для конкретного ортотропного материала.
   а. Рассматривается симметричная контактная задача для упругой ортотропной полуплоскости с вертикальными соосными конечным и полубесконечным разрезами. Так как задача симметрична относительно оси z = 0, то можно ограничиться рассмотрением только правого квадранта (0 < x < Ґ, 0 < z < Ґ).
Граничные условия для квадранта имеют вид:

tzx(0, z) = 0 (0 < z < Ґ), tzx(x, 0) = 0   (0 < x < Ґ),

(1)

Ux(0, z) = f1(z) (0 < z Ј a), sx(0, z) = f2(z) (a < z < Ґ),

(2)

sz(x, 0) = f3(x) (0 < x < b), Uz(x, 0) = 0   (b Ј x Ј c), sz(x, 0) = 0  (c < x < Ґ).

(3)

Решение задачи ищем в виде сумм интегралов Фурье:

C11Ux(x,z) = Ґ у х 0  a U   (a, z)sinaxda + Ґ у х 0  b U   *   (b,x)cosbzda, C44Uz(x,z) = Ґ у х 0  a W   (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b W   *   (b,x)cosbzdb.

(4)

Плотности интегралов Фурье (4), затухающие в глубь полуплоскости, определяются в виде:

U   (a,z) = 2 е j=1  D1(tj)Aj(a),    U   *   (b, x) = 2 е k=1  D1(tk)t-2kBk(b), W   (a,z) = 2 е j=1  D2(tj)Aj(a),     W   *   (b, x) = 2 е k=1  D2(tk)Bk(b).

(5)

Здесь A_j(a) и B_k(b) - неизвестные функции интегрирования, которые определяются из граничных условий (1)-(3), а D₁(t_k) и D₂(t_k) - по формулам:

D1(tk) = ж з и c13 c44 + 1 ц ч ш tk,    D2(tk) = 1- c44 c11 tk2,

(6)

где t_k определяется из решения следующего биквадратного уравнения (причем Ret_k > 0 ):

c33 c11 t4  + ж з и c132 c44c11 + 2 c13 c11 - c33 c44 ц ч ш t2 + 1 = 0.

(7)

Здесь c₁₁, c₁₃, c₃₃, c₄₄- модули упругости ортотропного материала.
   Используя основные соотношения теории упругости [1] для исследуемой среды и (4), (5), можно все компоненты тензора напряжений выразить через A_j(a) и B_k(b).
   Удовлетворяя граничным условиям (1), получаем [2]:

Bk(b) = bkB1(b),

(8)

Aj(a) = ajAj(a) + 2 p Pj a12 1 a 2 е k=1  b1kbktk2 Ґ у х 0  b2B1(b) b2 + a2tk2 dB,

(9)

   где

b1 = 1   b2 = - b11 b12 ,    a1 = 1,    P1 = 0, a2 = - a11 a12 ,    P2 = 1, bik = c44 c11 D1(tk) tk2 - D2(tk) tk ,    aij c44 c11 D1(tj)tj + D2(tj).

(10)

   Имея в виду (8) и удовлетворяя смешанным граничным условиям (2), получаем следующие парные интегральные уравнения:

м п п п н п п п о Ґ у х 0  bB1(b)sinbzdb = c11 n11 f1(z)   (0 < z Ј a),                                          (11) Ґ у х 0  b2B1(b)sinbzdb = - 1 n12 f2(z) + 1 n12 2 е j=1  a2j Ґ у х 0  a2Aj(a)da  (a < z < Ґ),

где

n11 = 2 е k=1  D1(tk)tk-2bk,    n12 = 2 е k=1  b2kbk, b2k = D1(tk)tk-3 + c13 c44 D2(tk),    a2j = D1(tj) -  c13 c44 D2(tj)tj.

(12)

Удовлетворяя смешанным граничным условиям (3) и имея в виду соотношения (8), (9), получаем следующие тройные интегральные уравнения [2]:

м п п п п н п п п п о Ґ у х 0  a2A(a)cosaxda = f3(x)   (0 < x < b), Ґ у х 0  aA(a)cosaxda = f(x)   (b Ј x Ј c),                                                          (13) Ґ у х 0  a2A(a)cosd xda = 0  (c < x < Ґ),

где

A(a) = a31A1(a) + a32A2(a),

(14)

f(x) = 2 е k=1  b*1kbk Ґ у х 0  bB1(b)db,

(15)

a3j = c13 c11 D1(tj) - c33 c44 D2(tj)tj, b*1k= 2 p mb1ktk - D2(tk), m = D2(t1)a32 - D2(t2)a31 D2(t1)a12 - D2(t2)aa11 .

(16)

Из соотношений (9) и (14) можно получить

Aj(a) = a*jA(a) + 2 p Pj* a 2 е k=1  b1kbktk2 Ґ у х 0  b2B1(b) b2 + a2tk2 db;

(17)

здесь

aj*= a12 a31a12 - a32a11 ,    Pj*= Pj a12 - a31aj a31a12 - a32a11 .

(18)

   Решение поставленной задачи сведено к решению систем из парных (11) и тройных (13) интегральных уравнений, имея в виду также интегральное соотношение (17).
   Подобные парные интегральные уравнения рассматривались в работах [3-5]. Используя результаты работы [5], решая (11) методом преобразующих операторов для неизвестной функции B₁(b), получаем следующее соотношение:

B1(b) = 2 p 1 b Ґ у х 0  j1(r)J0(br)dr + 2 p 1 b Ґ у х a  rj2(r)J0(br)dr + 2 p 1 b Ґ у х a  rF(r)J0(br)dr,

(19)

где

(20)

F(r) = 1 n12 2 е j=1  a21 Ґ у х 0  a2Aj(a)K0(atjr)da,

(21)

J₀(br) - функция Бесселя первого рода с действительным аргументом,
K_i(ar) - функция Макдональда.
   Тройные интегральные уравнения, подобные (13), рассматривались в работах [6-9].
   Следуя [9], из (13) получаем:

A(a) = 1 a Ґ е n=0  An*J2k+1(ca),

(22)

(23)

где

An(2n + 1) = (-1)An*,    y(j) = 2 е k=1  b1k*bktk Ґ у х 0  bB1(b) ж з и 1 - e-[(bc)/(tk)]cosj/2 ц ч ш db,

(24)

G(j) = p у х j  g(j)dj + c1,   g(j) = - c 2 ccosj/2 у х q  f3(ccosj/2)sin(j/2)dj,    c1 = Ґ е n=1  (-1)nAn,

P_ny - полином Лежандра.
Имея в виду (17), (21), (23), (24), исключая A(a) из (19) и (22), для определения B(b) = bB₁(b) получаем следующее интегральное уравнение типа Фредгольма второго рода:

B(b) = W(b) + Ґ у х 0  K(g,b)B(g)dg,

(25)

где

W(b) = 2 p a у х 0  j1(r)J0(br)dr + 2 p Ґ у х 0  rj2(r)J0(br)dr + + 2 p 1 n12 2 е j=1  a2jaj* Ґ у х a  rJ0(br)dr Ґ у х 0  a2w1(a)K0(atjr)da,

(26)

K(b,g) = 2 p 1 n12 2 е j=1  a2jaj* Ґ у х a  rJ0(br)dr Ґ у х 0  a2w1(a,g)K0(atjr)da + + 4 p2 g n12 2 е j=1  a2jPj* 2 е k=1  b1kbkt2k Ґ у х a  rJ0(br)dr Ґ у х 0  aK0(atjr) g2 + a2t2k da;

(27)

здесь

w2(a) = 1 pa 2 е k=1  b1k*bktk Ґ е n=0  (-1)n(2n + 1)2J2n+1(ca) l у х 0  Pn(cosq)sinqdq×   (28)

Очевидно, что функция W(b) ограничена сверху и стремится к нулю, когда b ® Ґ.
   Используя значения интегралов [2]:

Ґ у х 0  rK0(ar)J0(br)dr = 1 a2 + b2 ,     Ґ у х 0  r2K1(ar)J0(br)dr = 2a (a2 + b2)2

и результатов [9], можно показать разрешимость уравнений (25) для каждого конкретного ортотропного материала.
   Решая уравнения (25) определим B(b) = bB₁(b), а потом можно по формулам (24), (23), (22), (17) и (8) определить все искомые функции и, следовательно, напряжения и перемещения в любой точке полуплоскости.
   б. Рассматривается кососимметричная контактная задача для упругой ортотропной полуплоскости с вертикальными соосными конечным и полубесконечным разрезами.
   В этом случае граничные условия для правого квадранта имеют вид:

tzx(0,z) = 0   (0 < z < Ґ),    sz(x,0) = 0   (0 < x < Ґ), Ux(0,z) = f4(z)   (0 < z Ј a),    sx(0,z) = f5(z)   (a < z < Ґ), txz(x,0) = 0   (0 < x < b, c < x < Ґ),    Ux(x,0) = 0   (b Ј x Ј c).

(29)

   Решение задачи ищем в виде:

c11Ux(x,z) = Ґ у х 0  a U   (a,z)sinaxda + Ґ у х 0  b U*   (b,x)cosbzdb, c44Uz(x,z) = Ґ у х 0  a W   (a,z)cosaxda + Ґ у х 0  b W*   (b,x)sinbzdb

(30)

   Плотности интегралов Фурье (30) определяются по формулам (5).
   Удовлетворяя граничным условиям (29), получаем следующие системы из парных и тройных интегральных уравнений:

м п п п п н п п п п о Ґ у х 0  bB1(b)cosbzdb = c11 n11 f1(z)   (0 Ј z Ј a),                                                                                                                   (31) Ґ у х 0  b2B1(b)cosbzdb = - 1 n12 f2(z) + 1 n12 2 е j=1  a2j Ґ у х 0  a2Aj(a)da  (a < z < Ґ),

м п п п п п н п п п п п о Ґ у х 0  a2[a11A1(a) + a12A2(a)]sinaxda = 0   (0 < x < b, c < x < Ґ),                                                                                                                   (32) Ґ у х 0  a[D1(t1)A1(a) + D1(t2)A2(a)]sinaxda = = - 2 е k=1  D1(tk)tk-2bk Ґ у х 0  bB1(b)db   (b Ј x Ј c)

и интегральные соотношения

Aj(a) = ajA1(a) - 2 p Pj a32 1 a2 2 е k=1  b3kbktk Ґ у х 0  b3B1(b) b2 + a2tk2 db,

(33)

а также зависимость (8), где

b3k = - c13 c11 D1(tk) tk3 + c33 c44 D2(tk).

(34)

Решая (31) методом преобразующих операторов [10], получим

B1(b) = 2 p 1 b a у х 0  j3(r)J1(br)dr + 2 p 1 b Ґ у х a  j4(r)J1(br)dr + 2 p 1 b Ґ у х a  F1(r)J1(br)dr;

(35)

здесь

F1(r) = - r n12 2 е j=1  a2j Ґ у х 0  a2Aj(a)K1(atjr)da.

(36)

   После некоторых простейших преобразований (32) можно привести к виду [2]:

м п п п н п п п о Ґ у х 0  a2A(a)sinaxda = 0   (0 < x < b,   c < x < Ґ),                                                                                                                   (37) Ґ у х 0  aA(a)sinaxda = f*(x)   (b Ј x Ј c),

где

A(a) = a11A1(a) + a12A2(a),    m1 = D1(t1)a12 - D1(t2)a11 D1(t1)a32 - D1(t2)a31 b*3k = m1b3ktk - D1(tk)tk-2, f*(x) = - m1 2 е k=1  b3kbktk Ґ у х 0  bB1(b)db + 2 е k=1  b*3kbk Ґ у х 0  bB1(b)db.

(38)

   Используя результат работы [11], из (37) получаем

A(a) = 1 a2 Ґ у х 0  w(a,b)bB1(b)db,

(39)

где

w(a,b) = 1 p 2 е k=1  bk Ґ е n=0  (-1)n(2n +1 )2J2n+1(ca) l у х 0  Pn(cosq)sinqdq×

(40)

   Используя соотношения (39), (38) и (33), можно получить выражение

Aj(a) = 1 a2 a32 a11a32 - a12a31 aj Ґ у х 0  w(a,b)bB1(b)db + + 2 p 1 a2 ж з и a12 a11a32 - a12a31 aj - Pj a32 ц ч ш 2 е k=1  b3kbktk Ґ у х 0  b3B1(b) b2 + a2t2k db.

(41)

   Имея в виду (36), исключая A_j(a) из (35) и (41), для определения B(b) = bB₁(b) получим интегральные уравнения типа Фредгольма второго рода (25).
   Свободные члены и ядро интегрального уравнения выражаются следующими формулами:

W(b) = 2 p a у х 0  j3(r)J1(br)dr + 2 p Ґ у х a  j4(r)J1(br)dr,

(42)

K(b,g) = - 2 p 1 n12 2 е j=1  a2j Ґ у х a  rJ1(br)dr Ґ у х 0  й к л a32aj a11a32 - a12a31 w(a, g) + + 2 p Pj** 2 е k=1  b3kbktk g2 g2 + a2tk2 щ ъ ы K1(atjr)da,

(43)

здесь P_j^** = [(a₁₂)/(a₁₁a₃₂-a₁₂a₃₁)] - [(P_j)/(a₃₂)]

   Разрешимость полученных интегральных уравнений доказывается аналогично первому пункту. После определения B₁(b), используя (41) и (8), определяются также все искомые функции. Потом, используя основные соотношения теории упругости [1], можно определить напряжения и перемещения в любой точке полуплоскости.

   Институт механики НАН РА

Литература

   1. Крестенсен Р. Введение в механику конпозитов. М. Мир. 1982. 337 c.
   2. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Наука. 1971. 1100c. М.
   3. Баблоян А. А. - ПММ. 1964. Т. 28. вып. 6.
   4. Sneddon I. N. - Proc. Glasqou Math Ass. 1960. V. 4. P. 108-110.
   5. Тоноян В. С. - Изв. АН АрмССР. Механика. 1968. T. 21. N. 3. C. 3-18.
   6. Tranter G. I. - Proc. Glasqou Math Ass. 1960. V. 4. Pt.. 4. P. 200-212.
   7. Валов Г. М. - Изв. АН СССР. МТТ. 1972. N 5.
   8. Баблоян А. А., Мхитарян С. М. -Изв. АН АрмССР. Механика. 1969. Т. 22. N 6.
   9. Тоноян В. С. - ДАН АрмССР. 1963. Т. 37. N5. C. 249-258.
   10. Тоноян В. С., Мелкумян С. А. -ДАН АрмССР. 1970. T. 51. N 3. C. 144-149.
   11. Тоноян В. С. - ДАН АрмССР. 1963. T. 37. N 3. C. 121-130.

---