УДК 517.53

   В настоящей статье изучаются угловые граничные значения в произвольной точке единичной окружности нормальных гармонических и субгармонических функций, определенных в единичном круге. Будем придерживаться общепринятых обозначений. Через D обозначим единичный круг |z| < 1, через G - единичную окружность |z| = 1. Для произвольной точки x окружности G обозначим h(x,j) хорду круга D, оканчивающуюся в точке x и образующую с радиусом в точке x угол раствора j, -p/2 < j < p/2. Подобласть круга D, расположенную между хордами h(x,j₁) и h(x,j₂), где -p/2 < j₁ < j₂ < p/2, обозначим через D(x,j₁,j₂). Символом D(x) будем обозначать произвольный угол в D с вершиной в точке x О G. В дальнейшем будем рассматривать действительнозначные функции u(z): D® R = (-Ґ; +Ґ). Пусть ={-Ґ} R {+Ґ}. Для произвольного подмножества S круга D, для которого точка x О G является предельной точкой, обозначим через C(u,x,S) предельное множество функций u в точке x относительно множества S. Граничную точку x = e^IJ называют точкой Фату для функций u(z), если существует такое действительное значение a О , что C(u,D(x,j₁,j₂)) = a, для всех углов D(x,j₁,j₂), где j₁,j₂ О (-p/2,p/2). В этом случае говорят, что функция u(z) имеет в точке x угловой предел, равный a. Известно, что (см. [1]) субгармоническую (гармоническую) функцию u(z) называют нормальной функцией, если на группе G всех конформных автоморфизмов круга D порождаемое ею семейство u(S(z)), где S(z) О G, нормально в D в смысле Монтеля, т.е. любая последовательность u(S_n(z)), где S_n(z) О G, содержит подпоследовательность, которая на компактах круга D либо равномерно сходится к субгармонической (гармонической) функции, либо равномерно расходится к -Ґ или +Ґ. Интерпретируя круг D как модель в геометрии Лобачевского, обозначим через s(z,w) неевклидовое расстоямие между точками z и w из D, где s(z,w) = 1/2ln((1 + u)/(1 - u)), u = |(z - w)/(1 - z)])|, а через D(z,r) - неевклидовый круг с центром в точке z и неевклидовым радиусом r. Исследованию угловых граничных значений мероморфных, аналитических, гармонических, субгармонических функций, определенных в единичном круге, посвящены многие работы (см. например, [2-8]).
    Сформулируем основные результаты.
   Теорема 1. Для того, чтобы нормальная гармоническая в D функция u(z) имела в точке x угловой предел a, необходимо и достаточно, чтобы существовали две такие хорды h(x,j₁), h(x,j₂), для которых
   Наличие углового предела при более жестком предположении, что существует  - область, ограниченная двумя гиперциклами, оканчивающимися в точке x и образующими с радиусом в этой точке углы j₁,j₂, доказано Миком [9].
   Теорема 2. Для того, чтобы нормальная гармоническая в D функция u(z) имела в точке x предел a, необходимо и достаточно, чтобы предельное множество C(u,x,H(x,j₁,j₂)) было ограничено сверху (или снизу) числом a и существовала такая кривая L, с концом в точке x, целиком лежащая в некоторой области H(x,j₁^ў,j₂^ў), ограниченной двумя гиперциклами, содержащимися H(x,j₁,j₂), что     Наличие углoвого предела у нормальных гармонических функций u(z) при более жестком предположении, что функция u(z) в круге D не принимает значения a и limu(z) = a, где L - некоторая, не касательная к G в точке x кривая, а z ® x, z О L, доказано Лаппаном [10].
   То, что условия теоремы 2 существенны, показывает пример функции u(z) = arg(1 - z).
   Теорема 3. Для того, чтобы нормальная субгармоническая в D функция u(z) имела в точке x угловой предел a, необходимо и достаточно, чтобы предельные множества C(u,x,h(x,j)) для множества значений j, всюду плотных в интервале (-p/2,p/2), были ограничены сверху числом a и где L - некоторая, не касательная к окружности G кривая в точке x.
   Отметим, что существование углового предела при более жестком условии, что u(z) ограничена сверху числом a в некоторой окрестности точки x, доказано Миком [9].
   Российско-армянский (славянский) университет