для всех p > 0 и a > 1, и неравенства считаются формальным в случае бесконечности какой-либо из величин (2)-(4). С другой стороны, классическая максимальная теорема Харди-Литтквуда [7] утверждает, что для аналитической функции f в круге U условие ||f||_p < +Ґ для всех p > 0 равносильно свойству ||f||_p^* < +Ґ. Если функция u(z) гармоническая в U, то, согласно основной теореме статьи [8], для любых p > 0 и a > 1 можно указать такую универсальную положительную постоянную A_p,a, что

и неравенство считается формальным, если правая часть бесконечна.
    Гармоническую в круге U функцию u(z) относят к малому классу Харди h^p, p > 0, если ||u||_p < +Ґ. Аналитическую в круге U функцию f(z) относят к большому классу Харди H^p, p > 0, если ||f||_p < +Ґ, а последнее равносильно тому, что u,v О h^p, p > 0, где f(z) = u(z) + iv(z), z О U, (см. [1, §1.1])
    Определение 1. Гармоническую функцию u(z), определенную в круге U, отнесем к классу h^p_max, p > 0, если ||u||_p^* < +Ґ, так что вложение h^p_max Н h^p справедливо для всех p > 0.
    Нетрудно доказать также, исходя из определения (3), строгие вложения для всех 0 < p₂ < p₁.
    Замечание 1. Отмеченная выше максимальная теорема Харди-Литтлвуда показывает, что необходимость введения максимального аналога , p > 0, для класса h^p, p > 0, отпадает, поскольку = H^p, p > 0.
    Теорема 1. Функция u(z) принадлежит классу h^p_max, p > 0, в том и только в том случае, когда она представима в виде u(z) = Re f(z) для некоторой функции f(z) класса H^p, p > 0. При этом, если функция f в этом представлении нормированна условием Im f(0) = 0, то

с некоторой постоянной C_p > 0, не зависящей от u
    Замечание 2. В частном случае p = 1 этот результат сформулирован и доказан в [2] (гл. VIII, §D, п.2). Похожий результат для функции, определенных в полуплоскости, отмечен в [9] (§, теорема 9 и следствие 2).
    Доказательство. Согласно определения 1, функция (3), (4) и неравенства (5) и (6), функция
u(z), p > 0 тогда и только тогда, когда ||u||_p,a < +Ґ для p > 0 и всех a > 0. Для гармонической функции u(z) в круге U существует единсвенная с точностью до аддитивной постоянной сопряженная гармоническая функция v(z), такая что функция u(z) + iv(z) = f(z) голоморфна в U. Если функцию v(z) нормировать условием v(0) = 0, то в силу основного результата статьи [5] получим неравенство

справедливое для всех p > 0 и a > 1 с некоторой постоянной C_p,a > 0, не зависящей от u(z) и v(z). Поэтому, с учетом изложенного в начале доказательства утверждения, заключаем, что ||f||_p < +Ґ и u(z) = Re f(z), z О U, для функции f О H^p, p > 0. Неравенство (7) следует из неравенства (8) подстановкой в него неравенства (6).                                                                                                   
    Следствие 1. Для любого p > 0 существует конечная постоянная C_p > 0 такая, что

для любой функции u(z) О , p > 0.
    Доказательство. По теореме1 для любой функции u(z) О , p > 0, найдем голоморфную функцию f О H^p, p > 0, удовлитворяющую оценке (7) с постоянной C_p > 0, не зависящей от u(z) такую, что u = Re f. Известная оценка модуля функции класса H^p (см., например, [4] гл. II, §3, п. 1) имеет вид

с учетом неравенства |u(z)| Ј |f(z)| и оценки (7), получаем (9).
    Другое следствие теоремы 1 связана с понятием углового предела функции u(z) в граничной точке e^iq. Так называют значение w О, которое является пределом функции u(z), когда z стремится к e^iq, оставаясь в каждой области D_a(q), a > 1, одним и тем же для всех D_a(q), a > 1, и которое обозначается w = u(e^iq).
    Следствие 1. Произвольная функция u(z) класса h^p_max, обладает конечным угловым пределом u(e^iq) для почти всех точек e^iq О T.
    Доказательство. Согласно теореме 1, любая функция u О h^p_max, p > 0, имеет представление u = Re f, f О H^p, p > 0. Так как функция классов H^p, p > 0, обладают конечными угловыми пределами почти всюду на T (см., например, [4]), то утверждение следствия 2 справедливо на основании непрерывности операции взятия действительной части комплексного числа.
    Замечание 3. Выше отмечалось, что функция классов h^p, p > 0, являются действительными частями функции классов H^p, p > 0, так что утверждение теоремы 1 и следствий 1 и 2 доставляют новую информацию только в случае 0 < p Ј 1.
   2. Соотношения между классами h^p и h^p_max, p > 0. Согласно упомянутой в начале статьи теореме М. Рисса, при любом p > 1 условия ||u||_p < +Ґ и ||v||_p < +Ґ для любой пары сопряженных гармонических в U функций u(z) и v(z) равносильны. Так как при этом функция f(z) = u(z) + iv(z) принадлежит классу H^p, p > 1, то по максимальной теореме Харди-Литтлвуда [7] имеем ||u||_p^* < +Ґ. Таким образом, при p > 1 классы h^p и h^p_max совпадают (как множества функций). Это утверждение становится неверным уже при p = 1, как показывает пример функции (1). Справедлива, однако, следующая
   Теорема 2. Любая функция u(z) класса h¹, а также ее сопряженная функция v(z), принадлежит каждому из классов h^p_max, 0 < p < 1. Если, дополнительно, функция v(z) нормирована условием v(0) = 0, то неравенства

справедливы с некоторой конечной постоянной K_p, зависящей только от p, 0 < p < 1.
   Доказательство. Известная теорема Колмогорова (см., например, [2], гл.V, §D, п.5) утверждает, что для любой гармонической функции u(z), представимой в круге U интервалом Пуассона-Лебега, голоморфная функция f(z) = u(z) + iv(z) принадлежит классам H^p для любого p, 0 < p < 1, где v(z) - сопряженная к u(z) функция с v(0) = 0; при этом ||f||_p Ј L_p||u||₁ с конечной постоянной L_p > 0, зависящей только от p. В статье [10], (с. 29) отмечено, что утверждение теоремы Колмогорова остается справедливым для произвольной функции u класса h¹, поскольку в ее доказательстве интеграл Пуассона-Лебега можно заменить интегралом Пуассона-Стилтьеса. Согласно максимальной теореме Харди-Литтлвуда, имеет оценку ||f||_p^* Ј D_p||f||_p с постоянной D_p > 0, зависящей толско от p. Объединяя обе оценки и учитывая неравенства |u(z)| Ј |f(z)|, |v(z)| Ј |f(z)|, z О U, получаем (11) с K_p = L_p·D_p.
   В заключении отметим, что в [11] рассматривались некоторые классы , 0 < p Ј 1, промежуточныв между и h^p.
   3. Топологические свойства классов h^p_max, p > 0. Стандартной техникой проверяется, что вводимая формулой (3) числовая характеристика ||u||_p^* определяет в классах h^p_max, p > 0, инвариантную метрику

rp*(u1,u2) = (||u1 - u2||p*,   u1,u2 О,  p > 0,   ap = min(1, p),

преврашающую каждый класс h^p_max, p > 0 в метрическое пространство (удовлетворение функции r_p^* аксиомам метрики непосредственно следует из неравенства треугольника в пространствах L_p(-p,p), p > 0).
   Отметим, что метрику в классах h^p_max можно ввести также посредством угловой числовой характеристики (4) ввиде

rp,a(u1,u2) = ||u1 - u2||,   u1,u2 О ,  p > 0.   ap = min(1, p).

Однако, в силу неравенства (6), метрики r_p и P_p,a для любого a > 1 эквивaлентны по Липшицу, а значит, они топологически эквивалентны и задают одинаковые равномерные и липшицевы структуры.
    Так как, по определению, гармоничекая функция u(z), z О U, принадлежит классу h^p_max, p > 0, тогда и только тогда, когда ||u||_p^* = r_p^*(u,0) < +Ґ, то из неравенства треугольника для метрики r_p^* и свойства абсолютной однородности характеристики ||·||_p^* следует, что метрические пространства h^p_max, p > 0, замкнуты относительно операций поточечного сложения функций и умножения функций на действительное число. Таким образом, классы h^p_max, p > 0, образуют линейно-метрическое пространства над полем действительных чисел, т.е. такие линейные и одновременно метрические пространства, в которых линейные опреции непрерывны относительно метрик.
    Рассматривая классы H^p, p > 0, как метричекие пространства с естественными метриками r_p(f,g) = ||f - g||, f,g О H_p, a_p = min(1,p), докажем следующий результат.
    Теорема 3. Для люого p > 0 пространства h^p_max изоморфно некоторому замкнутому линейному подпространству пространства Харди H^p, p > 0, и следовательно, представляет собой F-пространство (B-пространство при p і 1) относительно метрики r_p^* (относительно нормы ||·||_p^* при p і 1), и сходимость в метрике r_p^* сильнее равномерной сходимости на компактах круга U,
    Замечание 4. Как и замечание 3, отметим, что новую информацию теорема 3 доставляет только в случае 0 < p Ј 1.
   Доказательство. Согласно теореме 1, каждой функции u О , p > 0, можно поставить в соответствие однозначно определенную функцию f О H^p, p > 0, с условием Im f(0) = 0. Обозначим множество таких функций через H₀^p, заметим, что в силу оценки (7) для ||f||_p и ||u||_p^*, это соответствие непрерывно. Так как, по максимальной теореме Харди-Литтлвуда, справедлива и обратная оценка ||u||_p^* Ј D_p||f||_p, то пространство в действительности изоморфно (в линейном и топологическом смыслах) подпространству H₀^p пространства H^p, что доказывает первое утверждение теоремы 3. Учитывая, что пространство H^p, p > 0 (а, следовательно, и любое его замкнутое линейное подпространство) является F-пространством (B-пространством при p і 1) относительно метрики r_p (нормы ||·||_p при p і 1), приходим ко второму утверждению теоремы 3. Утверждение о равномерной сходимости следует из определения метрики r_p^* и оценки (9) в следствии 1.
    Приводимую ниже теорему можно считать аналогом для пространств , p > 0, исвестной теоремы Ф. Рисса о граничной сходимости в среднем функции пространств H^p (см., например, [4], гл.II, §4, п.1).
    Тоерема 4. Для любой функции u О , p > 0, функции u_r, o Ј r < 1, определяемые формулой u_r(z) = u(rz), z О U, 0 Ј r < 1, сходятся при r®1- к исходной функции u в метрике r_p^*.
   Доказательство. Пусть u О , p > 0. Согласно теореме 1, существует такая аналитическая функция f класса H^p, p > 0, что u = Re f. Так как для любой функции f О H^p, p > 0, справедлива теорема Ф. Рисса (см. [4], гл.II, §4, п.1), то ||f_r - f||_p®0 при r®1-, где f_r, 0 Ј r < 1, определены как f_r(z) = f(rz), z О U. Тогда для u_r = Re f_r, 0 Ј r < 1, на основании максимальной теоремы Харди-Литтлвуда, имеем ||u_r - u||_p^* Ј ||f_r - f||_p^* Ј D_p||f_r - f||_p®0 при r®1-, т.е. функции u_r, o Ј r < 1, сходятся к функции u при r®1- в метрике r_p^*.
    Следствие 4. Гармонические полиномы двух переменных плотны в пространствах , p > 0 и F-пространства , p > 0, - сепарабельны.
   Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию, p > 0, и произвольное число e > 0, и докажем сначала существование гармонического полинома P(z) = P(x,y), который приближает функцию u в метрике r_p^* с точностью, не превосходящей e. Опираясь на теорему 1, находим функцию f О H^p, p > 0, у которой Re f = u. Так как алгебраические многочлены комплексного переменного плотны в H^p, p > 0, то для числа e > 0 существует такой алгебраический многочлен Q(z), что ||f - Q||_p Ј e/D_p, где D_p- положительная постоянная в оценке ||u||_p^* Ј D_p||f||_p, f О H^p, u = Re f, p > 0, по максимальной теореме Харде-Литтлвуда. Поэтому ||u - ReQ||_p^* Ј D_p||f - Q||_p Ј e и P = ReQ - искомый полином, что доказывает первое утверждение следствия 3. Второе его утверждение, с учетом теоремы 3, является прямым следствием известных утверждений о том, что произвольный гармонический полином равномерно на замыкании(а значит, и в метрике пространства , p > 0) приближается гармоническими многочленами с рациональными коэффициентами, множество которых счетно.
   Замечание 5. Аналог теоремы 4 для пространств h_p, p > 0, не имеет места уже при p = 1, как показывает пример функции (1); при p = 1 несправедлив также аналог следствия 3. Однако положение воссранавливается при p > 1, в силу отмеченной выше эквиваленстности характеристик ||·||_p и ||·||_p^*.

   Московский Государственный Университет им. М. Ломоносова
   Ереванский Государственный Инженерный Университет