УДК 517.5

   Хорошо известно, что, изучая пространства следов функций из H-пространств Соболева - Лиувилля, мы приходим к B-пространствам Никольского - Бесова (см. [1,2]). Эта же особенность возникает при исследовании интерполяционных свойств пар H-пространств методом "вещественной" интерполяции (см. [3,4]).
   Исследуя отмеченные свойства H-пространств, порожденных полными многогранниками, мы ввели (см. [5]) соответствующие пространства (m) типа Никольского - Бесова, с функцией m(x), отвечающей заданному многограннику.
   Во всех указанных случаях функция m(x) стремится к бесконечности при |x| ® Ґ, что позволяет при определении B-пространств применять метод покрытия R_n (см. [3-5]).
   В настоящей заметке мы определяем B-пространства посредством "вещественной" интерполяции соответствующих пар H-пространств. Этот подход дает возможность определения пространств (m) типа Нокольского - Бесова и для функций m(x), не стремящихся к бесконечности при |x| ® Ґ.
   Будем пользоваться следующими обозначениями: R_n - n-мерное евклидово пространство, S - класс Шварца, F - оператор преобразования Фурье, C - пространство непрерывных функций, (A₀, A₁)_q,q, [A₀, A₁]_q - интерполяционные пространства, полученные методами "вещественной" и "комплексной" интерполяции для заданной пары { A₀, A₁} (см. [3,4]).
   Обозначим через G⁺ множество положительных функций m О C^Ґ(R_n) таких, что для любого мультииндекса a с компонентами из множества { 0;1}

|xa Da m(x)| Ј cm(x),  c > 0,  x О Rn,   n Х i=1  xi № 0.

(1)

   Определение 1. Пусть 1 < p < Ґ, -Ґ < s < Ґ, m О G⁺. Положим

Hps(m; Rn) є Hps(m) = { f О Sў; || f ||H = || F-1{msF f} || Lp(Rn) < Ґ}.

Для функций m(x), непрерывных в R_n, бесконечно дифференцируемых вне координатных осей и удовлетворяющих оценке (1), H-пространства понимаются как пополнение S в определенной выше норме.
   Рассмотрим оператор типа "лифтинга":

Il = F-1{lF}, l О G+.

   Определение 2. Пусть 1 < p < Ґ, 1 Ј q Ј Ґ, -Ґ < s < Ґ, m О G⁺. Положим

(m) = ( Hp1(m), Hp-1(m))[1/2],q,

(m) = Ims(m) = { f О Sў; Ims f О(m)}.

   Следующая теорема дает описание интерполяционного пространства, фигурирующего в определении 1.
   Теорема 1. Пусть 1 < p < Ґ, 1 Ј q Ј Ґ, 0 < q < 1, m О G⁺. Тогда

м н о f О Sў; || f ||B = ж з и Ґ у х 0  || F-1 м н о t1-qmq m + t F f ь э ю || dt t ц ч ш [1/q]   < Ґ ь э ю

(с обычными видоизменениями при q = Ґ).
   Для введенных H и B-пространств доказываются интерполяционные формулы "вещественной" и "комплексной" интерполяции.
   Теорема 2.
   а) Пусть m О G⁺, -Ґ < s₀ № s₁ < Ґ, 1 < p < Ґ, 1 Ј q Ј Ґ, 0 < q < 1, s = s₀(1-q) + s₁q. Тогда
   б) Пусть m О G⁺, -Ґ < s₀ № s₁ < Ґ, 1 < p < Ґ, 1 Ј q, q₀, q₁ Ј Ґ, s = (1-q)s₀ + qs₁, 0 < q < 1. Тогда
   в) Пусть m О G⁺, -Ґ < s < Ґ, 1 < p < Ґ, 1 Ј q₀, q₁ Ј Ґ, 0 < q < 1, [1/(q^*)] = [((1-q))/(q₀)] + [(q)/(q₁)]. Тогда
   г) Пусть m О G⁺, -Ґ < s₀, s₁ < Ґ, 1 Ј q₀, q₁ Ј Ґ, 1 < p₀, p₁ < 0, 0 < q < 1, s = (1-q)s₀ + qs₁, [1/(p^*)] = [((1-q))/(p₀)] + [(q)/(p₁)], [1/(q^*)] = [((1-q))/(q₀)] + [(q)/(q₁)]. Тогда    д) Пусть m О G⁺, -Ґ < s₀ № s₁ < Ґ, 1 < p < Ґ, 1 Ј q₀, q Ј Ґ, 0 < q < 1, s = (1-q)s₀ + qs₁. Тогда
   Следующие теоремы дают описание B-пространств с точки зрения теорем вложения разных метрик.
   Теорема 3. Пусть m, n О G⁺, 1 < p < Ґ. Тогда
   Теорема 4. Пусть m, n О G⁺, 1 < p < Ґ, 1 Ј q Ј Ґ. Для того чтобы имело место вложение необходимо и достаточно, чтобы

n(x) Ј cm(x), c > 0, x О Rn.

   Теорема 5. Пусть 1 < p < Ґ, 1 Ј q Ј Ґ, m О G⁺, [1/p] + [1/(pў)] = [1/q] + [1/(qў)] = 1. Для того чтобы имело место вложение  необходимо и достаточно, чтобы
   В заключение приведем теорему о следах для H-пространств, порожденных вполне правильным многогранником.
   Определение 3. Непустой многогранник N, с вершинами из первого координатного угла называется полным, если начало координат является вершиной N и N имеет вершины на каждой оси координат, отличные от начала координат.
   Полный многогранник N называется вполне правильным, если внешние нормали (n - 1)-мерных некоординатных граней N имеют только положительные координаты.
   Пусть  задан  вполне  правильный  многогранник  N  с вершинами a⁰, a¹, ј , a^M. Сопоставим многограннику N функцию