МАТЕМАТИКА

УДК 517

В.И.Гаврилов, академик В.С.Захарян, А.В. Субботин

Линейно-топологические свойства максимальных пространств Харди
гармонических функций в круге

(Представленно 31/Х 2001)

   Эффективный способ изучения малых классов Харди hp, p > 0, гармонических функций в единичном круге комплексной плоскости (представленный в широко известных монографиях [1-4]) состоит в давнишнем, принадлежащем М. Риссу (1927 г.), наблюдении, что гармонические функции классов hp, p > 1, являются дяйствительными частями аналитических финкций больших классов Харди Hp, p > 1, и это позволяет воспользоваться глубокими результатами и широко разработанными методами теории классов Hp аналитических функций (см. [1-4]). Хорошо известно также, что это свойство перестает быть справедливым в случае 0 < p Ј 1 и типичным примером служит так называемое ядро Пуассона - принадлежащая малому классу h1 функция
p(z)= 1-|z|2
|1-z|2
.    |z| < 1,
(1)

которая является действительной частью функции (1 + z )(1 - z)-1, не пренадлежащей классу H1. Более того, гармонические функции малых классов hp, 0 < p < 1, могут иметь во многих смыслах очень плохое поведение; например, не обладать радиальными пределами почти во всех граничных точках, что невозможно для аналитических функций больших классов Харди Hp, 0 < p < 1. Поэтому уже давно (см., например, пионерскую в этом направлении работу [5]) стали изучать подмножества в hp, p > 0, элементы которых представляют собой действительные части функций пространства Hp, p > 0. В настоящей статье указывается новый подход к изучению таких подмножеств в hp, p > 0, позволяющий рассматривать их как F-пространства относительно естественных инвариантных метрик и изучать в них различных линийно-топологические свойства. Аналогичный подход использован в статье [6] при изучении пространств аналитических функций.
   1. Основные обозначения и определения. Символом U обозначим открытый единичный круг |z| < 1 на комплексной плоскости C, а символом T - его границу |z| = 1. Для произвольной тички eiq О T и произвольного числа a > 1 рассмотрим в U угловую область Da(q) = {z О U; |z - eiq| < a(1 - |z|)} с вершиной в eiq. Для произвольной комплексной функции u(z), определенной в U, величины

 

называют, соответственно, радиальной максимальной функцией и угловой максимальной функцией в точке eiq О T.
    Если функция u(z) непрерывна в круге U, то для произвольных чисел p > 0 и a > 1 обозначим

||u||p=
sup
0 Ј r < 1 
й
к
л
p
у
х
-p 
|u(reiq)|p dq
2p
щ
ъ
ы
1/p

 
,
(2)

||u||p*= й
к
л
p
у
х
-p 
(Mu)p(eiq) dq
2p
щ
ъ
ы
1/p

 
,
(3)

||u||p,a= й
к
л
p
у
х
-p 
(Ma u)p(eiq) dq
2p
щ
ъ
ы
1/p

 
,
(4)
    Из определения (2)-(4) непосредственно следует, что
||u||p Ј ||u||p* Ј ||u||p,a
(5)

для всех p > 0 и a > 1, и неравенства считаются формальным в случае бесконечности какой-либо из величин (2)-(4). С другой стороны, классическая максимальная теорема Харди-Литтквуда [7] утверждает, что для аналитической функции f в круге U условие ||f||p < +Ґ для всех p > 0 равносильно свойству ||f||p* < +Ґ. Если функция u(z) гармоническая в U, то, согласно основной теореме статьи [8], для любых p > 0 и a > 1 можно указать такую универсальную положительную постоянную Ap,a, что

||u||p,a Ј Ap,a||u||p*,
(6)

и неравенство считается формальным, если правая часть бесконечна.
    Гармоническую в круге U функцию u(z) относят к малому классу Харди hp, p > 0, если ||u||p < +Ґ. Аналитическую в круге U функцию f(z) относят к большому классу Харди Hp, p > 0, если ||f||p < +Ґ, а последнее равносильно тому, что u,v О hp, p > 0, где f(z) = u(z) + iv(z), z О U, (см. [1, §1.1])
    Определение 1. Гармоническую функцию u(z), определенную в круге U, отнесем к классу hpmax, p > 0, если ||u||p* < +Ґ, так что вложение hpmax Н hp справедливо для всех p > 0.
    Нетрудно доказать также, исходя из определения (3), строгие вложения для всех 0 < p2 < p1.
    Замечание 1. Отмеченная выше максимальная теорема Харди-Литтлвуда показывает, что необходимость введения максимального аналога , p > 0, для класса hp, p > 0, отпадает, поскольку = Hp, p > 0.
    Теорема 1. Функция u(z) принадлежит классу hpmax, p > 0, в том и только в том случае, когда она представима в виде u(z) = Re f(z) для некоторой функции f(z) класса Hp, p > 0. При этом, если функция f в этом представлении нормированна условием Im f(0) = 0, то

||f||p Ј Cp||u||p*
(7)

с некоторой постоянной Cp > 0, не зависящей от u
    Замечание 2. В частном случае p = 1 этот результат сформулирован и доказан в [2] (гл. VIII, §D, п.2). Похожий результат для функции, определенных в полуплоскости, отмечен в [9] (§, теорема 9 и следствие 2).
    Доказательство. Согласно определения 1, функция (3), (4) и неравенства (5) и (6), функция
u(z), p > 0 тогда и только тогда, когда ||u||p,a < +Ґ для p > 0 и всех a > 0. Для гармонической функции u(z) в круге U существует единсвенная с точностью до аддитивной постоянной сопряженная гармоническая функция v(z), такая что функция u(z) + iv(z) = f(z) голоморфна в U. Если функцию v(z) нормировать условием v(0) = 0, то в силу основного результата статьи [5] получим неравенство

||f||p Ј Cp,a||u||p,a,
(8)

справедливое для всех p > 0 и a > 1 с некоторой постоянной Cp,a > 0, не зависящей от u(z) и v(z). Поэтому, с учетом изложенного в начале доказательства утверждения, заключаем, что ||f||p < +Ґ и u(z) = Re f(z), z О U, для функции f О Hp, p > 0. Неравенство (7) следует из неравенства (8) подстановкой в него неравенства (6).                                                                                                   
    Следствие 1. Для любого p > 0 существует конечная постоянная Cp > 0 такая, что

|u(z)| Ј Cp ж
з
и
1 + |z|
1 - |z|
ц
ч
ш
1/p

 
||u||p*,   z О U,
(9)

для любой функции u(z) О , p > 0.
    Доказательство. По теореме1 для любой функции u(z) О , p > 0, найдем голоморфную функцию f О Hp, p > 0, удовлитворяющую оценке (7) с постоянной Cp > 0, не зависящей от u(z) такую, что u = Re f. Известная оценка модуля функции класса Hp (см., например, [4] гл. II, §3, п. 1) имеет вид

|f(z)| Ј ж
з
и
1 + |z|
1 - |z|
ц
ч
ш
1/p

 
||f||p,   z О U,
(10)

с учетом неравенства |u(z)| Ј |f(z)| и оценки (7), получаем (9).
    Другое следствие теоремы 1 связана с понятием углового предела функции u(z) в граничной точке eiq. Так называют значение w О, которое является пределом функции u(z), когда z стремится к eiq, оставаясь в каждой области Da(q), a > 1, одним и тем же для всех Da(q), a > 1, и которое обозначается w = u(eiq).
    Следствие 1. Произвольная функция u(z) класса hpmax, обладает конечным угловым пределом u(eiq) для почти всех точек eiq О T.
    Доказательство. Согласно теореме 1, любая функция u О hpmax, p > 0, имеет представление u = Re f, f О Hp, p > 0. Так как функция классов Hp, p > 0, обладают конечными угловыми пределами почти всюду на T (см., например, [4]), то утверждение следствия 2 справедливо на основании непрерывности операции взятия действительной части комплексного числа.
    Замечание 3. Выше отмечалось, что функция классов hp, p > 0, являются действительными частями функции классов Hp, p > 0, так что утверждение теоремы 1 и следствий 1 и 2 доставляют новую информацию только в случае 0 < p Ј 1.
   2. Соотношения между классами hp и hpmax, p > 0. Согласно упомянутой в начале статьи теореме М. Рисса, при любом p > 1 условия ||u||p < +Ґ и ||v||p < +Ґ для любой пары сопряженных гармонических в U функций u(z) и v(z) равносильны. Так как при этом функция f(z) = u(z) + iv(z) принадлежит классу Hp, p > 1, то по максимальной теореме Харди-Литтлвуда [7] имеем ||u||p* < +Ґ. Таким образом, при p > 1 классы hp и hpmax совпадают (как множества функций). Это утверждение становится неверным уже при p = 1, как показывает пример функции (1). Справедлива, однако, следующая
   Теорема 2. Любая функция u(z) класса h1, а также ее сопряженная функция v(z), принадлежит каждому из классов hpmax, 0 < p < 1. Если, дополнительно, функция v(z) нормирована условием v(0) = 0, то неравенства

||u||p* Ј Kp||u||1,    ||v||p* Ј Kp||u||1
(11)

справедливы с некоторой конечной постоянной Kp, зависящей только от p, 0 < p < 1.
   Доказательство. Известная теорема Колмогорова (см., например, [2], гл.V, §D, п.5) утверждает, что для любой гармонической функции u(z), представимой в круге U интервалом Пуассона-Лебега, голоморфная функция f(z) = u(z) + iv(z) принадлежит классам Hp для любого p, 0 < p < 1, где v(z) - сопряженная к u(z) функция с v(0) = 0; при этом ||f||p Ј Lp||u||1 с конечной постоянной Lp > 0, зависящей только от p. В статье [10], (с. 29) отмечено, что утверждение теоремы Колмогорова остается справедливым для произвольной функции u класса h1, поскольку в ее доказательстве интеграл Пуассона-Лебега можно заменить интегралом Пуассона-Стилтьеса. Согласно максимальной теореме Харди-Литтлвуда, имеет оценку ||f||p* Ј Dp||f||p с постоянной Dp > 0, зависящей толско от p. Объединяя обе оценки и учитывая неравенства |u(z)| Ј |f(z)|, |v(z)| Ј |f(z)|, z О U, получаем (11) с Kp = Lp·Dp.
   В заключении отметим, что в [11] рассматривались некоторые классы , 0 < p Ј 1, промежуточныв между и hp.
   3. Топологические свойства классов hpmax, p > 0. Стандартной техникой проверяется, что вводимая формулой (3) числовая характеристика ||u||p* определяет в классах hpmax, p > 0, инвариантную метрику

rp*(u1,u2) = (||u1 - u2||p*,   u1,u2 О,  p > 0,   ap = min(1, p),

преврашающую каждый класс hpmax, p > 0 в метрическое пространство (удовлетворение функции rp* аксиомам метрики непосредственно следует из неравенства треугольника в пространствах Lp(-p,p), p > 0).
   Отметим, что метрику в классах hpmax можно ввести также посредством угловой числовой характеристики (4) ввиде

rp,a(u1,u2) = ||u1 - u2||,   u1,u2 О ,  p > 0.   ap = min(1, p).

Однако, в силу неравенства (6), метрики rp и Pp,a для любого a > 1 эквивaлентны по Липшицу, а значит, они топологически эквивалентны и задают одинаковые равномерные и липшицевы структуры.
    Так как, по определению, гармоничекая функция u(z), z О U, принадлежит классу hpmax, p > 0, тогда и только тогда, когда ||u||p* = rp*(u,0) < +Ґ, то из неравенства треугольника для метрики rp* и свойства абсолютной однородности характеристики ||·||p* следует, что метрические пространства hpmax, p > 0, замкнуты относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительное число. Таким образом, классы hpmax, p > 0, образуют линейно-метрическое пространства над полем действительных чисел, т.е. такие линейные и одновременно метрические пространства, в которых линейные опреции непрерывны относительно метрик.
    Рассматривая классы Hp, p > 0, как метричекие пространства с естественными метриками rp(f,g) = ||f - g||, f,g О Hp, ap = min(1,p), докажем следующий результат.
    Теорема 3. Для люого p > 0 пространства hpmax изоморфно некоторому замкнутому линейному подпространству пространства Харди Hp, p > 0, и следовательно, представляет собой F-пространство (B-пространство при p і 1) относительно метрики rp* (относительно нормы ||·||p* при p і 1), и сходимость в метрике rp* сильнее равномерной сходимости на компактах круга U,
    Замечание 4. Как и замечание 3, отметим, что новую информацию теорема 3 доставляет только в случае 0 < p Ј 1.
   Доказательство. Согласно теореме 1, каждой функции u О , p > 0, можно поставить в соответствие однозначно определенную функцию f О Hp, p > 0, с условием Im f(0) = 0. Обозначим множество таких функций через H0p, заметим, что в силу оценки (7) для ||f||p и ||u||p*, это соответствие непрерывно. Так как, по максимальной теореме Харди-Литтлвуда, справедлива и обратная оценка ||u||p* Ј Dp||f||p, то пространство в действительности изоморфно (в линейном и топологическом смыслах) подпространству H0p пространства Hp, что доказывает первое утверждение теоремы 3. Учитывая, что пространство Hp, p > 0 (а, следовательно, и любое его замкнутое линейное подпространство) является F-пространством (B-пространством при p і 1) относительно метрики rp (нормы ||·||p при p і 1), приходим ко второму утверждению теоремы 3. Утверждение о равномерной сходимости следует из определения метрики rp* и оценки (9) в следствии 1.
    Приводимую ниже теорему можно считать аналогом для пространств , p > 0, исвестной теоремы Ф. Рисса о граничной сходимости в среднем функции пространств Hp (см., например, [4], гл.II, §4, п.1).
    Тоерема 4. Для любой функции u О , p > 0, функции ur, o Ј r < 1, определяемые формулой ur(z) = u(rz), z О U, 0 Ј r < 1, сходятся при r®1- к исходной функции u в метрике rp*.
   Доказательство. Пусть u О , p > 0. Согласно теореме 1, существует такая аналитическая функция f класса Hp, p > 0, что u = Re f. Так как для любой функции f О Hp, p > 0, справедлива теорема Ф. Рисса (см. [4], гл.II, §4, п.1), то ||fr - f||p®0 при r®1-, где fr, 0 Ј r < 1, определены как fr(z) = f(rz), z О U. Тогда для ur = Re fr, 0 Ј r < 1, на основании максимальной теоремы Харди-Литтлвуда, имеем ||ur - u||p* Ј ||fr - f||p* Ј Dp||fr - f||p®0 при r®1-, т.е. функции ur, o Ј r < 1, сходятся к функции u при r®1- в метрике rp*.
    Следствие 4. Гармонические полиномы двух переменных плотны в пространствах , p > 0 и F-пространства , p > 0, - сепарабельны.
   Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию, p > 0, и произвольное число e > 0, и докажем сначала существование гармонического полинома P(z) = P(x,y), который приближает функцию u в метрике rp* с точностью, не превосходящей e. Опираясь на теорему 1, находим функцию f О Hp, p > 0, у которой Re f = u. Так как алгебраические многочлены комплексного переменного плотны в Hp, p > 0, то для числа e > 0 существует такой алгебраический многочлен Q(z), что ||f - Q||p Ј e/Dp, где Dp- положительная постоянная в оценке ||u||p* Ј Dp||f||p, f О Hp, u = Re f, p > 0, по максимальной теореме Харде-Литтлвуда. Поэтому ||u - ReQ||p* Ј Dp||f - Q||p Ј e и P = ReQ - искомый полином, что доказывает первое утверждение следствия 3. Второе его утверждение, с учетом теоремы 3, является прямым следствием известных утверждений о том, что произвольный гармонический полином равномерно на замыкании(а значит, и в метрике пространства , p > 0) приближается гармоническими многочленами с рациональными коэффициентами, множество которых счетно.
   Замечание 5. Аналог теоремы 4 для пространств hp, p > 0, не имеет места уже при p = 1, как показывает пример функции (1); при p = 1 несправедлив также аналог следствия 3. Однако положение воссранавливается при p > 1, в силу отмеченной выше эквиваленстности характеристик ||·||p и ||·||p*.

   Московский Государственный Университет им. М. Ломоносова
   Ереванский Государственный Инженерный Университет

 

Литература

   1. Duren P. L. Theory of Hp spaces. N.-Y.-L. Acad. Press. 1970. XII. 258 p.
   2. Кусис Пю. Введение в теорию пространств Hp. М. Мир. 1984. 368 с.
   3. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М. Мир. 1984. 469 с.
   4. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л. ГИТТЛ. 1950. 336 с.
   5. Burkholder D. L., Gundy R. F., Silverstein M. I. - Trans. Amer. Math. Soc. V. 157. N1. P. 137-153.
   6. Гаврилов В. И., Субботин А. В.- Math. Montisnigri. 2000. N12.
   7. Hardy G. H., Littlewood J. E. - Acta Math. 1930.. V. 54. N1-2. P. 81-116.
   8. Kim H. O., Park Y. Y.- Tsukuba J. Math. 1992. V. 16. N1. P. 11-18.
   9. Fefferman C., Stein E. M. - Acta Math 1972. V. 129. P. 137-193.
   10. Шведенко С. В. - Мат. анализ. Т. 23. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН ССР) М. 1985. С. 3-124.
   11. Stoll M. - Arch. Math. 1974. V. 25. N6. P. 613-618.